三角函数教学初中

这是三角函数教学初中，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

三角函数教学初中第 1 篇

　　一、内容与课程学习目标

　　本章的学习内容是三角函数及其基本性质．通过本章学习，要引导学生：

　　1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；

　　2．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

　　3．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性；

　　4．借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）；

　　5．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，；

　　6．结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，，φ对函数图象变化的影响；

　　7．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

　　二、内容安排

　　本章共安排了6个小节以及两个选学内容，教学时间约需16课时，大体分配如下（仅供参考）：

1.1 任意角和弧度制 约2课时

1.2 任意角的三角函数 约3课时

1.3 三角函数的诱导公式 约2课时

1.4 三角函数的图象与性质 约4课时

1.5 函数y=Asin(φ)的图象 约2课时

1.6 三角函数模型的简单应用 约2课时

小结

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　约1课时

　　本章知识结构如下：

　　

　　

　　1．本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学1中建立的函数概念，以及指数函数、对数函数的研究经验；主要的学习内容是三角函数的概念，图象与性质，以及三角函数模型的简单应用；单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想；三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力．

　　2．为了加强三角函数学习的目的性，本章采用月相变化图和简谐运动图的组合作为章头图，并以“大到宇宙天体运行，小到质点的运动，现实世界中具有周期性变化的现象无处不在”为开篇语，再在章前引言中明确提出“三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型”．这样的安排使得三角函数的作用体现得更加清楚，也能使学生更加明确学习三角函数的意义．

　　3．任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点．过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解．

　　本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数．这样定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系．另外，如果α是弧度数，即∠xOP=αrad，那么正弦、余弦函数就是关于任意实数α的函数，这时的自变量和函数值都是实数，这就与《数学1》中给出的一般函数概念完全一致了．事实上，在弧度制（这是一种用半径来度量角的方法）下，角度和长度的单位是统一的，正是这种单位的统一，使得我们可以这样来描述这两个函数的对应关系：

　　把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）t被缠绕到单位圆上的点P（cost，sint）．

　　基于上述理由，我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质，也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学（特别是应用数学）中的重要性．事实上，后续的内容，特别是在微积分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数．

　　另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了．例如从定义可以方便地推导同角三角函数的关系式、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体，我们可以借助单位圆，直接从定义出发讨论三角函数的性质……

　　当然，这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的坐标的“比值”来定义是等价的，这正是教科书在1.2.1中安排例2的原因．

　　4．三角函数的诱导公式过去是从求三角函数值引入的，把，，，的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出．本教科书改变了这种做法．教科书借助单位圆，先引导学生讨论了这些角的终边与角α的终边之间的对称关系，然后根据三角函数定义导出所有诱导公式．这样，既能很好地反映诱导公式的本质（圆的对称性的代数表示），又使它们成了一个有机的整体．另外，去掉了关于的诱导公式（因为它与－α的诱导公式等价），增加了的诱导公式．为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．

　　5．正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，三角恒等变换不再穿插其中，这一顺序与研究其他函数的顺序一致，使得三角函数的研究更加简洁．另外，把周期性作为第一条性质，目的是为了体现它的重要性．正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质，然后再利用性质作图象，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质．

　　6．对函数图象的研究，由于涉及的参数有3个，因此本章采取先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定），再整合成完整的问题解决的方法安排内容，具体线索如下：

　　（1）探索φ对y＝sin(x+φ)的图象的影响；

　　（2）探索ω对y＝sin(ωx+φ)的图象的影响；

　　（3）探索A对y＝Asin(ωx+φ)的图象的影响；

　　（4）上述三个过程的合成．

在对上述四个问题的具体讨论中，先让学生对参数赋值，形成对图象变化的具体认识，然后再推广到一般情形．

　　这样安排既分散了难点，又使学生形成清晰的讨论线索，从中能使学生学习到如何将复杂问题分解为简单问题并“各个击破”，然后整合为整个问题的解决的思想方法，培养有条理地思考的习惯，有利于培养学生的逻辑思维能力．

　　7．“三角函数模型的简单应用”是一个新增内容，主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法．选择的问题包括：

　　（1）用已知的三角函数模型解决问题；

　　（2）将复杂的函数模型转化为等基本初等函数解决问题；

　　（3）根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题；

　　（4）通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决实际问题．

　　安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还要使学生加深理解有关知识．在安排内容时，特别注意了数学应用过程的完整性，加强了对问题情景和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环节．这样做可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对相应的思想方法的认知层次，培养学生良好的解题习惯．

　　三、编写中考虑的几个问题

　　1．加强几何直观，强调数形结合思想

　　从三角函数的定义方法可以看出，三角函数及其性质与圆有着直接的联系．事实上，任意角、任意角的三角函数，三角函数的性质（周期性、单调性、最大值、最小值等），同角三角函数的关系式，诱导公式，三角函数的图象等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们也把三角函数称作“圆函数”的原因．因此，在三角函数的研究中，借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生领会数形结合思想，学会数形结合地思考和解决问题的好机会．

　　为了发挥单位圆在几何直观中的作用，教科书在引进弧度制时就渗透了单位圆概念，并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念，然后直接由单位圆引出三角函数定义．在后续内容的处理中，始终以单位圆作为一个载体．

　　例如三角函数的诱导公式的推导，教科书引导学生利用单位圆的对称性，通过讨论单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式，使得诱导公式二~公式六都与单位圆上的对称图形（即角的终边的对称性）联系在一起，从而使这五组公式形成一个有机整体．

　　数形结合的思想表现在由数到形和由形到数两个方面．教科书在讨论三角函数的图象和性质时，一方面从函数的图象和单位圆中的三角函数线两个角度出发来研究正弦函数、余弦函数的性质，另一方面又在讨论正切函数性质的基础上再研究函数的图象．

　　2．强调三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想

　　教科书在开篇语中通过列举大量现实世界中的周期变化现象，并提出现实问题中不同的变化规律需要不同的函数来刻画，而三角函数就是刻画周期变化规律的数学模型，这样可以使学生在三角函数的学习之初就明确三角函数的地位作用．在研究三角函数的图象、性质时，尽量结合物理中的简谐运动等典型实例．为了加强数学模型思想，教科书专门设置了“三角函数模型的简单应用”一节，通过典型实例，引导学生经历分析实际问题、建立三角函数模型、用三角函数模型解决问题的基本过程，以使学生更好地体会三角函数在解决周期变化现象时的作用，例如本节的例4由给出的潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题，就是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的过程．通过这样的例子，可以使学生用三角函数刻画周期现象的过程与方法．

　　另外，本章突出了对三角函数及其性质的研究这条主线，对于其他一些细节，例如求函数的定义域、值域，用同角三角函数的基本关系式、诱导公式进行恒等变形等，都作了淡化处理．

　　3．通过问题引导学生主动思维，使学生得到思维训练

　　为了引导学生主动思考，教科书利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问题．这些问题有的是从刻画实际问题的需要而产生的，例如任意角概念的引入，三角函数图象及其性质的研究，函数的图象的研究等，更多的是从数学发展内部提出的，例如用单位圆上点的坐标定义三角函数后，自然要提出圆的性质与三角函数性质之间关系的问题，而这个问题恰好是讨论同角三角函数之间的关系、诱导公式以及三角函数的图象与性质的出发点：同角三角函数的关系与单位圆中直角三角形；诱导公式与圆的对称性；三角函数的周期性与圆周长；三角函数的单调性与单位圆中有向线段的变化规律……总之，教科书利用知识的发生发展过程来自然地提出问题，引导学生层层深入地进行思考，可以使学生得到思维方法上的训练．

　　类比、联系、推广、化归等是数学研究中的常用方法，本章努力引导学生学习这些方法．例如，通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制；联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路；从单位圆上点的坐标表示锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义；研究函数y=Asin(φ)的图象，按照y=sinx──y=sin(x+φ)──y=sin(φ)──y=Asin(φ)的线索展开，体现了从简单到复杂、由特殊到一般的化归方法．

　　对于那些可以直接类比或经过简单推论就可以得出的结论，教科书利用“思考”“探究”栏目，通过“留白”的方式让学生自己思考探究而得出结果．例如，特殊角的角度与弧度的关系表；三角函数的定义域，三角函数值的符号；余弦函数性质的研究；由y=sinx的图象到y=Asin(φ)的图象等．

　　4．适当使用信息技术

　　在本章，信息技术的使用在如下几个方面得到体现：一是利用信息技术工具进行角度制、弧度制的单位互换，求三角函数值，作函数图象等；二是利用信息技术研究问题；三是利用“信息技术使用”栏目提供弹性内容．例如，在利用计算机通过单位圆中的三角函数线作函数图象时，将三角函数的定义、单位圆中的三角函数线、三角函数图象等诸方面紧密联系在一起，并通过角的变化，将这种联系直观地、动态地表现出来；在三角函数模型的应用中，既强调了信息技术工具对数据处理的必要性，又突出了信息技术工具在函数作图中的优势，还提出了利用信息技术进行函数的拟合；与算法联系，设置了“用信息技术制作三角函数表”等．

　　考虑到我国各地在数学教学中使用信息技术的不平衡性，教科书在使用信息技术上采取了弹性处理，即在适宜使用信息技术的地方，采用边空注释的方法，对信息技术的使用作出提示或说明．

　　四、对教学的几个建议

　　1．准确把握教学要求

　　与以往的三角函数内容相比较，本章加强了三角函数作为刻画现实世界的数学模型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等．“标准”对三角函数内容的削减比较多，课时量也减少了，本章严格按照这种要求，删减了任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号，将对三角函数周期性的一般讨论作为选学内容．另外，任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式等都降低了要求．这样的处理，把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上，而对一些细枝末节的内容不再作过多要求．教学时应当把握好这种变化，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识点，也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目（例如求定义域、值域；已知，求α的其他三角函数值；用诱导公式进行复杂变换的问题等）．

　　2．加强相关知识的联系性，强调数学思想方法

　　由于周期现象在现实中广泛存在，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交流电、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等，因此它是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象，这样，本章内容与其他学科有紧密联系．从数学内部来说，三角函数的概念、性质与圆的知识有紧密联系，在整个三角函数内容的讨论中，单位圆发挥了关键作用．因此教学中应充分利用学生的生活经验、其他学科的知识以及关于圆的性质方面的知识，使三角函数的学习建立在丰富的背景上．

　　从数学思想方法看，本章重点是数学模型思想和数形结合思想．教学中应当充分利用章引言提供的情景，引导学生从“刻画周期现象的数学模型”的角度来认识三角函数，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识．在此基础上，要充分注重运用三角函数模型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．

　　前面已经指出，本章讨论的内容都可以用单位圆作为直观工具．因此，为了更好地体现数形结合思想，教学中要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力．

　　三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，教学中应当注意引导学生以《数学1》中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即要结合三角函数引导学生进一步理解集合与对应观点下的函数概念，函数中研究的基本问题和基本思路（根据刻画现实中周期现象的需要，引进三角函数来描述周期性变化的规律；在遇到一个新的函数时，总要看看它的图象、单调性、有没有特殊取值等等），这样可以使学生学习在高观点指导下进行数学学习与研究的思想方法，这对提高学生在学习过程中的数学思维水平是非常有帮助的．同样的，在讨论的图象时，实际上涉及函数变换与图象变换（图象的平移、伸缩与函数变换的关系），需要数形结合思想的指导，虽然教师不一定要明确地向学生指出，但教学时还是要注意渗透．

　　3．恰当使用信息技术

　　在下列内容的教学中，应积极鼓励学生使用计算器或计算机，以加强知识的发生发展过程，加深对有关概念的认识，突破学习中可能遇到的困难．

　　（1）终边相同的角的概念的认识；

　　（2）弧度制的认识，弧度与角度的互化，非特殊角的三角函数值的计算，sin-1，cos-1，tan-1的使用；

　　（3）任意角的三角函数的定义，用三角函数线表示正弦、余弦和正切函数；

　　（4）画三角函数的图象，用三角函数的图象研究三角函数的性质；

　　（5）画函数y=Asin(φ)的图象，探索A、ω、φ对图象的影响；

　　（6）根据实际数据拟合函数图象．

三角函数教学初中第 2 篇

　　第二十四教时

　　教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式

　　目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。

　　过程：

　　一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

　　例一、 已知 ， ，tana = ，tanb = ，求2a + b

　　(《教学与测试》P115 例三)

　　解： ∴

　　又∵tan2a < 0，tanb < 0 ∴ ，

　　∴ ∴2a + b =

　　例二、 已知sina - cosa = ， ，求 和tana的值

　　解：∵sina - cosa = ∴

　　化简得： ∴

　　∵ ∴ ∴ 即

　　二、 积化和差公式的推导

　　sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb Þ sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]

　　sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb Þ cosasinb = [sin(a + b) - sin(a - b)]

　　cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb Þ cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]

　　cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb Þ sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a - b)]

　　这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下)

　　例三、 求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a

　　证：左边 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a

　　= - (cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a

　　= - cos4asin2a + cos2asin2a + cos4acos2a + cos2acos2a

　　= cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1)

　　= cos2a2cos22a = cos32a = 右边

　　∴原式得证

　　三、 和差化积公式的推导

　　若令a + b = q，a - b = φ，则 ， 代入得：

　　∴

　　这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

　　例四、 已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值

　　解：∵cosa - cos b = ，∴ ①

　　sina - sin b = ，∴ ②

　　∵ ∴ ∴

　　∴

　　四、 小结：和差化积，积化和差

　　五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3

　　P38—39 例题推荐 1—3

　　P40 例题推荐 1—3

三角函数教学初中第 3 篇

　　一、知识与技能

　　1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系;揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

　　2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。

　　3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。

　　二、过程与方法

　　1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣;

　　2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

　　2.培养用联系的观点看问题的观点。

　　【教学重点与难点】：

　　重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)

　　难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

　　【学法与教学用具】：

　　1. 学法：

　　(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

　　(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

　　2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。

　　引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

　　3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

　　【授课类型】：新授课

　　【课时安排】：1课时

　　【教学思路】：

　　一、创设情景，揭示课题

　　二、研探新知

　　四、巩固深化，反馈矫正

　　五、归纳整理，整体认识

　　1.巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。

　　2.熟悉"倍角"与"二次"的关系(升角--降次，降角--升次).

　　3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

　　4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方;公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.

　　5.注意公式的结构，尤其是符号.

　　六、承上启下，留下悬念

　　七、板书设计(略)

　　八、课后记：略

三角函数教学初中第 4 篇

　　1 教材分析

　　1.1 教材的地位与作用

　　本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式.这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义

　　1.2 教学重点与难点

　　1.2.1 教学重点

　　诱导公式的推导及应用

　　1.2.2 教学难点

　　相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.

　　2 目标分析

　　根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标如下

　　2.1 知识目标

　　1)识记诱导公式.

　　2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.

　　2.2 能力目标

　　1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.

　　2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.

　　3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

　　2.3 情感目标

　　1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.

　　2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.

　　3 过程分析

　　3.1 创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题

　　1)提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征.

　　2)板书：诱导公式(一).

　　sin(k·360°+α)=sinα，cos(k·360°+α)=cosα.

　　tan(k·360°+α)=tanα，cot(k·360°+α)=cotα(k∈Z)

　　结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等.

　　②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题.

　　教学设想 通过提问让学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫.

　　3)学生练习：试求下列三角函数值

　　sin1110°，sin1290°.

　　教学设想 由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花.

　　4)介绍单位圆概念后，引导学生观察演示(一)并思考下列问题：

　　①210°能否用(180°+α)的形式表达(0°<α<90°)?(210°=180°+30°)

　　②210°与30°角的终边位置关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)

　　③设210°，30°角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于原点对称)

　　④设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)]

　　⑤sin210°与sin30°的值的关系如何?

　　教学设想 通过微机动态演示，引导学生发现210°与30°角的终边及其与单位圆交点关于原点对称关系，借助三角函数定义，寻找sin210°与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数值的目的.

　　学生通过主动探索、发现解决问题的途径，体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法.

　　5)导入课题

　　对于任意角α，sinα与sin(180°+α)的关系如何呢?试说出你的猜想.

　　3.2 运用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳、推导公式

　　1)引导学生观察演示(二)并思考下列问题：

　　①α与(180°+α)角的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)

　　②设α与(180°+α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于原点对称)

　　③设点P(x，y)，那么点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)]

　　④sinα与sin(180°+α)，cosα与cos(180°+α)关系如何?

　　⑤tanα与tan(180°+α)，cotα与cot(180°+α)关系如何?

　　⑥经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?

　　2)板书诱导公式

　　sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，

　　tan(180°+α)=tanα，cot(180°+α)=cotα.

　　结构特征：①函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时).

　　②把求(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.

　　教学设想 激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移，引导学生观察演示，发现角α与(180°+α)的终边及其与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.对学生进行归纳思维训练，培养学生归纳思维能力.

　　微机的动态演示，使学生对“α为任意角”有准确的认识，初步体验从特殊到一般的归纳推理形式，领会数学的归纳转化思想和方法.

　　3)基础训练题组一

　　求下列各三角函数值(可查表)：

　　②试求sin[180°+(-210°)]的值

　　分析：

　　对于问题②学生可能出现的情况为：

　　sin[180°+(-210°)]=-sin(-210°)，

　　或sin[180°+(-210°)]=sin(-30°).

　　(至此，大多数学生已无法再运算)

　　教学设想 在新的知识的基础上又导出新的未知，又一次创设问题情境，把学生的学习兴趣进一步推向高潮，激励学生要敢于迎接挑战、战胜困难、不断追求、陶冶情操、锻炼意志.

　　4)引导学生观察演示(三)，并思考下列问题：

　　①30°与(-30°)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)

　　②设30°与(-30°)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于x轴对称)

　　③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)]

　　④sin(-30°)与sin30°的值关系如何?

　　教学设想 引导学生把求sin210°问题与sin(-30°)进行类比，实现方法迁移.通过微机动态演示，发现-30°与30°角的终边及其与单位圆交点关于x轴对称的关系.借助三角函数定义，寻找sin(-30°)与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数的值的目的.

　　5)导入新问题：对于任意角α，sinα与sin(-α)的关系如何呢?试说出你的猜想?

　　6)引导学生观察演示(四)并思考下列问题：(设α为任意角)

　　①α与(-α)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)

　　②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于x轴对称)

　　③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)]

　　④sinα与sin(-α)，cosα与cos(-α)关系如何?

　　⑤tanα与tan(-α)，cotα与cot(-α)的关系如何?

　　7)学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评.

　　8)板书诱导公式

　　sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα.

　　tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα.

　　结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角)

　　把求(-α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.

　　9)基础训练题组(二)：求下列各三角函数值(可查表)

　　③cos(-240°12');④cot(-400°).

　　3.3 构建知识系统、掌握方法、强化能力

　　课堂小结：(以提问、填空形式让学生自己完成)

　　1)诱导公式：

　　sin(k·360°+α)=sinα.

　　cos(k·360°+α)=cosα.

　　tan(k·360°+α)=tanα.

　　cot(k·360°+α)=cotα.(k∈Z)

　　sin(180°+α)=-sinα.

　　cos(180°+α)=-cosα.

　　tan(180°+α)=tanα.

　　cot(180°+α)=cotα.

　　sin(-α)=-sinα.

　　cos(-α)=cosα.

　　tan(-α)=-tanα.

　　cot(-α)=-cotα.

　　2)公式的结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时)

　　3)方法及步骤：

　　教学设想 通过提问、填空的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识系统，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，强化记忆.

　　挖掘知识系统体现数学的归纳转化思想方法，培养学生的概括抽象能力，形成知识网络和方法网络.

　　4)能力训练题组：(检测学生综合运用知识能力)

　　5)课外思考题.

　　①求下列各三角函数值：

　　6)作业与课外思考题

　　作业：P162习题十三(1)—(6)

　　教学设想 通过能力训练题组和课外思考题检测学生综合运用知识的能力，培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

　　为学生课外留下“余音”，培养学生养成自觉学习、积极探索的良好学习习惯，为下一节课学习诱导公式(四)、(五)作准备.

　　4 教法分析

　　根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法.

　　4.1 利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.

　　4.2 由(180°+30°)与30°，(-30°)与30°终边对称关系的特殊例子，利用多媒体动态演示，学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想，引导学生进行问题类比、方法迁移，发现任意角α与(180°+α)，-α终边的对称关系，进行从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力.

　　4.3 采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识和创新精神，培养学生的思维能力.

　　4.4 通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式(一)、(二)、(三)的应用进一步拓广，为演绎推导诱导公式(四)、(五)做好理论依据准备，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力.

　　5 评价分析

　　本节课教学过程中通过问题设疑，引导学生循序渐进的从特殊到一般进行联想、类比、归纳，发现数学公式，体现以教师为主导，学生为主体，积极思维的学习过程.

　　在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中，师生的信息交流畅通，反馈及时，评价及时，矫正及时，学生思维活跃，教学活动始终处于教师期望控制中.

　　5 教案设计说明

　　5.1 关于本节课教学指导思想

　　归纳推理是发现和获得知识的基本思维形式，拉普拉斯曾说：“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有特殊的重要的地位，归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数求值是三角函数中重要问题之一，诱导公式是解决此类问题的基本方法.教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施，创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比、归纳出具有普遍的、一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，促使学生积极思维主动探索，勇于发现，敢于创新.通过从特殊到一般的归纳思维训练，学生主动地获得新的知识，并在获得知识的过程中，形成良好的思维品质，发展学生的思维能力.

　　5.2 关于教学过程的设计

　　1)重现已有相关知识，为学习新知识作好铺垫.

　　2)思维总是从问题开始的，在sin1290°的求值过程中，从已知到未知，引发新的问题，营造氛围，引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲.

　　3)数学的思想方法是数学素质的核心，由sin210°的求值过程，把未知转化为已知，引导学生发现推导诱导公式的方法和途径，领会数学的归纳转化思想方法.

　　4)通过多媒体直观动态的演示，从特殊到一般完成所有情况的分类，引导学生联想，进行问题类比、方法迁移、归纳推理出具有普遍性的结论，形成公式，进行归纳思维训练.

　　5)通过分析诱导公式的结构特征，强化对诱导公式的理解和记忆，深刻领会诱导公式的内涵和实质.构建知识系统，培养学生的概括抽象能力.

　　6)通过基础训练题组和课外思考题的练习，掌握解决问题的方法，形成技能，提高学生分析问题和解决问题的能力.