高中不等式基本性质教案

这是高中不等式基本性质教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中不等式基本性质教案第 1 篇

教学目标

1．

使学生掌握不等式的三条基本性质；

2．

培养学生观察、分析、比较的能力，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．

教学重点和难点

重点：不等式的三条基本性质的运用．

难点：不等式的基本性质3的运用．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．

什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质．

2．

当x取下列数值时，不等式1-5x＜16是否成立？

3，-4，-3，4，2．5，0，-1．

3．

用不等式表示下列数量关系：

（1）

x的３倍大于x的2倍与5的差；

（3）y的与x的的差小于2；

（2）

y的一半与4的和是负数；

（4）5与a的4倍的差不是正数．

4．

按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：

（1）m＞n，两边都减去3；

（2）m＞n，两边同乘以3；

（3）m＞n，两边同乘以-3；

（4）m＞n，两边同乘以-3；

（5）m＞n，两边同乘以

．

（以上各题中，从第2题开始，用投影仪打在屏幕上．学生在回答上述问题时，如遇到困难，教师应做适当点拨）在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质。

二、讲授新课

例1

在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．

（1）若a–3＜9，则a_____12；

（2）若-a＜10，则a_____–10；

（3）若a＞–1，则a_____–4；

（4）若-a＞，则a_____0．

答：（1）a＜12，根据不等式基本性质1．

（2）a＞-10，根据不等式基本性质3．

（3）a＞-4，根据不等式基本性质2．

（4）a＜0，根据不等式基本性质3．

（在讲授本课时，应启发学和在添加不等号“＞”或“＜”时，要和题目中的已知条件进行对比，观察它是根据不等式的哪条基本性质，是怎样由已知条件变形得到的．同时还应强调在运用不等式基本性质3时，不等号要改变方向＝

例2

已知，用a＜0,“＜”或“＞”号填空：

（1）a+2_____2；

（2）a-1_____–1；

（3）3a_____0；

(4)a-1______0;

(5)a2

_______0;

(6)a3______0;

(7)a-1______0;

(8)|a|______0.

答：（１）a+2＜２，根据不等式基本性质１．

（２）a-1＜-1,根据不等式基本性质１．

（３）因为３a,根据不等式基本性质２．

（４）－＞０，根据不等式基本性质３．

（５）因为a＜０，两边同乘以a＜０，由不等式基本性质３，得a２＞０．

（６）因为a＜０，两边同乘以a２＞０，由不等式基本性质２，得a3＜0.

（７）因为a＜０，两边同加上－１，由不等式基本性质１，得a－１＜－１．

又已知，－１＜０，所以a－1＜0．

（８）因为.a＜０，所以a≠０，所以｜a｜＞０．

（本例题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识，如a＜０表示a是负数；a＞０表示a是正数；｜a｜是非负数．后面几个小题较灵活，条件由具体数字改为抽象的字母，这里字母代表正数还是代表负数是解决问题的关键）

例外

判断下列各题的推导是否正确？为什么？（投影）（请学生回答）

（１）因为７．５＞５．７，所以－７．５＜－５．７；

（２）因为a+8＞4,，所以a＞－４；

（３）因为４a＞４b，所以a＞b；

（４）因为a＜b，所以＜＞＇

（５）因为＞－１，所以a＞4;

(６)因为－１＞－２，所以－a－１＞－a－２；

（７）因为３＞２，所以３a＞２a．

答：（１）正确，根据不等式基本性质３．

（２）正确，根据不等式基本性质１．

（３）正确，根据不等式基本性质２．

（４）不对，根据不等式基本性质３，应改为＞；

（５）因为＞－１，所以a＞4

答：(1)正确，根据不等式基本性质3.

(2)正确，根据不等式基本性质1.

(3)正确，根据不等式基本性质2.

(4)不对，根据不等式基本性质3，应改为.

(5)不对，根据不等式基本性质5，应改为a＜4.

(6)正确，根据不等式基本性质1.

(7)不对，应分情况逐一讨论.

当a＞0时，3a＞2a.(不等式基本性质2)

当a=0时，3a＜2a.

当a＜0时，3a＜2a.(不等式基本性质3)

(当学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助)

三、课堂练习(投影)

1.按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

(1)由-2＜-1，两边都加-a；

(2)由-4x＜0，两边都乘以-；

(3)由7＞5，两边都乘以不为零的-a.

2用“＞”或“＜”号填空：

(1)当a-b＜0时，a______b：

(2)当a＜0,b＜0时，ab_____0；

(3)当a＜0，b＜0时，ab____0；

(4)当a＞0,b＜0时，ab____0；

(5)若a____0，b＜0，则ab＞0；

(6)若＜0，且b＜0，则a_____0.

四、师生共同小结

在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号.

五、作业

1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

(1)x-1＜0；

(2)x＞-x+6；

(3)3x＞7；

(4)-x＜-3.

2.设a＜b，用“＞”或“＞”号连接下列各题中的两个代数式：

(1)a-1，b-1；

(2)a+2,b+2；

(3)2a，2b；

(4)；

(5)；

(6)-b，-a.

3.用“＞”号或“＜”号填空：

(1)若a-b＜0，则a_____b；

(2)若b＜0，则a+b_____a；

(3)若a=0，则a+b_____b；

(4)若＜0，则ab_____；

(5)b＜a＜2，则(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).

课堂教学设计说明

由于本节课的教学目标是使学生进一步掌握不等式基本性质，尤其是基本性质3.故在设计教学过程时，注意在教师的主导作用下让学生以练为主，从而使学生在初步掌握不等式的三条基本性质的基础上，通过口答，笔做，讨论等不同的方式的练习，提高学生将不等式正确、灵活进行变形的能力.

高中不等式基本性质教案第 2 篇

教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。

教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。

教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：

（i） 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的

左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii） 设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的

右边时，a与b有着怎样的大小关系？ (a>b)

（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>bÛ a-b>0.

a

a=bÛa-b=0.

引导发问：当a>b（或a

二．练习巩固

例1． 比较(x+3)(x+2)和(x-4)(x+9)的大小.（答案：> ）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？

回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。 由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质：

性质1：a>bÛb

性质2：a>b,b>cÛa>c （单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bÛa±c>b±c

a>bÛac>bc

学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bÛa±c>b±c

性质4：a>b，c>0Ûac>bc

a>b，c

由此可以说明性质4中大小符号的变化与所乘的乘数有关，提醒学生注意。

说明不等式除了以上性质，还有其他的基本性质：

性质5：a>b>0Ûan>bn(nÎN,n³2)

性质6：a>b>0Ûa>b(nÎN,n³2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。

性质3推论：

（i） 如果a+b>c，那么a>c-b

（ii） 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d

（iii） 如果a>b,c>d,那么a-d>b-c

对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。

性质4推论：

（i） 如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd

（ii） 如果a>b>0,c>d>0，那么ab> dc

让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。 推论（ii）由教师引导思考过程和方向： 要证ab1111>，即证>，在已知c>d>0的前提，问学生>的证法。 dcdcdc

学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。 让学生回答11>的证明过程： dc

由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,111c-d>0, 则-=>0， cddccd

Þ11> dc

aa>>0 dc接着证明推论（ii）： 由a>0及性质4，得

由a>b>0, c>0,1ab>0及性质4，得>>0 ccc

ab 由性质2得，>。 dc

五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。 作业：课后习题1.1的第1-4题。

高中不等式基本性质教案第 3 篇

　　1.理解并掌握不等式的概念及性质;(重点)

　　2.会用不等式表示简单问题的数量关系.(重点、难点)

　　一、情境导入

　　有一群猴子，一天结伴去摘桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个;如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子，几个桃子吗?

　　二、合作探究

　　探究点一：不等式

　　【类型一】 不等式的概念

　　下列各式中：①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.不等式的个数有(

　　)

　　A.5个 B.4个 C.3个 D.1个

　　解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，共4个.故选B.

　　方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式.解答此类题的关键是要识别常见不等号：>，<，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

　　【类型二】 用不等式表示数量关系

　　根据下列数量关系，列出不等式：

　　(1)x与2的和是负数;

　　(2)m与1的相反数的和是非负数;

　　(3)a与-2的差不大于它的3倍;

　　(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍.

　　解析：(1)负数即小于0;(2)非负数即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于;(4)不小于就是大于或等于.

　　解：(1)x+2<0;

　　(2)m-1≥0;

　　(3)a+2≤3a;

　　(4)a2+b2≥2ab.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

　　【类型三】 实际问题中的不等式

　　亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑.他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(

　　)

　　A.20x-55≥350 B.20x+55≥350

　　C.20x-55≤350 D.20x+55≤350

　　解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元.列出不等式20x+55≥350.故选B.

　　方法总结：用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示;正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

　　探究点二：不等式的性质

　　【类型一】 比较代数式的大小

　　根据不等式的性质，下列变形正确的是(

　　)

　　A.由a>b得ac2>bc2

　　B.由ac2>bc2得a>b

　　C.由-12a>2得a<2

　　D.由2x+1>x得x<-1

　　解析：A中a>b，c=0时，ac2=bc2，故A错误;B中不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确;C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以-2，故C错误;D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误.故选B.

　　方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

　　【类型二】 把不等式化成“x>a”或“x

　　把下列不等式化成“x>a”或“x

　　(1)2x-2<0;

　　(2)3x-9<6x;

　　(3)12x-2>32x-5.

　　解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.

　　解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边除以2得x<1;

　　(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9-6x得-3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以-3得x>-3;

　　(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2-32x得-x>-3.根据不等式的基本性质3，两边都除以-1得x<3.

　　方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x>a”或“x

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

　　【类型三】 判断不等式变形是否正确

　　如果不等式(a+1)x1，那么a必须满足________.

　　解析：根据不等式的基本性质可判断，a+1为负数，即a+1<0，可得a<-1.

　　方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

　　三、板书设计

　　1.不等式

　　2.不等式的性质

　　性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变;

　　性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;

　　性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变;

　　性质4：如果a>b，那么b

　　性质5：如果a>b，b>c，那么a>c.

　　本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系.要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“=”，这也是学生容易出错的地方。

高中不等式基本性质教案第 4 篇

　　教学目的

　　掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形，数学教案－不等式基本性质。

　　教学过程

　　师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

　　第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.

　　第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.

　　生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

　　师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

　　生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

　　师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

　　前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

　　生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

　　师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的'两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习，初中数学教案《数学教案－不等式基本性质》。

　　练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。

　　（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6

　　练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

　　（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

　　（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

　　（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

　　生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

　　师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

　　生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

　　师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

　　练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

　　7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

　　师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：

　　性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。

　　（让同学回答。）

　　性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。）

　　性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。）

　　现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。

　　不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。

　　生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

　　师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？

　　生：没有什么要求。