等腰三角形复习教案

这是等腰三角形复习教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　性质

　　1.等腰三角形是轴对称图形，一般有　　　　　　　　条对称轴.

　　2.性质1：等腰三角形的两底角　　　　　　　　(简写成“等边对　　　　　　　　”).

　　3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的　　　　　　　　、底边上的　　　　　　　　相互重合(简写成“三线合一”).

　　c

　　判定

　　1.有两边相等的三角形是等腰三角形;

　　2.有两角相等(简写成“等角对　　　　　　　　”)的三角形是等腰三角形.

　　2.等边三角形

　　考试内容

　　考试

　　要求

　　概念

　　有　　　　　　　　条边相等的三角形叫做等边三角形.

　　a

　　性质

　　1.具有一般等腰三角形的所有性质;

　　2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都于　　　　　　　　;

　　3.等边三角形是轴对称图形，共有　　　　　　　　条对称轴.

　　c

　　判定

　　1.三条边相等的三角形是等边三角形;

　　2.三个角都　　　　　　　　的三角形是等边三角形;

　　3.有一个角是　　　　　　　　的等腰三角形是等边三角形.

　　拓展

　　S等边ABC=2(1)ah=4(3)a2，h=2(3)a，其中a为边长，h为高.

　　考试内容

　　考试

　　要求

　　基本

　　方法

　　求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部;(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部.

　　c

　　1.(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)

　　A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE

　　2.(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________.

　　3.(2015·义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____________________cm.

　　【问题】如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，D为EC中点.

　　(1)你能从图中得到哪些信息?

　　(2)求∠CAE的度数;

　　(3)求证：ADE是等边三角形.

　　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识.

　　类型一　等腰三角形的性质与判定

　　如图，在ABC中，∠B=∠C，点D在BC上.

　　(1)若顶角40°，则一个底角的度数为________;

　　(2)若一个内角50°，则顶角的度数为________;

　　(3)若一个外角为100°，则顶角的度数为________;

　　(4)若AD⊥BC，AB=6，CD=4，则ABC的周长是________.

　　(5)若BD=DC，∠B=50°，则∠DAC=________.

　　(6)若ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.

　　【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角;对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.

　　1.(1)(2016·泰安)如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为(　　)

　　A.44° B.66° C.88° D.92°

　　(2)(2017·绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点.若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为(　　)

　　A.20° B.35° C.40° D.55°

　　(3)(2017·温州模拟)如图，等腰ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD=

　　cm.

　　类型二　等边三角形的性质与判定

　　(1)等边ABC中，AB=4，则它的高为________，ABC的面积为________;

　　(2) 如图1，等边ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DEBC交AC于E，ABC的边长为a，则ADE的周长是________;

　　(3) 如图2，等边ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为________;

　　(4) 如图3，等边ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________.

　　【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题.

　　类型三　等腰三角形构造的分类讨论

　　(2016·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个.

　　【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长.

　　4.(1)(2017·西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连结AD，过点D作一条直线将ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度.

　　(2)(2016·丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有　　个.类型四　等腰三角形的探究问题

　　(1)问题发现

　　如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.

　　填空：∠AEB的度数为________;

　　线段AD、BE之间的数量关系是________.

　　(2)拓展探究

　　如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.

　　(3)解决问题

　　如图3，在正方形ABCD中，CD=.若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离.

　　【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键.它是中考的热点题型.

　　5.(2016·江西模拟)有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　.

　　类型五　等腰三角形的综合运用

　　(2016·石家庄模拟)如图，点O是等边ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC，连结OD.

　　(1)求证：COD是等边三角形;

　　(2)当α=150°时，试判断AOD的形状，并说明理由;

　　(3)探究：当α为多少度时，AOD是等腰三角形?

　　【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等).

　　【探索研究题】

　　(2016·菏泽)如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.

　　(1)如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.

　　求证：AD=BE;

　　求∠AEB的度数.

　　(2)如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+3(3)BN.

　　【方法与对策】(1)通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合ACB和DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出ACDBCE，由此即可得出结论AD=BE;结合中的ACDBCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论.这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题.这类问题是中考的热点题型.