三角函数的概念教学重难点

这是三角函数的概念教学重难点，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

三角函数的概念教学重难点第 1 篇

　　一、课程学习目标

　　1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA三个锐角三角函数表示直角三角形中两边的比；正弦、余弦、正切的函数值，并会由一个特殊的三角函数值说出这个特殊角。

　　2、理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

　　3、通过锐角三角三角形的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的应用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。

　　二、本章知识结构图

　　三、本章内容安排

　　1、主要内容：本章内容可分为两节，第一节主要学习锐角三角函数的概念，第二节主要是研究直角三角形的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效地工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。

　　2、本章的重点：锐角三角函数的'概念和解直角三角形的解法。

　　3、本章的难点：锐角三角函数的概念。

　　4、本章的中考的地位和作用：

　　①《锐角三函数》是各地中考的热点之一，分值一般占10分左右，由于解直角三角形的应用广泛，更容易提升学生的解决事实问题的能力，所以分值比例还呈上升的趋势，仅以我市近三年的中考卷足以说明，详见下面统计表：

　　时间

　　分值08年09年10年

　　题号11、1911、15、188、11、14、20

　　分值99.510.5

　　比例7.5%7.9%8.6%

　　②本章内容与学过“相似三角形”“勾股定理”等内容联系密切，并为高中数学中三角函数等知识的学习做好准备。

　　四、课时安排

　　1、本章教学时间按照义务教育课程标准试验教科书数学九年级下册《教师教学教学用书》是12课时，但是，根据我镇教育中心统一安排了第十周的周四、周五（即20XX年4月21、22日）进行全镇第一次的模拟考的要求，再结合我校的实际情况，经备课组研究制定出中考备考计划，根据计划确定初步安排7节课，详见如下：

　　28.1 锐角三角函数 ……3课时

　　（1） 28.1锐角三角函数———正弦 ……1课时；

　　（2） 28.1锐角三角函数———余弦和正切 ……1课时；

　　（3） 281锐角三角函数———特殊角的三角函数值 ……1课时。

　　28.2 解直角三角形 ……4课时。

　　（1）28.2解直角三角形 ……1课时；

　　（2）28.2解直角三角形的应用（1）———测量问题 ……1课时；

　　（3）28.2解直角三角形的应用（2）———方向角和坡度问题 ……1课时；

　　（4）《锐角三角函数 》的单元复习课 ……1课时。

　　2、单元测试卷是否要讲评或是否要进行补考要看学生测试成绩作最后的决定，如果成绩不好，那么就统一去级补考，确保单元过关，每个模块过关。

　　五、教学中应注意问题：

　　1、狠抓预习习惯。

　　我国教育家叶圣陶曾说过一句名言：“教育就是培养习惯”。培养良好的学习习惯是提升教育质量的。重要手段，教学实践证明，凡是学得好的同学都有预习的好习惯，用学生的话来说，预习了，上课就像复习，先人一步，一步领先，步步领先。因此，我们必须狠抓学生的预习习惯。怎样才能把预习环节落到实处？《花城中学精品课程教学案》是一个很好的抓手，我们必须花大量的时间去抓学生课前做教学案的预习导学部分，我们还用了一根斜纹的横格线的标志来区分它：“ ”，要求每个同学都要努力完成，老师开始在课堂上检查，及时反馈预习情况，促进学生养成预习习惯。预习就像数学的运算问题，成败在运算。如果在条件许可的情况下，最好自已在上课前批阅学生的预习成果，使自已心中更有数，教学案的内容呈现可以根据自已学生的实际情况灵活变通，而不是一成不变，教学案强调学生必须课前预习。

　　2、要转变教学理念，坚持新课程倡导的“自主、合作、探究”的教学模式。我们编写的《花中精品课程教学案》的原则就是落实“自主、合作、探究”的教学理念，其中，学生的自主体现在预习，预习强调就是独立完成，而在课堂上想方设法创造合作交流的机会，师生互动、生生互动，特别是生生互动，根据教育心理学规律，学生的同伴互助的影响比老师单独教的效果更大，因此，我们还在学生的座位安排上也考虑异组同质的分法，方便学生在课堂上能开展小组合作，这样，才能适应当前的课程改革，才能应对考试的变化。

　　3、注重发展学生的思维能力

　　①突出重点，突破难点。从过去的经验来看，以前这个模块是叫《解直角三角形》，而现在是叫《锐角三角函数》，为什么把名字更换呢？个人认为是因为本章重难点之一都是锐角三角函数的概念，是为了突出重点，突破难点，而锐角三角函数又是一种超越函数，是一个抽象的概念，学生不好理解，怎样才能突破这个重难点呢？我们首先先让学生回忆学过哪些函数？什么叫函数？接着我们就设计了三个探究活动，让学生通过计算、探索、归纳、证明，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有深刻的认识，加深对函数观念的理解，这样的编写方式就是为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，进一步发展学生的思维能力，有效地改变学生的学习方式。

　　②特别注意通法和通解的训练。由于中考一般把角变成特殊角处理，这样往往会使一些题目出现特殊的解法，如果忽略了一般的解法，那么会防碍了思维能力的发展。比如，教材P88的例4的解法是属于通法，不过例中的条件把两个方向角 、 分别取值为 和 后，则出现 ，所以△PAB是一个直角三角形了，这样很容易利用特解求出PB的距离了，而不用联合两个直角三角形的通解来求解。如果我们不注重通法的训练，那么特解会在更多的情况下是解决不了通解的题目，因此，我们可以通过一题多解培养学生思维的广度和深度。

　　③重视数学思想方法的运用。爱因斯坦曾说过，“方法是最有价值的知识”，本章有几个十分重要的思想方法是需要强化运用的，比如，转化思想、建构直角三角形的建模思想以及化曲为直的微积分的基本思想等等。

　　4、注重应用的意识和加强与实际的联系，学以致用。

　　数学源于生活，是实际的需要。这章书在前言提出意大利的斜塔问题和后面的铺设水管的长度问题、测量中的仰俯角问题、方向角问题及斜面的坡度问题等等，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用，我们必须提高学生的基本知识和基本技能、方法的归纳能力，比如，测量问题的一些专用的术语等等，首先必须准确理解，其次根据题意把实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题上。活学活用，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能激发学生的学习兴趣。

　　5、注意加强知识间的纵向联系，使所学知识更加系统化、网络化。

　　全等三角形的有关的理论对理解本章内容有积极的作用。例如，在研究解直角三角形的可解性时，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个边），这个三角形就确定下来，因此，这个直角形就可解了，事实上，我们还可以把直角三角形的边、角、边角关系式中从方程的角度去理解它，加强知识间的纵向联系，使所学知识更加系统化、网络化。

　　6、不要急于结束新课，确保堂堂清。

　　我校从20XX年开始实行真正的双休日制度，再加上我们在初三阶段数学课每周只安排了6节，因此，我们在今年2月24日（开学第二周末）才开始讲授《锐角三角函数》，本章的内容虽不多，不过很多的实际应用题，更需要学生能够理解题意后才能建模，而这个恰好我们的学生的学习的难点所在，因此，在讲授新课时，一定要讲清概念，专用的术语等，让学生在练习中切实掌握数学知识和数学的方法，不要急于赶进度，避免积重难返，使学生失去学习的兴趣。此外，由于我校每节课时是四十分钟，如果大家是每节课是四十五分钟的话，建议在每节课的最后五分钟进行当堂过关测试就更好了。

三角函数的概念教学重难点第 2 篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　三角函数的概念；三角函数的基本性质：三角函数值的符号、诱导公式一、同角三角函数的基本关系．

　　本单元的知识结构：

　　本单元建议用3课时：第一课时，三角函数的概念；第二课时，三角函数的基本性质；第三课时，概念和性质的简单应用．

　　2.内容解析

　　三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的重要基础．

　　传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数．由于这一定义方法出自欧拉，因此更显出它的权威性．然而，锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；而任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画．如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏．因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察．

　　一般地，概念的形成应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数概念的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角三角函数的基本关系等性质．

　　根据上述分析，确定本单元的教学重点是：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一，同角三角函数的基本关系．其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重．

　　二、目标和目标解析

　　1.目标

　　（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；

　　（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养；

　　（3）掌握三角函数值的符号；

　　（4）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；

　　（5）理解同角三角函数的基本关系式：，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．

　　2.目标解析

　　达成上述目标的标志是：

　　（1）学生能像了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在“周而复始”变化现象中的代表性．

　　（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆⊙O上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值．

　　（3）学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律．

　　（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出诱导公式一，并能据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值．

　　（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．

　　三、教学问题诊断分析

　　三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识．这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用．然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算．虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”．所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解．

　　为了破除学生在“对应关系”认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义，这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质．具体的，可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务．例如“当时，找出相应点P的坐标”并让学生明确点P的坐标的唯一确定性，再借助信息技术，让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础．利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．

　　对于定义“设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y= sinα；x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x= cosα”，可以通过如下几点帮助学生理解：

　　第一，α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数”；

　　第二，“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”，实际上给出了两个对应关系，即

　　（1）实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，

　　（2）实数α（弧度）对应于点P的横坐标x，

　　其中y，x∈[－1，1]．因为对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定，所以交点P(x，y)也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都由α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键．

　　第三，引进符号sinα，cosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”、“α的终边与单位圆交点的横坐标”，于是：对于任意一个实数α，按对应关系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应．所以，sinα，cosα都是一个由α所唯一确定的实数．

　　这里，对符号sinα，cosα和tanα的认识是第二个难点．可以通过类比引进符号logab表示ax=b中的x，说明引进这些符号的意义．

　　本单元的第三个学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导。例如，可以通过问题：“对于给定的角α，点P（cosα，sinα）是α的终边与单位圆的交点，而tan α则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗？”引导学生探究同角三角函数基本关系。

　　四、教学支持条件分析

　　为了加强学生对单位圆上点的坐标随角（圆心角）的变化而变化的直观感受，需要利用信息技术工具建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之间的关联．教学中，可以动态改变角α的终边OP(P为终边与单位圆的交点)的位置，引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在各象限中符号的变化情况．

　　五、教学过程设计

　　第一课时　5.2.1 三角函数的概念

　　（一）课时教学内容

　　三角函数的概念．

　　（二）课时教学目标

　　经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．

　　（三）教学重点与难点

　　重点：三角函数的定义．

　　难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．

　　（四）教学过程设计

　　说明：三角函数概念的学习，应在一般函数概念的指导下，按“概念形成”的方式展开，即要安排“情境—共性归纳—定义—辨析—简单应用”的过程．由于周期现象的复杂性，还需要通过适当的引导，把问题进行简化进而归结到对单位圆上点的运动规律的研究．

　　1．创设情境，明确背景

　　引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图5.2-1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又由于根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：

　　如图5.2-1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．

　　

　　

　　问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？

　　师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论后得出研究路径是

　　明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．

　　设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向．

　　2．分析具体事例，归纳共同特征

　　引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图5.2-2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．

　　

　　

　　问题2：当时，点P的坐标是什么？点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

　　一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

　　

　　

　　（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：

　　f：实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，

　　g：实数α（弧度）对应于点P的横坐标x．

　　根据上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是从集合R到集合[－1，1]的函数．）

　　设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．

　　3．任意角三角函数的定义与辨析

　　问题3：请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下问题：

　　（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？

　　（2）符号sinα，cosα和tanα分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？

　　（3）为什么说当时，tanα的值是唯一确定的？

　　（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是？

　　师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．

　　设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号表示中的x），理解三角函数符号的意义．

　　4．任意角三角函数与锐角三角函数的联系

　　问题5 ：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

　　师生活动：教师引导学生作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，得出y1=z1的结论．

　　设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性．

　　5．任意角三角函数概念的理解

　　例1利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值．

　　师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．

　　设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．

　　练习：在例1之后进行课堂练习：

　　（1）利用三角函数定义，求π，的三个三角函数值．

　　（2）说出几个使cosα＝1的α的值．

　　师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．

　　设计意图：检验学生对定义的理解情况．

　　例2　如图5.2-4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：

　　师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：

　　（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sinα，cosα吗？图5.2-4

　　（2）在你所作出的图形中，各表示什么，你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗？

　　

　　

　　设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△OM0P0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．

　　追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？

　　师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．

　　设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．

　　练习：在例2之后进行课堂练习：

　　（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．求2 s时点P所在的位置．

　　师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业．

　　设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．

　　6．目标检测设计（一）

　　（1）利用三角函数定义，求的三个三角函数值．

　　（2）已知角θ的终边过点P(－12，5)，求角θ的三个三角函数值．

　　设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．

　　第二课时　5.2.2 同角三角函数的基本关系

　　（一）课时教学内容

　　三角函数值的符号；诱导公式一；同角基本关系式．

　　（二）课时教学目标

　　（1）掌握三角函数值的符号；

　　（2）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；

　　（3）理解同角三角函数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1，，体会三角函数的内在联系性．

　　（三）教学重点与难点

　　重点：诱导公式一和同角基本关系式．

　　难点：通过诱导公式一和同角基本关系式，体会三角函数的周期性与三角函数的内在联系性．

　　（四）教学过程设计

　　引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？

　　师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：

　　因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．

　　设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．

　　问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？

　　师生活动：由学生独立完成．用集合语言表示的结果是：

　　当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}时，sinα＞0；当α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}时，sinα＜0；当α∈{β|β=kπ，k∈Z}时，sinα=0．其他两个函数也有类似结果．

　　设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．

　　例3求证：角θ为第三象限角的充要条件是

　　

　　

　　师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明．

　　设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．

　　问题2 ：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？

　　师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．

　　追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？

　　（2）你认为诱导公式一有什么作用？

　　设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．

　　问题3：诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？

　　师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一，可以把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”．然后让学生自主探究，得出“同角三角函数的基本关系”．

　　设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．

　　问题4：总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？

　　师生活动：先由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结．

　　设计意图：引导学生归纳三角函数性质的表现方式，培养学生的“数学的眼光”．借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角函数有什么关系”，结合圆的对称性，容易把研究方向指向“终边具有轴对称关系”“终边具有中心对称关系”或“终边具有某种特殊对称关系（如关于直线y=x对称）”的角的三角函数的关系，这就是下一单元要研究的诱导公式二~五．这是三角函数“与众不同”的性质．

　　第三课时　5.2.3三角函数概念和基本性质的简单应用

　　（一）课时教学内容

　　三角函数概念和基本性质的简单应用．

　　（二）课时教学目标

　　通过对三角函数概念和基本性质的实际应用，加强对三角函数概念和基本性质的理解，发展数学运算素养．

　　（三）教学重点与难点

　　重点：运用基本关系式进行三角恒等变换．

　　难点：灵活运用三角函数的基本性质进行三角恒等变换．

　　（四）教学过程设计

　　引导语：前面学习了三角函数的定义，由定义，结合单位圆的性质，我们发现了三角函数的一些“与众不同”的性质．下面我们利用这些知识解决一些问题．

　　1．例题

　　例4确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：

　　

　　例5求下列三角函数值：

　　

　　例6

　　例7求证：

　　师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．

　　对于例6，在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．

　　例7实际上是sin2x+cos2x=1的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导．可以要求学生至少给出两种证明方法．

　　设计意图：提高对三角函数基本性质的理解水平，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．

　　2．课堂练习

　　（1）教科书第183页练习第1，2题；

　　（2）教科书第185页练习第1，2，4（1）（2）题．

　　师生活动：上述题目都比较简单，学生解答完成后，公布答案自我检查即可．

　　设计意图：检验学生对定义的理解情况，通过应用三角函数的基本性质解决一些简单问题，进一步理解这些性质．

　　3．布置作业

　　教科书习题5.2第1，2，4，7，8，13，14，18题．

　　4．目标检测设计（二）

　　（1）已知，求α的终边与单位圆交点的横坐标，并求tanα的值．

　　设计意图：考查三角函数的定义．

　　（2）求下列三角函数的值：

　　设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．

　　（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是，说出几个满足条件的角α．

　　设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．

　　（4）点P（3a，4a）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？

　　设计意图：考查三角函数的定义，数学推理的严密性．

　　（5）对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：

　　角θ为第二象限角的充要条件是；

　　角θ为第三象限角的充要条件是．

　　设计意图：考查三角函数值的符号规律．

　　（6）

　　设计意图：考查同角三角函数的基本关系．

　　（7）求证：tan2α－sin2α=tan2αsin2α．

　　设计意图：考查同角三角函数的基本关系，代数变形能力．

　　六、单元小结

　　教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：

　　（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络．

　　（2）任意角三角函数的现实背景是什么？

　　（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．

　　（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？

　　师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．

　　设计意图：（1）基本脉络是“现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质”，通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路．

　　（2）明确三角函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他基本初等函数的主要特征，为三角函数的应用奠定基础．

　　（3）定义过程包括背景的简化、本质化，借助单位圆进行对应关系的分析，确认弧度制下角的集合R到区间[-1，1]（角的终边与单位圆交点的横、纵坐标的取值范围）的对应关系是函数关系，引进符号sinα，cosα表示函数值，进而引进函数tanα，完善函数的定义域等等．

　　强调任意角三角函数与锐角三角函数的区别，主要是它们的研究背景（要解决的现实问题）不同，是两类完全不同的函数；建立它们的联系，可以把锐角三角函数纳入到任意角三角函数的系统中（对角的取值范围作出限制即可），从而形成清晰的、可辨别的三角函数认知结构，有利于三角函数的应用．

　　（4）对“如何发现性质”的反思，可以培养数学基本思想，积累基本活动经验，发展发现和提出问题的能力，这是落实数学学科核心素养的重要环节．要关注如下几点：

　　①从定义出发；

　　②发挥单位圆的作用，从中体会“三角函数的性质是圆的几何性质的解析表示”的观点；

　　③三角函数与其他基本初等函数的最大不同点是它的周期性，由此并结合定义可以得到诱导公式一；三角函数是“一个背景定义三个函数”，因此可以预见它们一定有内在联系，而且可以相互转化，这是发现同角三角函数基本关系的指路明灯，其中蕴含的思想具有可迁移性，有利于提升核心素养．

三角函数的概念教学重难点第 3 篇

在高中数学概念的学习中，有些概念是可以通过与环境的联系来习得的，如大部分基本图形的定义，很容易就能在现实中找到相应的例子，但也有一些数学概念是不能通过这种途径习得的，如高中数学中三角函数的概念，这类概念只能用语言来作出界定，只能依靠高中生门对这些语言的“内涵”与“外延”的理解与学习。这就造成了三角函数概念的抽象性，很多学生包括我在内在角、函数、任意角三角函数等概念的认知上与老师要求的程度还存在不小的差距，同学们普遍反映三角函数的学习很困难，很多学生宁愿使用建立代数函数的方法解决三角形相关问题。可以说，三角函数是高中生数学学习的一个难点。针对这种现象，我结合自自己的学习经验，对造成这种现象的原因进行了分析，并总结了高中三角函数概念的建构方法，希望能对在三角函数概念上有所困惑的同学有所帮助。

一、三角函数的教学难点及其原因

三角函数是高中生接触到的第一个有多对一对应关系的函数，也是高中数学的教学重点之一，更是沟通代数与几何的桥梁。对高中学生而言，三角函数概念的学习存在困难已经成为不可争辩的事实，那么，这些困难具体有哪些方面的表现呢？为此，我对班内的同学们进行了调查，结果表明绝大部分学生都能使用初中学到的锐角三角函数知识解直角三角形，但普遍不理解锐角三角函数的定义，如回答“在直角三角形ABC中，∠C为直角，则∠A的三角函数是只与∠A有关，还是与RtABC有关？”这个问题时，有接近80%的学生回答与RtABC有关。

为了探讨产生这种现象的原因，我查阅了初中教材上对三角函数的定义。发现在初中数学教材中，三角函数都是在直角三角形中来定义的，利用直角三角形边与边的比来定义锐角的正弦、余弦与正切函数，虽然教材也对高中三角函数的引入进行了一定的铺垫，但从当前高中阶段在三角函数方面的学习效果来看，这些铺垫很显然没有起到多大效果。究其原因，首先是部分初中数学老师们在教学时偏重于对解题的教学，忽视对定义的教学，其次是很多教材在章头问题上存在不少先入为主的影响。在本次调查中，发现能准确理解并掌握三角函数概念的学生，只占了不到班内总人数的20%，有接近50%的学生在三角函数概念的理解上存在不同程度的困难。在调查中，很多学生都谈到了以下两个问题：（1）为何高中教材要用坐标法来定义三角函数概念呢？（2）在用坐标法定义三角函数概念时，为何∠α中边上的点P能够任意选取呢？那么如何帮助同学们建构三角函数这一概念结构呢？为此我积极向老师请教，和同学们探讨，思考出了以下几点采取措施。

二、高中三角函数概念的建构方法

1.复习初中三角函数的定义，建构三角函数的新定义

从复习初中教材入手，有助于激活学生对相关内容的记忆。再利用高中函数观点来解析初中三角函数概念，即“高中三角函数概念是对初中三角函数概念的深化，也是对初中三角函数概念的局限性（主要指定义域上的局限性）的揭示，是建构三角函数新定义的‘催化剂’”。函数思想是高中数学学习的重要内容，对帮助学生理解三角函数新定义具有很大的帮助，是学生实现从旧定义向新定义转化的有力保证。在高中函数定义的解释下，学生能准确的看到初中定义的不足：旧定义中的自变量局限为锐角，只能解决锐角三角函数的相关问题，而高中三角函数概念中，角的范围变大了，因此，三角函数的定义域也必须相应扩大才行，将角纳入到直角坐标系中，在规定了始边与终边之后，用“坐标法”来定x三角函数概念的方法也就更加容易理解了。将角纳入到直角坐标系中之后，角就变得更加富有“生命力”了，新定义也不再那么抽象，而是在涵盖旧定义的基础上有了新的内涵。

2.巩固新定义，重视数学思想方法

在三角函数概念的定义中，旧定义内容少、浅、易，而新定义内容丰富，外延广泛，概括程度高，理解难度大，学生在学习新定义时，常对新定义的把握不够稳定，容易还原，因此，不间断、及时的帮助学生巩固新定义是老师们不得不考虑的问题。

我们知道，三角函数旧定义的最大优点就是直观性和情境性较好，“形”的特征突出，而新定义则是“数”、“形”兼备：距离、坐标、比值属于“数”的范畴，而坐标系的引进，角的旋转，则属于“形”的范畴，以“数”解“形”、以“形”助“数”、“数”“形”结合是我们帮助学生理解新定义的有力武器，转变学生的数学思想方法，培养学生数学思想方法，无疑是帮助学生巩固三角函数新定义的明智途径。

3.课堂上注重教学情境，挖掘问题本质，引出三角函数的定义

在数学课堂上，老师们可以向学生讲述数学悠久的历史，并由此引出三角函数的定义，这样在学生的心中就能够其出现的背景以及发展的历程，同时还能够开发学生的智力，也就是由具体的问题到抽象的概念。选择较为恰当的教学情境，让学生能够在学习的过程中体会到乐趣，如此他们才会对这个概念在充分理解的情况下有更深刻的记忆。

三、结语

在新的数学课程标准中，明确的标定要掌握三角函数，也就是说，能够将三角函数的相关内容全部理解并且能够准确无误的应用在实际的例子中。可以说，三角函数的应用价值非常高，仅仅是利用其图像和性质，在数形结合使用方面体现为：求解三角不等式、三角方程，证明三角不等式、恒等式，倘若将“数”“形”分开对待，能够成为三角函数研究其基本问题的重要工具。三角函数对于老师们来说，详细准确的讲解也是非常困难的，倘若老师们在讲解之前进行足够的铺垫渲染，那么相信我们学生理解起来就会容易多了。

总而言之，在高中教学阶段，定义性的数学概念的教学与学习是存在较大难度的，以上方法也只是我自身的探讨，具体的效果还需要同学们自己去感悟和理解。我相信，只要切实理解高中生门的学习难处，加强新旧知识的衔接，做好师生间的沟通，就一定能使学生更好的掌握三角函数的新定义，为后续学习打下良好的基础。 。

三角函数的概念教学重难点第 4 篇

　　一、教材分析

　　（一）内容说明

　　函数是中学数学的重要内容，中学数学对函数的研究大致分成了三个阶段。

　　三角函数是最具代表性的一种基本初等函数。本章我们将开始三角函数的入门，从最基础的任意角和弧度制以及任意角的三角函数讲起。本节课是数形结合思想方法的良好素材。数形结合是数学研究中的重要思想方法和解题方法。

　　著名数学家华罗庚先生的诗句：......数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休......可以说精辟地道出了数形结合的重要性。 本节通过对数形结合的进一步认识，可以改进学习方法，增强学习数学的自信心和兴趣。另外，三角函数的曲线性质也体现了数学的对称之美、和谐之美。因此，本节课在教材中的知识作用和思想地位是相当重要的。

　　（二）课时安排

　　教材安排为4课时,我计划用5课时

　　（三）目标和重、难点

　　1．教学目标

　　教学目标的确定，考虑了以下几点：

　　（1）高一学生有一定的抽象思维能力，而形象思维在学习中占有不可替代的地位，所以本节要紧紧抓住数形结合方法进行探索；

　　（2）本班学生对数学科特别是函数内容的学习有畏难情绪，所以在内容上要降低深难度。

　　（3）学会方法比获得知识更重要，本节课着眼于新知识的探索过程与方法，巩固应用主要放在后面的三节课进行。

　　由此，我确定了以下三个层面的教学目标：

　　（1）知识层面：结合单位圆的图像研究正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；

　　（2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础；

　　（3）情感层面：通过运用数形结合思想方法，让学生体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程，体会数学之美，从而激发学习数学的信心和兴趣。

　　2． 重、难点

　　由以上教学目标可知，本节重点是师生共同探索，正、余函数的性质，在探索中体会数形结合思想方法。

　　难点是：弧度制的换算以及正弦函数、余弦函数和正切函数的简单性质。 为什么这样确定呢？ 因为周期概念是学生第一次接触，理解上易错。

　　如何克服难点呢？通过图像让学生直观的理解这些函数的性质，通过多做练习让学生巩固所学的知识。

　　二、教法分析

　　（一）教法说明 教法的确定基于如下考虑：

　　（1）心理学的研究表明：只有内化的东西才能充分外显，只有学生自己获取的知识，他才能灵活应用，所以要注重学生的自主探索。

　　（2）本节目的是让学生学会如何探索、理解弧度制的转换，和正、余弦函数的性质。教师始终要注意的是引导学生探索，而不是自己探索、学生观看，所以教师要引导，而且只能引导不能代办，否则不但没有教给学习方法，而且会让学生产生依赖和倦怠。

　　（3）本节内容属于本源性知识，一般采用观察、实验、归纳、总结为主的方法，以培养学生自学能力。

　　所以，根据以人为本，以学定教的原则，我采取以问题为解决为中心、启发为主的教学方法，形成教师点拨引导、学生积极参与、师生共同探讨的课堂结构形式，营造一种民主和谐的课堂氛围。

　　（二） 教学手段说明：

　　为完成本节课的教学目标，突出重点、克服难点，我采取了以下三个教学手段：

　　（1）精心设计课堂提问，整个课堂以问题为线索，带着问题探索新知，因为没有问题就没有发现。

　　（2）为便于课堂操作和知识条理化，事先制作正弦函数、余弦函数性质表，让学生当堂完成表格的填写；

　　三、学法和能力培养

　　我发现，许多学生的学习方法是：直接记住弧度制转换的公式，以及函数性质，在解题中套用结论，对结论的来源不理解，知其然不知其所以然，应用中不能变通和迁移。

　　本节的学习方法对后续内容的学习具有指导意义。为了培养学法，充分关注学生的可持续发展，教师要转换角色，站在初学者的位置上，和学生共同探索新知，共同体验数形结合的研究方法；帮助学生实现知识的意义建构，帮助学生发现和总结学习方法，使教师成为学生学习的高级合作伙伴。

　　教师要做到：授之以渔，与之合作而渔，使学生享受渔之乐趣。 因此

　　1.本节要教给学生看图象、找规律、思考提问、交流协作、探索归纳的学习方法。

　　2.通过本课的探索过程，培养学生观察、分析、交流、合作、类比、归纳的学习能力及数形结合（看图说话）的意识和能力。

　　四、教学程序

　　指导思想是：两条线索、三大特点、四个环节

　　（一）导入

　　引出数形结合思想方法，强调其含义和重要性，告诉学生，本节课将利用数形结合方法来研究，会使学习变得轻松有趣。

　　采用这样的引入方法，目的是打消学生对函数学习的畏难情绪，引起学生注意，也激起学生好奇和兴趣。

　　（二）新知探索 主要环节，分为两个部分 教学过程如下：

　　第一部分————师生共同研究得出正弦函数的性质

　　1．任意角的表达形式

　　2．弧度制

　　3．任意角的三角函数 设计意图：

　　循序渐进，由浅入深，通过数形结合的方法使学生能够对三角函数有一个直观的概念。 第二部分————学习任务转移给学生 设计意图：

　　（1）通过把学习任务转移给学生，激发学生的`主体意识和成就动机，利于学生作自我评价；

　　（2）通过学生自主探索，给予学生解决问题的自主权，促进生生交流，利于教师作反馈评价；

　　（3）通过课堂教学结构的改革，提高课堂教学效率，最终使学生成为独立的学习者，这也符合建构主义的教学原则。

　　（三）巩固练习

　　补充和选作题体现了课堂要求的差异性。

　　（四）结课

　　五、板书说明

　　既要体现原则性又要考虑灵活性

　　1.板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课本上的呈现方式来编排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则；（原则性）

　　2.使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。（灵活性）

　　六、效果及评价说明

　　（一）知识诊断

　　（二）评价说明

　　1．针对本班学生情况对课本进行了适当改编、细化，有利于难点克服和学生主体性的调动。

　　2． 根据课堂上师生的双边活动，作出适时调整、补充（反馈评价）；根据学生课后作业、提问等情况，反复修改并指导下节课的设计（反复评价）。

　　3． 本节课充分体现了面向全体学生、以问题解决为中心、注重知识的建构过程与方法、重视学生思想与情感的设计理念，积极地探索和实践我校的科研课题——努力推进课堂教学结构改革。

　　通过这样的探索过程，相信学生能从中有所体会，对后续内容的学习和学生的可持续发展会有一定的帮助。希望很久以后留在学生记忆中的不是知识本身，而是方法与思想，是学习的习惯和热情，这正是我们教育工作者追求的结果。