三角函数的图象与性质教学反思

这是三角函数的图象与性质教学反思，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

三角函数的图象与性质教学反思第 1 篇

　　成功之处：

　　1、本节课的教学设计我是从学生的现状和认知结构、此阶段的知识水平出发来确定教学的预期目标，并分析学生从起点状态过渡到终点状态应掌握的知识技能或应形成的态度与行为习惯；考虑用适当的方式方法向学生呈现教材并提供反馈，创设一个有利于实现教学目标的活动环境，通过多层次多方位的动态活动方式，努力揭示知识发生的过程和学生思维展开的层次，极大限度地调动学生的主动性和激发学生的学习热情。

　　2、本节课的引入，我是利用动画演示：“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”这一大家所熟悉物理实验来创设情景，即可引发学生的学习兴趣，又让学生体会到数学是来源于现实世界的，从而激发学生的学习热情。

　　3、整节课能突出重点，突破教学难点：

　　（1）在学情分析中，我发现学生对三角函数线的认识不到位，针对此问题我利用几何画板所做的课件动态显示随着角度的增大，三角函数线的变化情况

　　(2)在利用单位圆来画正弦函数图象的过程中，教材是对单位圆十二等分，且等分的.份数越多所画的图象越精确，但传统教法是无法把这个过程动态地展示出来的，我用几何画板课件把这个过程动态的演示出来，克服了传统教法的不足，极大地调动了学习热情。

　　(3)通过单位圆上的动点循环运动，得到正弦函数图象重复出现这一教学过程，直观地把终边相同的角有相同的三角函数值动态地显示出来，使得在由的图象得出的图象这一环节的教学水到渠成。同时也渗透了正弦曲线的周期性、单调性等性质，为下一节研究正、余弦函数的性质作了铺垫。

　　（4）设计学生的练习：画(1) y =1+cosx,x∈[0,2π]

　　(2) y =-sinx ，x∈[0,2n]的简图。

　　通过学生的动手实际操作，将知识转化为能力，形成技能，把多媒体教学与传统教学有机地结合起来。

　　4、让学生参与到知识的形成过程中,使学生听有所思,思有所获,增强学生学习数学的信心和兴趣。

　　5、本节课的教学组织是比较成功的，在教学时我注意从学生已有的知识经验出发，以学生为教学的主体，关注学生在教学过程中的反应，及时加以引导、点评和鼓励，使得学生始终能保持较高的热情投入学习，从学生的课堂练习来看，教学的预期目标基本达到。

　　6、在教学中注意渗透类比联想的思想、数形结合的思想，以及从特殊到一般的思想方法，注重在传授知识的同时培养能力。

　　几点遗憾：

　　1、对学情掌握不够透彻，在引导、启发学生的教学过程中，用时超过了预计时间，所以留给学生的时间就还不够充分，特别是在学生做练习的时候。同时点评的机会不足，这样不利于学生学习兴趣的培养，不利于学生智慧火花的点燃。

　　2、由于本课节课釆用多媒体教学，在一定程度上教师与学生交流及互动就没有传统教学到位。

　　3、本节课我注意抓住教学内容的几个兴奋点来进行教学，前半部分我认为做得很好，例如：引入部分、通过代数描点法做不出精确图形的矛盾从而产生几何描点法的需要、通过互动式演示利用正弦线画正弦曲线时的重复性来渗透正弦曲线的周期性等，但在最后一个兴奋点课堂练习：作的简图时，对自变量中关键五点的取点点评不够。

　　4、在教学过程中教师示范作图的环节不够到位。

　　教学思考

　　多媒体辅助教学应该怎样辅？辅到哪一个程度比较合适？好处是显而易见的：生动、直观、形象；有效化解和突破一些传统教学无法突破的难点；增大教学容量等。但问题是：如果过多依赖多媒体，是否会出现替代教师行为过多？是否会影响培养学生的实际动手动力？由于多媒体演示的形象直观，在使学生容易理解的同时，是否也会影响对学生思维能力的培养呢？例如：在本节课的教学中，电脑演示作图可否代替教师的板演作图？这些问题都是在今后教学实践中值得思考、探索和研究的。

三角函数的图象与性质教学反思第 2 篇

根据建构主义的观点，学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动地接受知识的过程。由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。

学生们大多数都能完成得很好，但学生对自己的评价还比较保守，表现不太自信，另外我应肯定一下普遍完成任务的所有同学，不只是肯定那几个高手。

但有些同学还是忽视理论探讨，急于动手做，因此总会出现这样或那样的问题，如何让学生少走弯路，对知识理解透彻，在正确的理论引导下顺利完成任务，这是个值得研究的问题。

几点建议：

1．教材中“正弦函数图象”一节，图象的画法是直接引入几何作图法，略显突兀。从学生的认知过程分析，大多数学生会根据以往学习函数的经验采用描点法作出正弦函数的图象，但是在作图过程中会遇到困难。这时很自然地通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。

2．本节课应由图象观察出正弦函数的部分简单性质，以强化学生对图形的理解。对于本层次的处理应视学生的接受能力，以学生主动观察、探索为主，采用的方法为“发现法”，因为定义域、值域只需观察图象即可得，教师只需补充点评。另外考虑学生的接受能力其余性质应由下节处理。

3．教科书中这样描述着：在描点作图时要注意到，被五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x=0，p，2p附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在x=p/2，3p/2附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”。

学生对于“函数增加或下降快一些”“函数变化慢一些”不理解，变化体现在哪？快慢怎知？

如何让学生对知识理解透彻，在正确的理论引导下顺利完成任务，上述确是值得研究的问题。

三角函数的图象与性质教学反思第 3 篇

[考纲传真]1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx图像

定义域 R R xx≠kπ＋π2，k∈Z

值域 [－1,1] [－1,1] R单调性 递增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z，递减区间：2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z 递增区间：[2kπ－π，2kπ]k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]k∈Z 递增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称性 对称中心(kπ，0)k∈Z 对称中心kπ＋π2，0k∈Z对称中心kπ2，0k∈Z

对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z) -周期性 2π 2π π1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打"√"，错误的打"×")(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．()(2)函数y＝sinx的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(4)y＝sin|x|是偶函数．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝cos2x＋5π2的图像关于()【导学号：57962146】A．原点对称 B．y轴对称C．直线x＝5π2对称 D．直线x＝－5π2对称A[函数f(x)＝cos2x＋5π2＝－sin2x是奇函数，则图像关于原点对称，故选A.]3．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈Z B．xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈Z D．xx≠kπ2＋π4，k∈ZD[由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z.]4．(2017·长沙模拟(一))函数y＝sin12x＋π3，x∈[－2π，2π]的递增区间是()【导学号：57962147】A.－2π，－5π3 B．－2π，－5π3和π3，2πC.－5π3，π3 D．π3，2πC[令z＝12x＋π3，函数y＝sinz的递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，由2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2得4kπ－5π3≤x≤4kπ＋π3，而x∈[－2π，2π]，故其递增区间是－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos13x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．2{x|x＝6kπ，k∈Z}[f(x)min＝4－2＝2，此时，13x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]三角函数的定义域与值域(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7(2)函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为________．(1)B(2)－3，－π2∪0，π2[(1)∵f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.(2)由sin2x＞0，9－x2≥0，得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3，∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2，∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.][规律方法]1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数求解．[变式训练1](1)已知函数y＝2cosx的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是()A．2B．3C.3＋2D．2－3(2)求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．(1)B[∵x∈π3，π，∴cosx∈－1，12，故y＝2cosx的值域为[－2,1]，∴b－a＝3.](2)令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－22，22，3分∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当t＝12时，ymax＝54，当t＝－22时，ymin＝1－22，7分∴函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 12分三角函数的单调性(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上递减，则ω的取值范围是()【导学号：57962148】A.12，54 B．12，34C.0，12 D．(0,2](2)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为________．(1)A(2)kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)[(1)由π2＜x＜π得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4，由题意知π2ω＋π4，πω＋π4π2，3π2，所以π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－π3的单调增区间即可．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．][规律方法]1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律"同增异减"．(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视"ωx＋φ"为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2](1)函数f(x)＝tan2x－π3的递增区间是________.【导学号：57962149】(2)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上递增，在区间π3，π2上递减，则ω＝________.(1)kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)(2)32[(1)由－π2＋kπ＜2x－π3＜π2＋kπ(k∈Z)，得kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)．(2)∵f(x)＝sinωx(ω＞0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω＞0)在0，π3上递增，在π3，π2上递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]三角函数的奇偶性、周期性、对称性?角度1奇偶性与周期性的判断(1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．②④ B．①③④C．①②③ D．①③(2)函数y＝1－2sin2x－3π4是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数(1)C(2)A[(1)①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝π.②由图像知，函数的周期T＝π.③T＝π.④T＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y＝1－2sin2x－3π4＝cos2x－3π4＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的

奇函数．]?角度2求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图像的一个对称中心的坐标是()【导学号：57962150】A.－2π3，0 B．－π3，0C.2π3，0 D．5π3，0A[由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π3＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f(x)＝sin12x＋π3.令12x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－2π3(k∈Z)，故f(x)图像的对称中心为2kπ－2π3，0(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图像的一个对称中心的坐标为－2π3，0，故选A.]?角度3三角函数对称性的应用(1)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像关于直线x＝5π3对称，则实数a的值为()【导学号：57962151】A．－3 B．－33C.2 D.22(1)A(2)B[(1)由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.(2)由x＝5π3是f(x)图像的对称轴，可得f(0)＝f10π3，即sin0＋acos0＝sin10π3＋acos10π3，解得a＝－33.][规律方法]1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．2．求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)借助函数的图像．[思想与方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．[易错与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将"ωx＋φ"整体代入相应单调区间．3．利用换元法求三角函数最值时，注意cosx(或sinx)的有界性．4．正、余弦函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图像只是中心对称图形．

三角函数的图象与性质教学反思第 4 篇

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式大学网的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点

1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．

这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？

提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin?

?2???2??2???2?

?sin?cos??cos?sin?．

sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?

让

学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

tan??????

sin?????sin?cos??cos?sin?

． ?

cos???cos?cos??sin?sin?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos?cos?，得到tan??????注意：????

?

2

?k?,??

tan??tan?

．

1?tan?tan?

?

2

?k?,??

?

2

?k?(k?z)

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

tan??????tan???????????

tan??tan????tan??tan?

?

1?tan?tan??1?tan?tan?

?k?,??

注意：????

?

2

?k?,??

?

2

?

2

?k?(k?z)．

（二）例题讲解

例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

27iss2o4c2s7onc24is（1）、n

?

s2oc07socn02ni07sis；（2）、0

?

；（3）、

1n51a?t

1n51a?t

．

解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is（1）、

???

??

??

??

?

?

??

1

； 2

27socn07n02iisssoc020709soc0?（2）、0；

?

（3）、

151na?tn54at51nat151na?t151n54at

?

??1

5

?n4a5t51?

0n6at?335

??

．

cos(???)?，求tan??tan?的值. 例2 已知cos(???)?，

例3

xx

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

1?

x

?x?2cosxx???

sin30cosx?cos30sinx???30?x??

思考：?正、余弦分别等于和

1

2

的. 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：

32??1???

1、 已知tan??????,tan?求的值．（） ???,tan??????

5

?

4?

4

?

4?

22

2、 已知0???

值．

?

4

?????

3????3?3??5

求sin?????的,cos?????,sin?????，

4?4?5?4?13

二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

sin??????sin?cos??cos?sin?；

cos??????cos?cos??sin?sin?；

tan??????

tan??tan?

．

1?tan?tan?

我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中?看成?即可）， （二）公式推导：

sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；

cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?；

思考：把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢？cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；

cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．

tan2??tan??????

tan??tan?2tan?

?．

1?tan?tan?1?tan2?

注意：2??

?

2

?k?,??

?

2

?k? ?k?z?

（三）例题讲解 例4、已知sin2??

?

?

4

2

5??

,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 1342

解：由???,得?2???．

2

512

??又因为sin2?

?,cos2???． 1313?

于是sin4??2sin2?cos2??2?

5?12?120

； ??????

13?13?169

2

120

sin4?120?5?119

；tan4??． ???cos4??1?2sin22??1?2????

cos4?119?13?169

169

?

例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??

2tan?12

?tan??6tan??1?0

，由此得2

1?tan?3

13

解得tan???2

tan???2

（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2

2

2

???

2

．

?1和cos??1?2sin2

解：我们可以通过二倍角cos??2cos2因为cos??1?2sin2因为cos??2cos2

?

2

?

2

?

2

来做此题．

?

2

，可以得到sin2

?

2

?

1?cos?

； 21?cos?

． 2

?

2

?1，可以得到cos2

?

2

?

又因为tan2

?

?1?cos?． 1?cos?cos2

2

sin2

?

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例7、求证：

sin??????sin??????（１）、sin?cos???； ??2

1

（２）、sin??sin??2sin

???

2

cos

???

2

．

证明：（１）因为sin?????和sin?????是我们所学习过的'知识，因此我们从等式右边着手．

sin??????sin?cos??cos?sin?；sin??????sin?cos??cos?sin?．

两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????；

sin??????sin??????即sin?cos???； ??2

1

（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；设?????,?????，

那么??

???

2

,??

???

2

．

???

2cos

把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin

???

2

．

思考：在例２证明中用到哪些数学思想？

证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例8

、求函数y?sinxx的周期，最大值和最小值．

解：y?sinx

x这种形式我们在前面见过，

?1????y?sinx?x?2?sinxx?2sinx????， ?2?3????

所以，所求的周期T?

2?

?

?2?，最大值为２，最小值为?2．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

y?Asin??x???的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式

中的作用．

小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 总结： 1．

公式的变形

（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α

（3） 正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) （4） 万能公式（用tanα表示其他三角函数值）

2．

插入辅助角公式

3．

熟悉形式的变形（如何变形）

1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1

＋tanα

1＋tanα1－tanα

π

若A、B是锐角，A+B＝ ，则（1＋tanA）(1+tanB)=2

4

4． 在三角形中的结论（如何证明） A+B+Cπ

若：A＋B＋C=π =

22tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC ABBCCA

tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222

9．求值问题

（1）已知角求值题 如：sin555° （2）已知值求值问题 常用拼角、凑角

π3π35

如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝

45413 π3ππ

又

34

2）已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α－β)的值。

55（3）已知值求角问题

必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。 π11

如：．已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是锐角，求证：α＋2β＝

7341.（2010全国卷1理）(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

2. 已知0?x?

?

2

，化简：

x?

lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).

22

解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0． 3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）

在?ABC中，

ACcosB

?。 ABcosC

（Ⅰ）证明B=C：

1??

（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。

3

?

3?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.

（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinBcosB

=.于是sinCcosC

sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.

（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=.

又0

= 从而

sin4B=2sin2Bcos2B=

?

?

. 3

13

7，cos4B=cos22B?sin22B??.

99

所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin

3

3

?

3

?

4.（2010湖北理） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x?

3

3

??

1

214

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。

5.（2009江苏，15）设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;

（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.

分析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能

力

。

6.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=. （I）求sinA的值；

(II)设

?ABC的面积.

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运

1

3

算求解能力。

?B，（Ⅰ）由C?A?，且C?A??∴A??，

∴sniAsni?(11∴sin2A?(1?sinB)?，又sinA?

0，∴sinA?

233

?

2?4B2?BB(cos)422

C

B2

，

ACBC

?（Ⅱ）如图，由正弦定理得

sinBsinA

A B

∴BC?

ACsinA

?

sinB

3

?sinC?sin(A?B)?sinAcosB?

cosAsinB

?

1

??

33333

1

2

12

?3

∴S?ABC?AC?BC?sinC?7.（2009湖南卷文）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2). （Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。 解：（Ⅰ） 因为a//b，所以2sin??cos??2sin?, 于是4sin??cos?，故tan??.

（Ⅱ）由|a|?|b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5, 所以1?2sin2??4sin2??5.

从而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，

于是sin(2??)?4

1

4

?

??9?又由0????知，?2???，

4445??7?

，或2???. 4444

3??

因此??，或??.

42

所以2??

?

?

8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，

AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：

??

(II) 求sin?2A???的值

?

4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。

（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=sinCBC?2BC?2

sinA

5

ABBC

?

sinCsinA

AB2?AC2?BD225

?

2AB?AC5

（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是 sinA=从而

?cos2A?

5

sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3

55

4

4

4

所以 sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?=

?

2

10

??

???

9.（2007安徽）已知0???，?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，

?

2cos2??sin2(???)??1??

·b?m．求2)，且a b?(cos?，的值． a??tan?????，?1?，

cos??sin?4????

π?

解：因为?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，故??π．

?

8?

??·b?m，又a因a·b?cos?·tan??????2．

4

?

?

??

故cos?·tan??????m?2．

4

?

?1

1

由于0???，所以

π4

2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)

?

cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin?

?2cos?

1?tan?π??

?2cos?·tan?????2(2?m)

1?tan?4??

m??,n??cosA,sinA?