因式分解公式法

这是因式分解公式法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

因式分解公式法第 1 篇

公式法定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

分解公式：

1.平方差公式：

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

2.完全平方公式：

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。

通过例2我们可以总结出以下几点：

1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

简便计算：229²-171²

解：229²-171²

=（229+171）（229-171）

=400×58

=23200

因式分解公式法第 2 篇

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

因式分解的方法（二）——公式法

二. 教学目标：

1. 知识与技能

（1）理解运用公式法的概念。

（2）能根据公式的不同特点，正确地选用公式进行因式分解。

2. 过程与方法

（1）了解各公式的结构特点，进而记忆公式。

（2）结合公式的背景，体会公式的实际意义。

3. 情感、态度与价值观

通过主动探索与相互间的交流，获得新的知识体系，激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值。

三. 教学重点、难点：

重点：利用公式法分解因式。

难点：灵活选择恰当的方法，进行因式分解。

四. 知识要点归纳：

1. 运用公式法

（1）概念：把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（2）说明：运用公式来分解因式，关键是掌握每个公式的特点（如：项数、符号、系数和指数各有什么特点），公式中的字母不仅可以表示数，也可以表示单项式、多项式。

2. 因式分解公式

公式的特点：左边为二项式，是两个数的完全平方的差，右边是这两个数的和与差的积，运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。

公式的特点：左边为三项式，其中首末两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两个数的积的2倍（加上相应的符号），右边是这两个数之和（或差）的平方，运用完全平方公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。

说明：公式中的a、b既可以表示数，又可以表示单项式或多项式。

五. 方法技巧规律总结：

1. 平方差公式，完全平方公式中，公式中的字母a、b既可以用数或字母代替，也可以用单项式或多项式代替。

2. 如果一个多项式的各项含有公因式，就先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再分解为止。

3. 有些计算题，虽然属于单纯的数字计算，但是按一般步骤进行，不仅计算麻烦，且易出错，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再计算，就可以大大地简化运算过程。

4. 运用公式法分解因式的思路是：

（1）当多项式只有两项时，若各项的指数都是2的倍数且二次项系数异号时，可考虑用平方差公式。

（2）当多项式有三项时，可以考虑用完全平方公式加以分解。

【典型例题】

［基础知识题］

例1. 运用平方差公式分解因式

分析：在运用平方差公式进行因式分解时，首先要判断能不能把多项式写成平方差的形式，平方差公式的特点是它的左端必须是平方差的形式，即a2－b2，然后可以分解成(a+b)(a－b)，同时还要注意a、b既可以表示单项式，又可以表示多项式，同时因式分解后的结果要化简，且要分解到不能再分解为止。

解：

例2. 用完全平方公式分解因式：

分析：用完全平方公式进行因式分解时，首先要判断多项式是否符合完全平方公式的特点，其特点是：左端有三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是首末两项底数的积的两倍。

解：

［探究开放题］

例3. △ABC的三边a、b、c满足a2+2b2+c2－2ab－2bc=0，试判定△ABC的形状。

分析：此例中方程a2+2b2+c2－2ab－2bc=0含有三个字母a、b、c均是未知的，像这样的题目通常化成几个非负数的和为零的形式，求出a、b、c的值或者三者之间的关系。

解：

∴△ABC是等边三角形

例4. 已知a、b、c分别是△ABC的三边

求证：（a2+b2－c2）2－4a2b2<0

分析：已知a、b、c为△ABC的三边，因此我们可以联想到利用三角形三边关系，观察不等式左边是平方差的形式，可想到利用平方差公式分解因式。

证明：

∵a、b、c为三角形ABC的三边

根据三角形三边之间的关系有：

［创新提高题］

例5.

分析：观察式子发现（2+1）如果乘以（2－1）就可以用平方差公式得到22－1，再与22+1相乘又可用平方差公式得到24－1，这样进行下去，构造了一系列的平方差公式，因而使问题迎刃而解，此题解法巧妙之处在于借“1”，构造平方差公式。

解：

由上规律可判断264的末位数字为6。

例6. 求证比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

分析：连续自然数依次相差1，若设最小的一个自然数为n，则其它三个依次为n+1，n+2，n+3，因此根据题意比这四个连续自然数的积大1的数就是n(n+1)(n+2)(n+3)+1，欲证这个数是完全平方数，只要证明它是完全平方式即可，在证明过程中，我们可巧妙地将n与n+3组合相乘，将(n+1)与(n+2)组合相乘，目的是使两个因式相乘后，积中含有的项完全相同，都是n2+3n，然后把n2+3n看作一个整体。

解：设连续自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，根据题意得：

∴无论n取任何自然数，(n2+3n+1)2都一定是某个自然数的平方，即比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 填空题

1. 已知的值是_____________。

2. ______________。

3. 对于任意整数m，多项式都能被__________整除。

4. 分解因式：_____________。

5. 若是一个完全平方式，则m=______________。

6. 若，则____________。

7. 已知，则__________，_________。

8. 已知，当x________时，有最小值是___________。

二. 选择题

1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）

A.

B.

C.

D.

2. 无论x、y取何值，的值都是（ ）

A. 正数 B. 负数

C. 零 D. 非负数

3. 若可分解得，那么a、b、c的值分别是（ ）

A.

B.

C.

D.

4. 在有理数范围内把分解因式，设结果中因式的个数为n，则n等于（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. 计算的值是（ ）

A. 2 B. C. 0 D.

6. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 数可被60~70之间的某两个数整除，它们是（ ）

A. 6和7 B. 20和21

C. 40和41 D. 63和65

8. 多项式分解因式的结果是（ ）

A.

B.

C.

D.

三. 解答题

1. 已知：，求a、b的值。

2. 已知：的值为多少？

3. 化简求值：，其中

4. 利用因式分解计算：

四. 分解因式：

1.

2.

3.

4.

五. 求证：不论n取何值，代数式必为某一个完全平方数的3倍。

六. 求证：能被45整除。

【试题答案】

一. 填空题

1.

2.

3.

∴能被8整除。

4.

5. 或

6.

7.

8. －1，1

二. 选择题

1. 1. （A）

2.

3.

4.

∴选（C）

5.

∴选（C）

6. B

7.

∴选（D）

8.

∴选（C）

三. 解答题

1.

2.

3.

4. 原式

四. 分解因式

1.

2.

3.

4.

五. 证明：

∴不论n为何值，代数式必为某一个完全平方数的3倍。

六. 证明：

∴能被45整除。

因式分解公式法第 3 篇

教材分析：

本节课是学生学习了因式分解的概念，用提取公因式法分解因式后继续学习的。整式的乘法中学习了平方差公式，完全平方公式，今天逆向应用此公式因式分解。关键在于引导学生逆向思维，渗透换元的思想，把握公式的结构特征，能体会到公式中a、b可以是数字、单项式、多项式。把多项式转换到公式的模型然后依据公式因式分解。公式法是一种非常重要的因式分解方法，是分式化简、解方程等内容的基础，起到了承上启下的作用。

教学目标学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！：

1． 经历通过整式乘法的平方差公式和完全学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！平方公式逆向得出用公学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维的能力。

2. 把握公式的结构特征，会直接用平方差公式和完全平方公式分解因式。

3． 培养学生独立思考，讨论交流和逆向思考问题的习惯，感受数学知识的整体性。

教学重难点

1. 重点：直接用平方差公式和完全平方公式分解因式。

2. 难点：准确灵活的运用公式法因式分解。

教学流程：

一、导学：

比一比：看谁算得又对又快。

（1） （2） （3）

设计意图：问题（1）提出公因式即可速算，激发学生观察算式（2）、（3）的结构特征。若有学生应用因式分解法速算，就势换元，即用a、b替代相应的常数，引出因式分解的平方差公式及完全平方公式。

板书： 课题：8.4.2因式分解—公式法

因式分解 整式乘法

平方差公式

完全平方公式

设计意图：乘法公式反过来使用，就是因式分解的公式。对比之下，学生更易体会因式分解与整式乘法运算的互逆关系。

二、助学：

例1：将下列各式因式分解。

　

设计意图：此三小题都是运用平方差公式分解，（2）、（3）题是第（1）题的变式，培养学生养成观察习题、分析习题的良好习惯。让学生认识到公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.感受数学中的“整体思想”。

辨一辨：下列多项式能否用平方差公式分解

设计意图：习题的变形，最能考察学生思维的缜密性。通过此项训练，渗透数学中的“符号意识”，帮助学生掌握平方差公式的结构特征。

小结：

因式分解的平方差公式

（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成的形式。

（2）公式右边: （是分解因式的结果）

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

设计意图：抓住公式的结构特征，才能正确高效的运用公式分解因式。

例2：将下列各式因式分解。

（3）

设计意图：此三小题都是用完全平方公式分解，第（3）小题是第（1）小题的变式。再让学生养成观察习题、分析习题的良好习惯。并让学生认识到完全平方公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、也可以是多项式.感受数学中的“整体思想”。

辨一辨：下列多项式能否用完全平方公式分解因式？

设计意图：再次渗透数学中的“符号意识”， 考察学生思维的缜密性。帮助学生掌握完全平方公式的结构特征，

小结：

因式分解的完全平方公式

完全平方式的特点：

（１）必须是三项式（或可以看成三项的） （2）有两个同号的平方项

（3）有一个乘积项（等于两平方项底数积的±2倍）

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

设计意图：抓住公式的结构特征，才能正确高效的运用公式分解因式。

三、促学：

分组竞赛：把下列各式因式分解。（分组完成，交互点评。）

设计意图：交叉竞赛，激发学生的学习兴趣与竞争精神。解题与点评相结合，让学生“能说会做”。

互动游戏：

² 同学们分成三组；

² 每小组派代表出两题，题目限定为能用公式法分解的多项式；

² 各组抢答、抢做。

看哪个小组出的题目好，哪个小组分解的又对又快。

设计意图：在游戏中学习，在游戏中长智慧。会出题定会解题，体验“师生”的换位感觉。

我们的收获……

★ 这节课我们学了…… ★ 应用公式法因式分解应注意……

设计意图：让学生用自己的语言总结新知，谈谈收获与疑难，使教师下节课更有针对性。更重要的是让学生有意识的建构知识体系。

课后作业：同步练习： P51基础练习 8.4（二）

预习导航：

能直接用公式法分解吗？ 若不能，第一步咋办？

设计意图：提出问题，让学生的预习有针对性。

因式分解公式法第 4 篇

●教学目标

教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.

情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.

●教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.

●教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.

●教学方法：观察—发现—运用法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.

Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2

倒写：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.

左边的特点有(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.

右边的特点：这两数或两式和(差)的平方.

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

练一练

下列各式是不是完全平方式?

(1)a2-4a+4;(2)x2+4x+4y2;(3)4a2+2ab+b2;

(4)a2-ab+b2;(5)x2-6x-9;(6)a2+a+0.25.

2.例题讲解

例1、把下列完全平方式分解因式：

(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.

例2、把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.

Ⅲ.课堂练习

1、P52随堂练习

2、补充练习

把下列各式分解因式：

(1)4a2-4ab+b2;(2)a2b2+8abc+16c2;(3)(x+y)2+6(x+y)+9;

(4)-+n2;(5)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;(6)x2y-x4-

Ⅳ.课时小结

用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

(1)要求多项式有三项.

(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

Ⅴ.课后作业习题2.5

●备课资料把下列各式分解因式

1、-4xy-4x2-y2;

2、3ab2+6a2b+3a3;

3、(s+t)2-10(s+t)+25;

4、0.25a2b2-abc+c2;

5、x2y-6xy+9y;

6、2x3y2-16x2y+32x;

7、16x5+8x3y2+xy4