一元一次方程的解法

这是一元一次方程的解法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

一元一次方程的解法第1部分

在解一元一次方程时，有些类型题目相对比较繁琐，很多同学在解题时容易出错。常见的有四种类型题目：（1）含有分数的方程；（2）含有多重括号的方程；（3）含有小数的方程；（4）利用整体思想解方程。

1.含有分数的方程

解含有分母的一元一次方程时，应该先根据等式的基本性质去掉分母，将含有分母的方程转化为系数为整数的方程，然后再解方程。

左右两边同时乘以分母的最小公倍数，单独的数字和单独的字母不要忘记乘。

2.含有多重括号的方程

解含有多重括号的一元一次方程时，解题步骤和有理数去多重括号一样，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。也可以按照整体原则，从外到内整体去括号。

本题可以发现括号内外的两个分数互为倒数，因此利用整体原则直接去括号，而不是按照先去小括号，再去中括号的原则解题。

本题左右两边先同时乘以9，将8移项处理；然后左右两边同时乘以7，将6移项处理；然后左右两边同时乘以5，将4移项处理；最后左右两边同时乘以3，解出答案即可。

3.含有小数的方程

将小数化为整数，是根据分数的基本性质把含有小数项的分子、分母乘同一个数，而不是将等式的左右两边同时乘以一个数，这个要特别注意，很多学生刚学习时会犯这个错误。

第一个式子，是将分子和分母同时乘以100；第二个式子，是将分子和分母同时乘以2；注意：是分子和分母同时乘以一个数，所以右边的常数3不改变大小。

同理，第一个式子分子和分母同时乘以10；第二个式子分子和分母同时乘以100；右边的式子不改变大小。

4.利用整体思想解方程

有的方程在多处含有同一个式子，直接去分母或去括号，过程过于繁琐，如果把几处一样的多项式看成一个整体，解题会方便很多。

利用整体思想解题也是需要掌握的技能之一，当然本题也可以利用换元法来求解。

一元一次方程的解法技巧，四种常见类型分析，需要掌握方法，并会利用求解。

一元一次方程的解法第2部分

一元一次方程解法

1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（记住如括号外有减号的话一定要变号）

3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号

4.合并同类项：把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

5.系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.

一元一次方程满足条件

1.它是等式；

2.分母中不含有未知数；

3.未知数最高次项为1；

4.含未知数的项的系数不为0。

等式的性质

等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。

等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。

做一元一次方程应用题的重要方法

1.认真审题 （审题）

2.分析已知和未知量

3.找一个合适的等量关系

4.设一个恰当的未知数

5.列出合理的方程（列式）

6.解出方程（解题）

7.检验

8.写出答案（作答）

一元一次方程的解法第3部分

　　一元一次方程的解法步骤

　　(1)中学数学——配方法的步骤：

　　先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

　　(2)中学数学——分解因式法的步骤：

　　把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

　　(3)中学数学——公式法

　　就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

　　拓展阅读：

　　一元二次方程的解法

　　大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

　　(1)中学数学——配方法

　　利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

　　(2)中学数学——分解因式法

　　提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

　　(3)中学数学——公式法

　　这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a。

　　一元二次方程根的情况

　　利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

　　I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根;

　　II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根;

　　III当△<0时，一元二次方程没有实数根(在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根)

　　韦达定理

　　利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a。

　　也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。

一元一次方程的解法第4部分

　　什么是一元一次方程

　　只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的等式叫做一元一次方程(linear equation in one unknown);使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(solution)

　　一元一次方程基本信息

　　标准形式

　　一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax=b( )。其中 是未知数的系数， 是常数， 是未知数。未知数一般常设为 , , 。

　　方程特点

　　(1)该方程为整式方程。

　　(2)该方程有且只含有一个未知数。

　　(3)该方程中未知数的最高次数是1。

　　满足以上三点的方程，就是一元一次方程。

　　判断方法

　　要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为 的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

　　变形公式

　　( ， 为常数， 为未知数，且 )

　　求根公式

　　一元一次方程的标准形式：ax+b=0 (a≠0)

　　其求根公式为：x=-b/a

　　一元一次方程只有一个根

　　通常解法

　　去分母→去括号→移项→合并同类项→未知项系数化为1(即化为x=a的形式)

　　两种类型

　　(1)总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如： 。

　　(2)等式两边都含未知数。如： ， 。

　　方程举例

　　3y=-1

　　5z+2=5

　　2x=1

　　5a+4=13×32

　　都是一元一次方程。

　　一元一次方程起源

　　“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。

　　主要用途

　　一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题等。[1]

　　补充说明

　　合并同类项

　　(1)依据：乘法分配律

　　(2)把所含字母相同且相同字母的指数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项

　　(3)合并时次数不变，只是系数相加减。

　　移项

　　(1)依据：等式的性质一

　　(2)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。

　　(3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号(如：移项时将+改为-)。

　　等式性质

　　等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

　　等式的性质二：等式两边同时乘或除以一个不为零的代数式，等式仍然成立。

　　等式的性质三：等式两边同时乘方，等式仍然成立。

　　解方程都是依据等式的这三个性质。

　　解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，也可以说是满足方程的一个数值

　　一元一次方程解法步骤

　　一、去分母

　　做法：在方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数;

　　依据：等式的性质二

　　二、去括号

　　一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)

　　依据：乘法分配律

　　三、移项

　　做法：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边)

　　依据：等式的性质一

　　四、合并同类项

　　做法：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;

　　依据：乘法分配律(逆用乘法分配律)

　　五、系数化为1

　　做法：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。

　　依据：等式的性质二.

　　解方程口诀

　　去分母，去括号，移项时，要变号，同类项，合并好，再把系数来除掉。

　　同解方程

　　如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

　　同解原理

　　(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

　　(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

　　求根公式

　　由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。

　　但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a≠0)。

　　可得出求根公式 。

　　函数解法

　　由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0(a，b为常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：

　　当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx+b(k，b为常量，k≠0)与x轴交点的横坐标的值。

　　一元一次方程学习实践

　　在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、流水行船问题、相遇问题、追及问题、分段收费问题、盈亏问题、利润问题。

　　列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式，即方程(equation)。

　　例如：

　　(1)4x=24

　　(2)1700+150x=2450

　　(3)0.52x-(1-0.52)x=80

　　分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

　　一元一次方程教学设计

　　教学目标

　　(1)使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题;

　　(2)培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力;

　　(3)使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。

　　重点及难点

　　一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤。

　　过程设计

　　(1)从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢?

　　为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题。

　　例1：某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数。

　　(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)

　　解法1：(4+2)÷(3-1)=3。

　　答：某数为3。

　　(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)

　　解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4。

　　解之，得x=3。

　　答：某数为3。

　　纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。

　　我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系。因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程。

　　本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤。

　　(2)师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

　　例2.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉?

　　师生共同分析：

　　1.本题中给出的已知量和未知量各是什么?

　　2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)

　　3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系，如何布列方程?

　　上述分析过程可列表如下：

　　解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。

　　答：原来有50000千克面粉。

　　此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式?若有，是什么? 　(还有，原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)

　　教师应指出：

　　1.这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程

　　2.例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿.

　　依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后，采取提问的方式，进行反馈。

　　最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

　　1.仔细审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数

　　2.根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步);

　　3.根据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等;

　　4.求出所列方程的解;

　　5.检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。

　　6.最好能用计算器再进行一次验算。

　　教学手段

　　引导——活动——讨论[3]

　　教学方法

　　启发式教学。

　　教学过程

　　主要概念：

　　1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

　　等式的性质：

　　等式的性质1：等式两边都加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。

　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

　　解一元一次方程的一般步骤及根据：

　　1.去分母——等式的性质二

　　2.去括号——分配律

　　3.移项——等式的性质一

　　4.合并——分配律

　　5.系数化为1——等式的性质二

　　6.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

　　注意事项

　　(1)分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数;

　　(2)去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号;

　　(3)去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号;

　　(4)移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项;

　　(5)系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号;

　　(6)不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，，找到最佳解法。[4]

　　(7)分、小数运算时不能嫌麻烦。