高中不等式的性质教案

这是高中不等式的性质教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中不等式的性质教案第 1 篇

教学目标

　　1．理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；

　　2．掌握两个实数比较大小的一般方法；

　　3．通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；

　　4．提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

　　本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

知识结构图

（2）重点、难点分析

　　在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。

　　不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。

　　本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。

①比较实数的大小

　　教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发， 与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

　　指出比较两实数大小的方法是求差比较法：

　　比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

　　比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

②理清不等式的几个性质的关系

　　教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的．从这几个性质的分类来说，可以分为三类：

　　（Ⅰ）不等式的理论性质： （对称性）

（传递性）

　　（Ⅱ）一个不等式的性质：

(n∈N，n＞1)

(n∈N，n＞1)

（Ⅲ）两个不等式的性质：

2．教法建议

　　本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力．为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础．

　　授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．（即：解疑）．主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑．

　　教学过程可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理．采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题．

第一课时

教学目标

　　1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

　　2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；

　　3．强调数形结合思想.

教学重点

　　比较两实数大小

教学难点

　　理解实数运算的符号法则

教学方法

　　启发式

教学过程

一、复习回顾

高中不等式的性质教案第 2 篇

　　一、教材分析

　　（一） 本节课在教材中的地位和作用：

本节课是人教版《数学》必修5第三章第一节不等关系与不等式第二课时的内容．它是在数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.

生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个知识体系．

　　（二） 教学目标：

1. 经历探索不等式的基本性质的过程，理解不等式的基本性质.

2. 在不等式基本性质的探索过程中，渗透类比思想方法,培养合情推理能力.

3.在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而培养学生的逻辑能力.

　　（三） 教学重点与难点：

教学重点：探索不等式的基本性质.

教学难点：基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括.

　　（四） 教学导图：

　　二、学情分析：

学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．

　　三、教法：引导探究法

　　教法分析：

本节课的教学设计意在让学生通过与旧知识——等式的基本性质的类比中，通过自主探索与合作交流获得新知.所以,在教学过程中,要特别注意安排学生经历猜想——验证——归纳的完整的数学思维过程，让学生在独立思考的基础上进行交流活动,并注重合情推理能力的培养.

　　学法：自主探究、合作交流．

四、教学过程

1.复习引入

师：生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，不等关系在我们现实生活中普遍存在着．通过上一节课的学习，我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系．那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据？这就是今天我们所要研究的内容——不等式的基本性质

【设计意图】：向学生指出研究不等式基本性质的重要性与必要性，点明本节课要研究的内容．

师：初中里我们借助于数轴，学习过实数大小的比较，在数轴上实数大小是如何规定的？

生：如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．

师：也就是说我们是从数轴上直观感知的，借助于数轴去比较数的大小,是一种对数大小关系比较的感性认识．

师：从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，两实数大小的关系有以下定义：

如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也对．

师：同学们，你能否用数学符号语言来表示这一定义？

生：

师：这一定义有什么作用？

生：从定义可知，要比较两实数的大小，可以考察这两个实数的差．

师：很好，通过差值的符号去判断两实数的大小，这是一种区别于从数轴上直观感知，严密的判断两数大小的方法．

师：在几何中当我们给出一个公理或定义后，往往要研究“性质与判定”，同样有了这个定义后，我们有必要去研究不等式的基本性质，以使我们更好的去求解或证明不等式．

提问：（1）

（2）若

生：成立

师：为什么？

生：用作差的方法去证明（学生讲解，教师板书）

师：板书不等式基本性质1与2

性质1：；（对称性）

性质2：，；，．（传递性）

【设计意图】：向学生强调：这一定义是一种证明、求解不等式的基本方法，是得到不等式基本性质的依据．

师：不等式还有另外的性质吗？初中里我们学习过等式与方程，等式的基本性质是什么？解方程的依据是什么？我们是怎样解方程的？

解一元一次方程

师：第一步做什么？

生：移项

师：移项的依据是什么？

生：等式的两边加上同一个数-1，所得的结果仍是等式

师：第二步做什么？

生：等式两边同除以2

师：依据是什么？

生：等式的两边同除以2，所得的结果仍是等式（教师补充说明除以2发即乘以）

师：同学们刚才所讲的两点依据就是等式的两条基本性质，等式的基本性质是解方程的依据．

（教师展示幻灯片）

等式基本性质1：如果，那么；

等式基本性质2：如果，那么；（）.

师：类比等式的基本性质，初中里我们所讲的不等式的基本性质又是怎样的？

生：；（1）

，；，（2）

，；，

师：你是怎样得出这些结论的？

生：（1）、（2）两个式子初中讲过

师：你还记得初中我们是如何给出这两个结论的？

生：好象是用法码，通过天平秤出来的

师：也就是通过直观感知得出此结论，那你今天能否给出严密的证明？

生：用两数大小判定的定义（作差比较法证）（学生在黑板上展示证明结果）

师：很好（并板书性质）

师：等式与平等式的这四条基本性质涉及了什么内容？揭示了什么规律？一是在等式（不等式）两边进行加、减、乘、除运算,二是在这个运算过程中，虽然在变化，但左右两边所对应的结果，要么相等、要么左边恒大于右边、要么左边恒小于右边，它强调的是在运算过程中保持“=”号不变的特性.

【设计意图】：通过回顾再现旧知识，引导学生探究不等式基本性质与等式的性质进行类比．

2.探索新知

（环节一）探索不等式的性质.

师：在不等式两边加、减、乘、除不同的数，是否也具有保持不等号不变的特性？或不等号一定改变的特性？

生：，（4）

，；（5）

师：（5）式中的大于0或小于0能否省略？

生：不能（通过举反例）

师：你是如何得出这一结论的？

生：通过在不等式两边加乘具体数字归纳出来的

师：如何验证你的结论？

生：作差比较法

生：还可以利用结论2去证

师：板书不等式的基本性质

师：实数的运算还包括乘方、开方运算，那么在不等式两边进行乘方、开方运算，是否也具有保持不等号不变的特性？

生：

师：你怎样得到的？

生：老师以前讲过的，可以用作差比较法证

生：结论3可以推广到的所有整数

当，为偶数时，

当，为奇数时，

师：你是怎样得出此结论？

生：利用不等式性质

师：若规定，当时，不论是奇数或偶数都有

生：利用性质3还可以得出：

师：为什么？

生：

师：很好，能否推出？

生：不能（反例）

师：当时，的大小关系如何？

生：（1）；（2）；（3）

师：（1）、（2）能否合并？

生：

师：能否用文字语言叙述？

生：同号两数，倒数相反

师：很好，此结论对于我们以后研究两数倒数大小关系有很重要的作用

【设计意图】：以“运算中的不变性”思想作指导，让学生在不等式运算（加、减、乘、除、乘方、开方）中，让学生通过类比、猜想、验证、说理等活动，经历一个完整的数学探索过程，在师生的一起归纳概括下，得到不等式的基本性质3-基本性质8：

性质3：．

性质4：，．

性质5：，；，．

性质6：，．

性质7：．

性质8：．

师：与等式的基本性质相比，在利用不等式性质解决有关不等式问题时，特别要注意什么问题？

生：符号问题

师：不等式的基本性质是求解或证明不等式的依据

（环节二）应用新知

例题：已知：，，求证：

生1：用不等式性质证明

生2：用作差比较法证明

生3：数形结合的思想方法

变式：已知：，，求证：

【设计意图】：进一步帮助学生理解不等式的性质及其应用．

3.总结收获

本节课我们依据“基本事实”，类比等式的基本性质，抓住“运算中的不变性”得出了不等式的8条基本性质，这节课下来，你有什么收获或疑惑？

学生发言，互相补充，教师点评完善．

4.作业：

课本第75页B组题

高中不等式的性质教案第 3 篇

　　教学目标

　　1．理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；

　　2．掌握两个实数比较大小的一般方法；

　　3．通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；

　　4．提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；

　　教学建议

　　1．教材分析

　　（1）知识结构

　　本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

　　知识结构图

　　（2）重点、难点分析

　　在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。

　　不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。

　　本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。

　　①比较实数的大小

　　教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发， 与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

　　指出比较两实数大小的方法是求差比较法：

　　比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

　　比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

　　②理清不等式的几个性质的关系

　　教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的．从这几个性质的分类来说，可以分为三类：

　　2．教法建议

　　本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力．为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础．

　　授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．（即：解疑）．主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑．

　　教学过程可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理．采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题．

　　第一课时

　　教学目标

　　1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

　　2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；

　　3．强调数形结合思想.

　　教学重点

　　比较两实数大小

　　教学难点

　　理解实数运算的符号法则

　　教学方法

　　启发式

教学过程

高中不等式的性质教案第 4 篇

　　教材分析

　　本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

　　课程目标分析

　　依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

　　1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重、难点分析

　　重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。

　　难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教法分析

　　本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

　　教学准备

　　多媒体课件、板书

　　教学过程

　　教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

　　具体过程安排如下：

　　创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式 。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　二、抽象归纳：

　　一般地，对于任意实数a，b，有 ，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[问] 你能给出它的证明吗?

　　学生在黑板上板书。

　　特别地，当a>0，b>0时，在不等式 中，以 、 分别代替a、b，得到什么?

　　设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

　　答案： 。

　　【归纳总结】

　　如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立。

　　我们称此不等式为基本不等式。 其中 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　若 ，则有 ，当且仅当a=b时， 。

　　[问] 怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

　　“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：