不等式的性质教案第二课时

这是不等式的性质教案第二课时，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

不等式的性质教案第二课时第 1 篇

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

　　2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．

　　（二）能力训练点

　　培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．

　　（三）德育渗透点

　　培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．

　　（四）美育渗透点

　　通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质 教学设计方案(二)。

　　二、学法引导

　　1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．

　　2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

　　（二）难点

　　正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．

　　（三）疑点

　　弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的`关系是学生学习的疑点．

　　（四）解决办法

　　讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．

　　四、课时安排

　　一课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．

　　2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．

　　3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．

　　（二）整体感知

　　通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．

　　（三）教学过程

　　1．创设情境，复习引入

　　什么是等式？等式的基本性质是什么？

　　学生活动：独立思考，指名回答．

　　教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．

　　请同学们继续观察习题：

　　（1）用“＞”或“＜”填空．

　　①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）

　　③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）

　　（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？

　　学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．

　　【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

　　不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．

　　学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．

　　教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”

　　师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．

　　不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

　　对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？

　　学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．

　　【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？

　　师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．

　　不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

　　不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

　　师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．

　　学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．

　　强调：要特别注意不等式基本性质3．

　　实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．

　　不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？

　　学生活动：思考、同桌讨论．

　　归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．

　　①若 ，则 ， ；

　　②若 ，且 ，则 ， ；

　　③若 ，且 ，则 ， ．

　　师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．

　　注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若 ，则 ．②若 ，且 ，则 ，这些先不要向学生说明．

　　2．尝试反馈，巩固知识

　　请学生先根据自己的理解，解答下面习题．

　　例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式．

　　（1） （2） （3） （4）

　　学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．

　　教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．

　　解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．

　　所以

　　（2）根据不等式基本性质1，两边都减去 ，得

　　（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得

　　（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得

　　【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与 或 对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．

　　例2 设 ，用“＜”或“＞”填空．

　　（1） （2） （3）

　　学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．

　　解：（1）因为 ，两边都减去3，由不等式性质1，得

　　（2）因为 ，且2＞0，由不等式性质2，得

　　（3）因为 ，且－4＜0，由不等式性质3，得

　　教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．

　　注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．

　　【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．

　　3．变式训练，培养能力

　　（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）

　　①∵ ∴ （ ） ②∵ ∴ （ ）

　　③∵ ∴（ ） ④∵ ∴（ ）

　　⑤∵ ∴ ⑥∵ ∴ （ ）

　　学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．

　　答案：

　　① （A） ② （B）

　　③ （C） ④ （C）

　　⑤ （C） ⑥ （A）

　　【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．

　　（2）单项选择：

　　①由 得到 的条件是（ ）

　　A． B． C． D．

　　②由由 得到 的条件是（ ）

　　A． B． C． D．

　　③由 得到 的条件是（ ）

　　A． B． C． D． 是任意有理数

　　④若 ，则下列各式中错误的是（ ）

　　A． B． C． D．

　　师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．

　　答案：①A ②D ③C ④D

　　（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”

　　①∵ ∴ ( ) ②∵ ∴ ( )

　　③∵ ∴ ( ) ④若，则 ∴，( )

　　学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．

　　答案：①√ ②× ③√ ④×

　　【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．

　　（四）总结、扩展

　　1．本节重点：

　　（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．

　　（2）能正确应用性质对不等式进行变形．

　　2．注意事项：

　　（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．

　　（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．

　　3．考点剖析：

　　不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P61 A组4，5．

　　（二）选做题：P62 B组1，2，3．

　　参考答案

　　（一）4．（1） （2） （3） （4）

　　5．（1） （2） （3） （4）

　　（5） （6）

　　（二）1．（1） （2） （3）

　　2．（1） （2） （3） （4）

　　3．（1） （2） （3）

　　九、板书设计

　　6.1 不等式和它的基本性质（二）

　　一、不等式的基本性质

　　1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

　　若 ，则 ， ．

　　2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若 ， ，则 ．

　　3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若 ， ，则 ．

　　二、应用

　　例1 解（1）（2）

　　（3）（4）

　　例2 解（1）（2）

　　（3）

　　三、小结

　　注意不等式性质3的应用．

　　四、背景知识与课外阅读

　　盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的 ，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？

不等式的性质教案第二课时第 2 篇

第一、问题导入

【知识回顾】同学们，上一节课我们学习了是学习了实数的大小，应用作差法我们可以比较实数和代数式的大小。

1、什么是作差法呢？

a＞b a－b＞0

a＝b a－b＝0

a＜b a－b＜0

2、作差法步骤：

最差--变形--比较--结论【课件展示情境】

第二、抛砖引玉

教师提问：生活中有没有比较大小的例子？刚刚期中考试完，想不想知道成绩呢？有些同学不仅仅想知道自己的还想知道别人的，四处打探，假设该同学考试的a分，打听到某1同学比他高是b分，又打听到某2同学是c分，比自己低，请问，该同学知不知道某1和某2的成绩比较呢？由生活实例则有b>a,a>c,所以b>c

数学来源于生活而又应用于生活，将生活中实例抽象成数学问题呢？

如何应用数学知识解决实际问题？

第三、实践体验

1、考试成绩比较

2、掰手腕亲身体验

第四、新课学习

（一）、性质1的学习

生活中实力抽象成数学问题后，如何证明不等式成立呢？

教师分析引导学生思考，学生认真读课本：一快速读，读大概；二认真读，读关键；三精准读，读问题。学生自行阅读课本P34-P35页内容，并找出不等式性质、以及各性质中的关键词、关键字。

教师PPT演示完整教学内容

性质1(传递性)

如果 a＞b，b＞c，则 a＞c．

分析 ：要证a＞c，只要证 a－c＞0．

证明 因为 a－c＝(a－b)＋(b－c)，

又由 a＞b，b＞c，即 a－b＞0，b－c＞0，

所以 (a－b)＋(b－c)＞0．

因此 a－c＞0．即 a＞c．

（二）、性质2的学习

教师播放视频，学生思考视频内容，分析视频所反映的数学事实，请同学用数学语言描述城数学式子。引导学生自主探究， 组织学生“三读”课本。

问题导学：

(1)视频说明什么问题？

(2) 数学语言如何描述？

(3) 如何证明不等式成立呢？

教师给学生时间思考3分钟，学生合作交流后代表上台讲解证明过程

教师补充订正

教师演示完整教学内容

性质2(加法法则)

如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c．

证明 因为 (a＋c)－(b＋c)＝a－b，

又由 a＞b，即 a－b＞0，

所以 a＋c＞b＋c．

思考：如果 a＞b，那么 a－c＞b－c．是否正确？

不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．

师：出示题目，请学习通平台学生抢答

练习1

(1)在－6＜2 的两边都加上9，得 3<11 ；

(2)在4＞－3 的两边都减去6，得 -2>-9 ；

(3)如果 a＜b，那么 a－3 < b－3；

(4)如果 x＞3，那么 x＋2 >5；

(5)如果 x＋7＞9，那么两边都减7，得 x＞2．

推论1 如果 a＋b＞c，则 a＞c－b．

证明 因为 a＋b＞c，

所以 a＋b＋(－b)＞c＋(－b)，

即 a＞c－b．

不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．

（三）、性质3的学习

如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c；如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c．

证明 因为 a c－b c＝(a－b)c，

所以 当 c＞0时，(a－b)c＞0，即 a c＞b c；

所以 当 c＜0时，(a－b)c＜0，即 a c＜b c．

如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．

思考：如果 a＞b，那么 －a＞－b一定成立吗？学生思考并回答。

师：出示PPT出示题目，请学生小组讨论并回答

(1)在－3＜－2的两边都乘以2，得-6>-4；

(2)在1＞－2的两边都乘以－3，得-3>6；

(3)如果 a＞b，那么－3 a >－3 b；

(4)如果 a＜0，那么 3 a <5 a；

(5)如果 3 x＞－9，那么 x <－3；

(6)如果－3 x＞9，那么 x >－3．

第五、当堂测试

教师学习通平台发布当堂测试题，当堂评价，考察学生学习效率，激发学习动机。

第六、汇总小结

学习通平台汇总本节课内容。让学生畅谈本节课的收获，并将关键字上传学习通平台，老师引导梳理，总结本节课的知识点

不等式的性质教案第二课时第 3 篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　梳理等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的其他性质.

　　2.内容解析

　　等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”.“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征.从运算角度看，有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不变；也有其派生出来的在“乘方”“开方”等运算中的不变性.

　　不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种.“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现.“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现. 运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法”等运算，得出新的不等关系.由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异.实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位.

　　利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质.

　　结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质.

　　二、目标和目标解析

　　1.目标

　　（1）梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法，即实数序关系的特性和运算中的不变性.

　　（2）运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质；体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用，发展学生逻辑推理素养.

　　（3）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养.

　　2.目标解析

　　达成上述目标的标志是：

　　（1）学生能够梳理出等式的基本性质，并探究总结出等式的基本性质包含两个方面，其一是实数序关系的特性，即等式自身的特性，包括“对称性”和“传递性”；其二是在加法、乘法运算中的不变性.

　　（2）学生能够运用类比的方法，从“实数序关系的特性（等式自身的特性）”和“运算中的不变性”两个方面，猜想并证明不等式的基本性质，并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异.

　　（3）学生能从运算的角度出发，猜测并进行证明不等式的一些常用性质（性质5，6，7）；并能说出为什么性质1—4称为“基本性质”.

　　（4）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系.

　　三、教学问题诊断分析

　　不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理.高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维，因此学生会有以下几个方面的困难.

　　1. 学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.

　　2. 学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.

　　3. 学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.

　　本节课的教学难点为：梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质.

　　四、教学过程设计

　　（一）确定研究内容，明确研究方法

　　导入语：同学们，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质. 好！我们一起走进“等式性质与不等式性质”.

　　设计意图：此环节以单元教学理念为指导，着眼于学生的最近发展区，唤醒学生与所研究内容相关的认知。开门见山，直接引入课题，学生能够明确学习目标，带着目标开展学习活动.

　　（二）复习等式性质，梳理思想方法

　　问题1：请你回忆一下等式都有哪些性质？

　　预设方案：

　　预案一 性质3，4，5学生比较熟悉，能相互补充说出，但说不出性质1，2.

　　追问1：这三条性质有什么共性？可以看作是运用了什么相同的方法“得到的”？

　　师生活动：教师板书这三条性质.

　　学生在教师引导下归纳这3条性质是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立.教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不变性的特点.教师进一步指出，性质3中减法可以看成加法，即两边同加 ，性质5中的除法可以看成乘法，即两边同乘1/c ，高中数学加减乘除的运算更趋于一般性，所以可以将其合并.由于数学的基本运算有加法和乘法，所以这些性质可称为等式的基本性质.数学基本运算可派生出像乘方、开方等运算的结论，就是一些常用的性质.

　　追问2：等式是否还有其他性质？

　　师生活动：教师点出还有些等式的性质，我们在无意识地使用，之所以大家说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的性质.比如说，一个相等关系，即两个相等的实数，无论哪个写在等号左边或右边，等式均成立，即“如果a=b，则b=a”，此性质与a,b的顺序无关，它反映了等式自身的特性.

　　追问3：从等式自身性质的角度是否还有其他性质？

　　师生活动：在教师指导下，学生说出性质2，教师板书.教师点出此性质也反映了等式自身的特性.

　　预案二 学生相互补充能说出性质1，2，3，4，5，其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对性质1，2只有少数学生能回答出来.

　　追问：为什么大多数人答不出性质1，2？

　　师生活动：（这个追问实际上也对学生起到了思想方法上的提示作用）教师点出“等式的这两条性质，我们无意识地在使用，但说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的”；接着梳理性质3，4，5蕴含的思想方法（如预案一）.

　　预案三 学生相互补充说出性质1，2，3，4，5（如果学生不预习、也不允许学生在课堂上看教科书，这种情况几乎不会发生）.

　　学生回忆、交流并相互补充，口答等式性质，教师板书5条性质.

　　追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么共性？哪些基本性质可以看作是运用了相同的方法（发现的视角相同）得到的？具体的角度是什么？

　　师生活动：学生发现性质3，4，5具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，然后发现性质1，2蕴含的共性.

　　问题2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了哪些思想方法吗？

　　师生活动：学生总结，发现等式的基本性质的方法有“相等关系自身的特性”和“相等关系对运算保持不变”两种.教师强调这两个方面是研究等式基本性质中体现的思想方法.

　　设计意图：通过问题1和问题2，学生回忆、分析等式的基本性质，通过对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质中蕴含的思想方法，突破本课时的教学难点，为研究不等式的基本性质做好铺垫.

　　（三）探究不等式的性质，体会类比探究方法

　　问题3：初中我们通过由特殊到一般的方法，归纳过一些不等式的性质.现在，你打算如何研究不等式的性质？

　　预设方案：学生领悟到研究不等式的性质可类比发现等式性质及其蕴含的思想方法.

　　追问：从什么视角来研究不等式的性质？

　　师生活动：学生表述，从不等式的“自身”和“运算”两个视角研究不等式的基本性质.

　　设计意图：由学生自主发现研究问题的方法，提高学生对等式性质中蕴含的思想方法的理解和对类比学习方法的认识.

　　问题4：类比等式的基本性质蕴含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？

　　师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导.

　　预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果 ，那么 ”.但学生会认为这是显然成立的事实，不能从逻辑推理角度进行证明.

　　追问1：你打算怎么进行证明？

　　师生活动：

　　学生证明预设两种方案：

　　方案一：学生运用数轴说明a,b的大小关系. 教师评价此方法是从几何角度分析代数性质的，其直观性较强，能帮助我们感受到此性质反映了“不等式自身的特性”.同时教师指出数学结论要从逻辑推理角度进行严格的证明.教师继续提问，能否进行证明？（见方案二）

　　方案二：教师视情况引导，目前只能用两个实数大小关系的基本事实，别无他法.学生分析，若要得出b

　　追问2：此性质与等式性质1有何异同？

　　师生活动：学生发现由于不等号是有方向的，实数位置对调后，符号也要对调.

　　设计意图：让学生自主进行类比研究，体会性质1反映的是不等关系自身的特性.学生在利用两个实数大小关系的基本事实证明的过程中，感受到数学问题的证明均有章可循，有理有据.

　　追问3：你还有什么结论？通过性质1的证明中的启示，能否修证你的证明过程？

　　预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果a>b, b>c，那么a>c”.学生的证明预设两种方案.

　　预案一：学生利用实数的几何意义，即在数轴上找到三个数，分析其大小关系（学生受到性质1证明过程的启发，一般不会采用此方法）；

　　预案二：学生分析证明思路，若要证明a>c，只需证a-c>0.学生容易想到与a-b>0，b-c>0建立联系.考虑到a-c=（a-b）+（b-c），只需判断此代数式的符号.

　　追问：如何证明（a-b）+（b-c）大于0？

　　师生活动：学生联想实数的基本事实，“正数加正数是正数”问题得证.教师指出，实数的一些基本事实在证明中的有着重要的作用，让学生体会代数证明的逻辑性和严谨性.

　　设计意图：此性质的探究过程，一方面使学生经历类比的探究过程，另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想要有证明，证明要有依据”.

　　问题5：类比等式性质中蕴含的“运算中的不变性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？

　　师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导.

　　预设方案：学生猜想“不等式在加法运算中‘保号性’”，即 “如果a>b，那么a+c>b+c”.在前两个性质证明的基础上，学生能够分析要证a+c>b+c，只需证（a+c）-（b+c）与 的大小关系，也就是a-b与0的大小关系.得出如下证明：由a>b，得a-b>0，所以（a+c）-（b+c）>0, 即a+c>b+c.

　　追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？

　　师生活动：1.学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向.教师点明文字语言表达具有“直白”的特点，有助于理解其本质，即反映了不等式在加法运算中的“保号性”.教师指出“减法”与“加法”在运算中是一致的，加法是基本运算，进而此性质为基本性质.

　　

　　2.通过教师课件展示a+c,b+c的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c的正负.教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题.

　　

　　

　　设计意图：对同一个概念进行多元联系表示，有利于揭示概念的本质.不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解。

　　追问：是否还有其他结论？

　　预设方案：学生猜想“不等式在乘法运算中的规律性”，即不等式两边同乘同一个实数的结论，并用数学语言表达.

　　师生活动：学生猜想“如果a>b,c>0，那么ac>bc”，“如果a>b,c<0，那么ac

　　追问：不等式的两边同乘一个数，为何要分类讨论？

　　师生活动：教师引导学生分析，此结论在于比较ac与bc的大小，由两个实数大小关系的基本事实，即判断ac-bc与 的大小关系，这显然与条件中的a-b有关，自然能考虑通过ac-bc=（a-b）c，从而判断此式的正负。由于a-b>0，（a-b）c的正负由c的正负决定，从而需要分析讨论，这样学生也自然有了证明的思路.

　　追问1：用文字语言怎样表述此性质？

　　师生活动：学生表述，“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”.教师强调文字语言具有较为“直白”的特点，让学生感受此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”. 教师还要再次强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质.

　　设计意图：此性质对学生来说比较熟悉，此环节能使学生巩固类比的学习方法，体会此性质反映的是不等式在乘法运算中的不变性、规律性.

　　问题6：加法乘法是数学的基本运算，因此上述四条性质是不等式的基本性质.不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？

　　师生活动：学生总结出两者都具有“自身特性”和“运算中的不变性、 规律性”。由于不等号具有方向性，“自反性”和“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的特性.

　　设计意图：总结等式基本性质与不等式基本性质的差异，并能从本质上理解不等号变号的原因.

　　问题7：利用不等式的基本性质，你还可以猜想并证明不等式的其他性质吗？

　　追问：在基本性质3中，不等式的两边同加同一个实数。如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？

　　预设方案：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，即“如果a>b,c>d，那么a+c>b+d”.证明方法有两种：

　　方法一：学生分析证明方法，若要证a+c>b+d，只需证（a+c）-（b+d）>0，与已知联系，也就是证明（a+c）-（b+d）>0。由已知a-b>0,c-d>0，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证.

　　教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时占据“一席之地”.

　　追问：此方法是利用不等式的基本性质“发现”的。能否利用不等式的基本性质，证明你发现的这个新性质？学生探索证法二（如下）.

　　方法二：学生从性质3中得到启发，要证a+c>b+d，需要构造与a+c和b+d相关的不等式，联想不等式基本性质，可有以下证明.

　　由性质3，得a+c>b+c，c+b>d+b；由性质2，得a+c>b+d.

　　教师评价，此方法是基于不等式的基本性质的应用，逻辑性很强.指出此性质为性质5.

　　设计意图：数学结论之间相互关联，挖掘结论间的关系，能使学生整体把握知识，形成整体认知.此性质的证明为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例.

　　追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数。如果同乘不同的实数，你有何结论？

　　预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果a>b,c>d，那么ac>bd”.

　　追问：在不等式的基本性质中，乘法运算不具备“保号性”，主要原因是负数的影响。你认为上述猜想是否正确？如何修正？

　　师生活动：学生回答，不等式基本性质4中强调，两边同乘负数不等号要变方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”.同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的.教师评价，这是缩小范围修正错误的方法，由学生课后进行证明.教师指出此性质为不等式性质6.

　　追问2：如果性质6中a=c,b=d，你有何新的结论？

　　师生活动：学生可以得出“如果a>b>0，那么a2>b2”，并能推广到“如果a>b>0，那么an>bn（n∈N*, n≥2）”.教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例.教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，我们还能推导出很多不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论.

　　设计意图：1.让学生经历“猜想—证明—修正—再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；

　　2.让学生充分认识到“运算中的不变性、规律性”在研究不等式性质中的“引路人”作用，加深学生对“代数性质”的认识，从而发展“四基”，提高“四能”.

　　（四）不等式性质的简单应用

　　

　　过渡语：上节课所学的两个实数大小的基本事实与本节课所得到的7条不等式的性质是我们今后解决不等式问题的基本依据，下面我们就来看看如何借助它们来解决不等式的简单问题.

　　

　　

　　设计意图：本题利用不等式基本性质，体现“分析法”的证明思路和“综合法”的表达方式，提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识.

　　（五）课堂小结，布置作业

　　问题8：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？

　　预设方案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质.

　　追问：类比探究都要经历什么过程？

　　师生活动：学生总结，教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程.

　　

　　设计意图：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中.

　　作业：习题2.1第6，7，8，10，11题

　　

不等式的性质教案第二课时第 4 篇

第六章 不等式

●网络体系总览

●考点目标定位

1.理解不等式的性质及应用.

2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.

3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.

4.掌握不等式的解法.

5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

●复习方略指南

本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.

借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.

本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：

1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.

2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.

3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.

4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.

5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.

6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.

7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.

6.1 不等式的性质

●知识梳理

1.比较准则：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.

2.基本性质：

（1）a＞bb＜a.

（2）a＞b，b＞ca＞c.

（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.

（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；

a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.

（5）a＞b＞0＞（n∈N，n＞1）；

a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.

3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0＜，不能弱化条件得a＞b＜，也不能强化条件得a＞b＞0＜.

4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.

5.性质

（3）的推论以及性质

（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.

6.性质

（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.

特别提示

不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.

●点击双基

1.若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是

A.＞ B.2a＞2b

C.|a|＞|b| D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·＜b·，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.

又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.

故不成立的是B.

答案：B

2.（春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出

－＞0.

bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.

同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.

ab＞0.

答案：D

3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是

A.（0，） B.（－，）

C.（0，π） D.（－，π）

解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.

∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，的由大到小的顺序是____________.

解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.

解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.

c=5－2=－＞0.

b－c=3－7=－＜0.

∴c＞b＞a.

答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.

剖析：∵a+b，a－b的范围已知，

∴要求2a+3b的取值范围，

只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.

可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.

解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），

∴解得

∴－＜（a+b）＜，

－2＜－（a－b）＜－1.

∴－＜（a+b）－（a－b）＜，

即－＜2a+3b＜.

评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，

①2＜a－b＜4.

②①+

②得1＜2a＜7.

③由

②得－4＜b－a＜－2.

④④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.

⑤

③+

⑤得－＜2a+3b＜.

思考讨论

1.评述中解法错在何处

2.该类问题用线性规划能解吗并试着解决如下问题：

已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f

（1）≤－1，－1≤f

（2）≤5，求f

（3）的最大值和最小值.

答案：20 －1

【例2】 （福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则

A.“p或q”为假 B.“p且q”为真

C. p真q假 D. p假q真

剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.

解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，

而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.

又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.

∴x≤－1或x≥3.∴q为真.

【例3】 比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.

剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.

解：（1+logx3）－2logx2=logx.

当或

即0＜x＜1或x＞时，

有logx＞0，1+logx3＞2logx2.

当

①或

②时，logx＜0.

解

①得无解，解

②得1＜x＜，

即当1＜x＜时，有logx＜0，

1+logx3＜2logx2.

当x=1，即x=时，有logx=0.

∴1+logx3=2logx2.

综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；

当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；

当x=时，1+logx3=2logx2.

评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.

深化拓展

函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.

提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），

∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.

把t2+bt+c与x1作差即可.

答案：t2+bt+c＞x1.

●闯关训练

夯实基础

1.（辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；

②loga（1+a）＞loga（1+）；

③a1+a＜a1；

④a1+a＞a.其中成立的是

A.

③ B.

④ C.

③ D.

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.

∴loga（1+a）＞loga（1+）.

又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.

故

②与

④成立.

2.若p=a+（a＞2），q=2，则

A.p＞q B.p＜q C.p≥q D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.

答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________.

解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=.

∴D＜B＜A＜C.

答案：D＜B＜A＜C

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.

解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.

∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.

答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.

解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，

又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.

∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.

∴ab＞a+b.

6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.

证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）

=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］

=x－n（x－1）（x2n－1－1）.

由x∈R+，x－n＞0，得

当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即

x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.

培养能力

7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.

解：∵0＜x＜1，∴

①当3a＞1，即a＞时，

|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|

=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］

=－3log3a（1－x2）.

∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.

②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，

=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.

综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.

8.设a1≈，令a2=1+.

（1）证明介于a

1、a2之间；

（2）求a

1、a2中哪一个更接近于；

（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.

（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）· （－1－）=＜0.

∴介于a

1、a2之间.

（2）解：|－a2|=|－1－|

=||

=|－a1|＜|－a1|.

∴a2比a1更接近于.

（3）解：令a3=1+，

则a3比a2更接近于.

由

（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.

探究创新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.

解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），

则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.

由（x）=0得x=0.

当x∈（－1，0）时，（x）＜0，

f（x）在（－1，0）上递减.

当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上递增.

∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.

∴（1+x）n≥1+nx.

评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.

●思悟小结

1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.

2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.

3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.

4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.

●教师下载中心

教学点睛

1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.

2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.

3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.

拓展题例

【例1】 已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.

（1）比较m+n与0的大小；

（2）比较f（）与f（）的大小.

剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.

解：

（1）∵f（m）=f（n），

∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.

∴log22（m+1）=log22（n+1）.

∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，

log2（m+1）（n+1）·log2=0.

∵m＜n，∴≠1.

∴log2（m+1）（n+1）=0.

∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.

当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，

由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.

∴－1＜m＜0，n＞0.∴m·n＜0.

∴m+n=－mn＞0.

（2）f（）=|log2|=－log2=log2，

f（）=|log2|=log2.

－=

=－＞0.

∴f（）＞f（）.

【例2】 某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？

解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，

那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.

∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.

∴当x＞1.25时，y1＜y2；

当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，

所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；

当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.