不等式的基本性质微课教案

这是不等式的基本性质微课教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

不等式的基本性质微课教案第 1 篇

不等式

1、若正数x ，y 满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

12、若a ，b 为实数，则“0

A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

223、若实数x ，y 满足x ＋y ＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．

4. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是

5、设正实数x , y , z 满足x -3xy +4y -z =0, 则当22z 取得最大值时, x +2y -z 的最大值为 xy

6、设0

a ＋b a ＋b a ＋b a ＋b A．a ＜b ＜＜ B．a ＜ab ＜＜b C ．a ＜ab ＜b ＜ab ＜a ＜b 2222

147、已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝的最小值是 a b

8. 已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是

9. 设a ＞b ＞0，则a +211+的最小值是 ab a a -b 11++a b 10. 已知a >0, b >

0，则

1a 11．已知不等式(x+y)(≥9对任意正实数x,y 恒成立, 则正实数a 的最小值为 x y

212、设0≤α≤π, 不等式8x -(8sinα) x +cos2α≥0对x ∈R 恒成立, 则a 的取值范围为_________.

13、设a + b = 2, b >0, 则

1|a |的最小值为______. +2|a |b

a 2

≥a +1对一切正实数x 成立, 则a 的取值范围为_____ 14、设常数a >0, 若9x +x

215、已知关于x 的不等式x -ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_______

16、设a , b 为正实数，现有下列命题：

①若a -b =1，则a -b

③若=1，则|a -b |

④若|a 3-b 3|=1，则|a -b |

2??21??117、设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则 x ＋2? 2＋4y ?的最小值为________． ?y ??x ?

2218、设x ，y 为实数，若4x ＋y ＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．

19. 若对任意x >0,

x ≤a 恒成立，则a 的取值范围是 x 2+3x +1

y 2

20. 已知x , y , z ∈R ，x -2y +3z =0，则的最小值 ． xz +

不等式的基本性质微课教案第 2 篇

　　1.理解并掌握不等式的概念及性质;(重点)

　　2.会用不等式表示简单问题的数量关系.(重点、难点)

　　一、情境导入

　　有一群猴子，一天结伴去摘桃子.分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个;如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子，几个桃子吗?

　　二、合作探究

　　探究点一：不等式

　　【类型一】 不等式的概念

　　下列各式中：①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3.不等式的个数有(

　　)

　　A.5个 B.4个 C.3个 D.1个

　　解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，共4个.故选B.

　　方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式.解答此类题的关键是要识别常见不等号：>，<，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

　　【类型二】 用不等式表示数量关系

　　根据下列数量关系，列出不等式：

　　(1)x与2的和是负数;

　　(2)m与1的相反数的和是非负数;

　　(3)a与-2的差不大于它的3倍;

　　(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍.

　　解析：(1)负数即小于0;(2)非负数即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于;(4)不小于就是大于或等于.

　　解：(1)x+2<0;

　　(2)m-1≥0;

　　(3)a+2≤3a;

　　(4)a2+b2≥2ab.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

　　【类型三】 实际问题中的不等式

　　亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑.他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(

　　)

　　A.20x-55≥350 B.20x+55≥350

　　C.20x-55≤350 D.20x+55≤350

　　解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元.列出不等式20x+55≥350.故选B.

　　方法总结：用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示;正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

　　探究点二：不等式的性质

　　【类型一】 比较代数式的大小

　　根据不等式的性质，下列变形正确的是(

　　)

　　A.由a>b得ac2>bc2

　　B.由ac2>bc2得a>b

　　C.由-12a>2得a<2

　　D.由2x+1>x得x<-1

　　解析：A中a>b，c=0时，ac2=bc2，故A错误;B中不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的符号不改变，故B正确;C中不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边也应乘以-2，故C错误;D中不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误.故选B.

　　方法总结：本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

　　【类型二】 把不等式化成“x>a”或“x

　　把下列不等式化成“x>a”或“x

　　(1)2x-2<0;

　　(2)3x-9<6x;

　　(3)12x-2>32x-5.

　　解析：根据不等式的基本性质，把含未知数项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.

　　解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边除以2得x<1;

　　(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9-6x得-3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以-3得x>-3;

　　(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2-32x得-x>-3.根据不等式的基本性质3，两边都除以-1得x<3.

　　方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x>a”或“x

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

　　【类型三】 判断不等式变形是否正确

　　如果不等式(a+1)x1，那么a必须满足________.

　　解析：根据不等式的基本性质可判断，a+1为负数，即a+1<0，可得a<-1.

　　方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变.

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

　　三、板书设计

　　1.不等式

　　2.不等式的性质

　　性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变;

　　性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;

　　性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变;

　　性质4：如果a>b，那么b

　　性质5：如果a>b，b>c，那么a>c.

　　本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系.要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“=”，这也是学生容易出错的地方。

不等式的基本性质微课教案第 3 篇

●考点目标定位

1.理解不等式的性质及应用.

2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.

3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.

4.掌握不等式的解法.

5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

●复习方略指南

本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.

借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.

本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：

1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.

2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.

3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.

4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.

5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.

6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.

7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.

6.1 不等式的性质

●知识梳理

1.比较准则：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.

2.基本性质：

（1）a＞bb＜a.

（2）a＞b，b＞ca＞c.

（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.

（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；

a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.

（5）a＞b＞0＞（n∈N，n＞1）；

a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.

3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0＜，不能弱化条件得a＞b＜，也不能强化条件得a＞b＞0＜.

4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.

5.性质

（3）的推论以及性质

（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.

6.性质

（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.

特别提示

不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.

●点击双基

1.若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是

A.＞ B.2a＞2b

C.|a|＞|b| D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·＜b·，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.

又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.

故不成立的是B.

答案：B

2.（春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出

－＞0.

bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.

同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.

ab＞0.

答案：D

3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是

A.（0，） B.（－，）

C.（0，π） D.（－，π）

解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.

∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，的由大到小的顺序是____________.

解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.

解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.

c=5－2=－＞0.

b－c=3－7=－＜0.

∴c＞b＞a.

答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.

剖析：∵a+b，a－b的范围已知，

∴要求2a+3b的取值范围，

只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.

可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.

解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），

∴解得

∴－＜（a+b）＜，

－2＜－（a－b）＜－1.

∴－＜（a+b）－（a－b）＜，

即－＜2a+3b＜.

评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，

①2＜a－b＜4.

②①+

②得1＜2a＜7.

③由

②得－4＜b－a＜－2.

④④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.

⑤

③+

⑤得－＜2a+3b＜.

思考讨论

1.评述中解法错在何处

2.该类问题用线性规划能解吗并试着解决如下问题：

已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f

（1）≤－1，－1≤f

（2）≤5，求f

（3）的最大值和最小值.

答案：20 －1

【例2】 （福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则

A.“p或q”为假 B.“p且q”为真

C. p真q假 D. p假q真

剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.

解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，

而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.

又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.

∴x≤－1或x≥3.∴q为真.

【例3】 比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.

剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.

解：（1+logx3）－2logx2=logx.

当或

即0＜x＜1或x＞时，

有logx＞0，1+logx3＞2logx2.

当

①或

②时，logx＜0.

解

①得无解，解

②得1＜x＜，

即当1＜x＜时，有logx＜0，

1+logx3＜2logx2.

当x=1，即x=时，有logx=0.

∴1+logx3=2logx2.

综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；

当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；

当x=时，1+logx3=2logx2.

评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.

深化拓展

函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.

提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），

∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.

把t2+bt+c与x1作差即可.

答案：t2+bt+c＞x1.

●闯关训练

夯实基础

1.（辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；

②loga（1+a）＞loga（1+）；

③a1+a＜a1；

④a1+a＞a.其中成立的是

A.

③ B.

④ C.

③ D.

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.

∴loga（1+a）＞loga（1+）.

又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.

故

②与

④成立.

2.若p=a+（a＞2），q=2，则

A.p＞q B.p＜q C.p≥q D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.

答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________.

解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=.

∴D＜B＜A＜C.

答案：D＜B＜A＜C

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.

解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.

∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.

答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.

解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，

又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.

∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.

∴ab＞a+b.

6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.

证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）

=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］

=x－n（x－1）（x2n－1－1）.

由x∈R+，x－n＞0，得

当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即

x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.

培养能力

7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.

解：∵0＜x＜1，∴

①当3a＞1，即a＞时，

|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|

=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］

=－3log3a（1－x2）.

∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.

②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，

=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.

综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.

8.设a1≈，令a2=1+.

（1）证明介于a

1、a2之间；

（2）求a

1、a2中哪一个更接近于；

（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.

（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）· （－1－）=＜0.

∴介于a

1、a2之间.

（2）解：|－a2|=|－1－|

=||

=|－a1|＜|－a1|.

∴a2比a1更接近于.

（3）解：令a3=1+，

则a3比a2更接近于.

由

（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.

探究创新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.

解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），

则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.

由（x）=0得x=0.

当x∈（－1，0）时，（x）＜0，

f（x）在（－1，0）上递减.

当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上递增.

∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.

∴（1+x）n≥1+nx.

评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.

●思悟小结

1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.

2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.

3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.

4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.

●教师下载中心

教学点睛

1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.

2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.

3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.

拓展题例

【例1】 已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.

（1）比较m+n与0的大小；

（2）比较f（）与f（）的大小.

剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.

解：

（1）∵f（m）=f（n），

∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.

∴log22（m+1）=log22（n+1）.

∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，

log2（m+1）（n+1）·log2=0.

∵m＜n，∴≠1.

∴log2（m+1）（n+1）=0.

∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.

当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，

由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.

∴－1＜m＜0，n＞0.∴m·n＜0.

∴m+n=－mn＞0.

（2）f（）=|log2|=－log2=log2，

f（）=|log2|=log2.

－=

=－＞0.

∴f（）＞f（）.

【例2】 某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？

解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，

那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.

∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.

∴当x＞1.25时，y1＜y2；

当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，

所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；

当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.

不等式的基本性质微课教案第 4 篇

　　本文题目：高一数学不等式的教案

　　高一数学教案：不等式

　　第三章 不等式

　　第一教时

　　教材：不等式、不等式的综合性质

　　目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。

　　过程：

　　一、引入新课

　　1.世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

　　2.过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题

　　二、几个与不等式有关的.名称 (例略)

　　1.同向不等式与异向不等式

　　2.绝对不等式与矛盾不等式

　　三、不等式的一个等价关系(充要条件)

　　1.从实数与数轴上的点一一对应谈起

　　2.应用：例一 比较 与 的大小

　　解：(取差)

　　例二 已知 0, 比较 与 的大小

　　解：(取差)

　　∵ 从而

　　小结：步骤：作差变形判断结论

　　例三 比较大小1. 和

　　解：∵

　　∵

　　2. 和

　　解：(取差) ∵

　　当 时 当 时 = ;当 时

　　3.设 且 ， 比较 与 的大小

　　解：xx

　　当 时 当 时

　　四、不等式的性质

　　1.性质1：如果 ，那么 ;如果 ，那么 (对称性)

　　证：∵ 由正数的相反数是负数

　　2.性质2：如果 ， 那么 (传递性)

　　证：∵ ， ，

　　∵两个正数的和仍是正数

　　由对称性、性质2可以表示为如果 且 那么

　　五、小结：1.不等式的概念 2.一个充要条件

　　3.性质1、2

　　补充题：1.若 ，比较 与 的大小

　　解： xx

　　2.比较2sin与sin2的大小(02)

　　略解：2sinsin2=2sin(1cos)

　　当(0,)时2sin(1cos)0 2sinsin2

　　当(,2)时2sin(1cos)0 2sin

　　3.设 且 比较 与 的大小