两角差的余弦公式教案人教版

这是两角差的余弦公式教案人教版，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

两角差的余弦公式教案人教版第 1 篇

一.教学目标

1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用.

2.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力.

3.通过观察指数函数与对数函数在图象，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性.

二.教材分析

对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础.

教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.

教学难点：类比指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质。

三：教法建议

(1)对数函数及其性质在引入前，就应让学生回顾的指数函数及其性质得来的整个过程，让学生通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，从而了解知识的共性以及一般的认知规律。在画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质.

(2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地类比指数函数引导学生思考.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣.

四.教学方法

启发研讨式

五.学情分析

所教学生中考分数普遍偏低，基础较薄弱，探究能力也较弱，但求知欲旺盛，课堂很活跃，需要授课时主次分明、逻辑清晰，提问明确，对于难点要放慢节奏，适时引导并保留一定的时间供学生消化、揣摩、反思、讨论，对于个别学生还需点拨、辅导，巩固练习要重基础知识，讲究一题多变，借以提高学生的应变能力。

六.教学过程

(一)引入新课

师:从P63的例8我们知道经过的年数与人口的关系为人口=13×1.01年数,若知道年数我们就可以利用指数函数的模型来求人口,如20年后人口=13×1.0120≈16亿,但若知道人口为18亿要你预测年数的时候又怎么求呢?

(以提问的形式引入新课，让学生很快进入思考的状态，努力寻求解决问题的方法，同时也让学生意识到新旧知识的联系，以及明确数学知识很大程度上是由问题引发和拓展的。)

生:可以用我们刚学过的对数的运算来求,即年数=

师:若给出任意的人口数能否求出对应的年数呢?

生:把当作x,把年数当作y,则有y=log1.01x,利用这个关系式就可以知道任意的x均有唯一的y与之对应.

师:很好,这就是我们今天要学的对数函数.

类比指数函数总结定义：一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数。

在回顾研究指数函数的图象和性质的基础上，我们将一起来研究对数函数的图象与性质.

二.对数函数的图像与性质

1.作图方法

由于指数函数的图象按和分成两种不同的类型，故对数函数的图象也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以①和，②和为例画两组图.

(让学生通过自己动手画同底的指数函数和对数函数，一方面可以帮助学生建立两者的联系和寻求差异的意识，另一方面也为了提高学生的作图能力和探究能力。)

具体操作时，先画出第①组的图象，要求学生做到：

(1)先列表再作图，指数函数的图象要尽量准确(关键点的位置，图象的变化趋势等).如：*从上表中，我们发现了什么现象，反映在图象上又会发现什么?

(2)画出直线，观察同一坐标中的图象的位置有什么关系?

结论：同底的指数函数和对数函数，关于y=x对称。

(3)利用第(2)的结论猜想要画第②组的图象，除了描点法还有其它什么方法?

(此时分两组，第一组的同学采用列表描点法作图，第二组的同学采用对称的方法作图。)

学生在画图本上完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

2.草图.

教师画完图后再利用投影仪将和的图象画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图象说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

3.性质

(1)定义域：

(2)值域：

由以上两条可说明图象位于轴的右侧.

(3)截距：令得，即在轴上的截距为1，与轴无交点即以轴为渐近线.

(4)奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称.

(5)单调性：与有关.当时，在上是增函数.即图象是上升的

当时，在上是减函数，即图象是下降的.

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当时，有;当时，有.

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)

对图象和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用.

三.简单应用

1.研究相关函数的性质

例7.求下列函数的定义域：

(1)(2)

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.

2.利用单调性比较大小

例8.比较下列各组数的大小

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.33.4,log0.38.5

(3)loga3.4loga8.5.

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.

扩展：比较log0.30.4,log20.5的大小

此时底数不一样，该如何比较?

提示：如何比较0.30.4和20.5的大小

结论:当底数不同的时候,同样可以插入中间量(1,0)或作图描点比高低的方法来比较大小.

3.巩固练习

若，求的取值范围.

四.小结

知识点：理解对数函数的定义，重点掌握其图象和性质。

能力点：函数的作图、观察、分析能力和类比研究能力。

方法点：领会对称方法;对比、类比方法;数形结合方法。

五.作业略

六.探究活动

(1)指数函数当底数均大于1时,底数越大的图象越靠近y轴,那在对数函数中会发生什么变化?

(2)指数函数当底数均小于1时,底数越大的图象越远离y轴,那在对数函数中会发生什么变化?

七.教学反思

本节课重点、难点把握很好，逻辑清楚，尤其是新旧知识的联系处理到位，从学生熟悉的指数函数出发不断地以旧带新，一方面让学生掌握知识的联系和共性，一方面也帮助学生建立一个学生知识的框架和线条。在探索对数函数的图象和性质的时候，让学生自己动手列表描点，在列表的过程中发现所列的点的横坐标和纵坐标恰好相反，在这个基础上又生成新的问题，激发学生通过作图来发现这样的两个点实质上是关于y=x对称，从而也得出同底的对数函数和指数函数也是关于y=x对称，在这个基础上作出下一组图的时候就可以利用这个结论快速作图。最后仿照指数函数在同一坐标中画出和，再通过观察图象让学生自己总结出对数函数的性质，做到不死记硬背，而是脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.不足的地方是给学生作图的时间较少，没有完全放开，对于学生基础较好的可以适当加快上课的进程。

两角差的余弦公式教案人教版第 2 篇

教学目标

知识与技能

①了解两角差的余弦公式的推导;

②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。

过程与方法

①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展;

②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性;

③培养学生获取数学知识、数学交流的能力;

情感态度价值观

①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想;

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。

教学重点、难点

重点：两角差余弦公式的探索和初步应用。

难点：探索过程的组织和引导。

教学手段用几何画板和PowerPoint演示。

教学流程

创设问题情景，揭示课题

感知猜想

利用几何画板验证猜想

组织和引导学生共同合作探索公式

通过例题、练习，加强对公式的理解

回顾与反思

布置作业，引发其他公式的探究

教学设计

(一)创设问题情境，揭示课题

先让学生口答的正弦余弦值，再提出

问题1.有什么关系?

()

问题2.对于a、b、c

(让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为

)

问题3.对于任意角α、β，

(设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识，抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。)

(二)感性认知，提出猜想

问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)?

虽然但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。

(三)验证猜想

借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos(α-β)和各式子的值，发现当随意变换角度α和β时，总有cos(α-β)和

cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(第一组验证)

(第二组验证)

(设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。)

(四)联想转化、探索论证

让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，逐步引导，层层推进。

问题(1)刚才的验证可靠吗?为什么?

(不可靠，它并不能代表一般性)

问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢?你联想到哪些相关知识?

1.根据学生的回答，先利用向量来证明。

问题(3)你是如何联想到向量?用向量证明得先做哪些准备?

问题(4)在图中选择哪些向量，它们如何表示?

问题(5)如何利用向量的运算构造出等式的左右两边?

问题(6)证明是否严密?若有，请你补充。

(设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。)

2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。

让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。

问题(1)如何构造三角函数线来证明公式?

问题(2)证明前提是什么?证明完成了吗?

(是在三个角都是锐角的前提下证明的,不具备一般性)

问题(3)两种证明方法用的是哪一种数学思想方法?

问题(4)你认为哪一种方法好?

(设计意图：分化难点，突出重点，拓宽思维，养成研读教材，善于思考，善于提问，小组合作的好习惯)

3.分析公式结构特点，寻求简单记忆

(记作,谐音记忆为:烤烤晒晒符号反)

拓展与应用

1.利用差角余弦公式求的值

(求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题)

2.

(让学生结合公式，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。并使学生体会到思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。)

变式：去掉α的范围，对结果有影响吗?

(提醒学生注意三角函数的符号问题，并培养学生分类讨论的思想)

3.①求的值

②求的值

③求的值

(设置题目由简单到复杂，由具体角度到任意角，培养学生的灵活变换能力和逆向思维能力)

4.

(让学生结合公式，明确需要先求哪些三角函数值，可使问题得到解决。)

(让学生自主练习，收集学生的解法，对比点评，培养学生对角进行拆分，构造出差角，灵活运用公式)

变式二：

(巩固对角的拆分，突出灵活的重要性)

(例题和习题的设计意图：通过基础训练和变式训练，加强学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。)

回顾与反思

1.回顾公式的推导过程，让学生口述并辅以简单的流程图。

2.体会其中蕴涵的数学思想。

3.你在公式的推导过程中有什么启发和感受?

4.公式的应用过程中应该注意什么问题，你有什么体会?

(设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，促进知识的内化。)

设置作业和思考题.

作业:的1,4题

思考:你能利用如何用cos(α-β)继续探究α±β的三角函数?

(设计意图：巩固本节课的知识,并根据本节课所讲的知识提出问题，而用下一节课要学的知识解决问题作为课堂教学的结束，使新旧知识建立联系，给学生留下悬念。使学生在探索学习的过程中，充满好奇心和兴趣，充分调动了学生的主观能动性。)

两角差的余弦公式教案人教版第 3 篇

1教学目标

1、理解用向量方法推导两角差的余弦公式的过程；

2、通过简单运用两角和与差的余弦公式，初步理解公式；

3、通过三角函数，余弦公式，向量的数量积等等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一；

2学情分析

学生在第一章已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，但只对有特殊关系的两个角的三角函数关系通过诱导公式变换有一定的了解。对任意两角和、差的三角函数知之甚少。学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处在初期，需进一步提高。

3重点难点

1、重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。

2、难点：探索过程的组织和引导。

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【导入】引入思考

不用计算器计算cos(-375°)

活动2【导入】自学指导

一、自主学习（阅读课本P124-P127的内容，并联系平面向量知识完成以下内容，时间5分钟！）

1、已知点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，则cosα ＝___，sinα ＝____，即点P的坐标又可表示为_________________。

2、已知 a =( x1，y1)， b=(x2，y2)，则a•b= 。

自主探究一：

1、能不能不用计算器求值cos45°,cos30°,cos15° ;

2、cos(45° -30°)=cos45°-cos30°是否成立？

自主探究二：两角差余弦公式推导

1、如图，角α，β的终边与单位圆的交于点A,B，写出

OA‍ ,

OB‍ 的坐标

2、利用定义法和坐标法分别计算

OA‍ •

OB‍

3、观察2中的结果，你会发现cos(α-β)= ？

4、不用计算器求值cos15°

自主探究三：

1、cos(α+β)=？

2、不用计算器求值cos75°

活动3【讲授】排疑解惑

1、利用几何画板演示，先让学生观察

α ，

β 的大小变化时，它们的余弦的差、差角的余弦的关系，让学生感知cos(α–β)

‍≠ cosα-cosβ，并通过继续观察差角的余弦与各自的正余弦值得关系归纳出差角的余弦公式。

2、利用几何画板演示，证明以上归纳的合理性。

3、cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

4、以上公式特征有何特征？

5、不改变本质的情况下你对公式的形式可以做哪些改造？

例1.利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：

（1）cos(90°-α)=sinα

（2）cos(360°-α)=cosα

例2.已知sinα=4/5，α

∈ （90°，180°），cosβ=5/13， β是第四象限角，求cos(α+β)，cos(α-β)的值。

活动4【活动】当堂训练

1、求值

（1）cos24ºcos36º–sin24ºsin 36º

（2）cos66ºcos21º+sin66ºcos69º

2、化简

(1)cos(α-β）cos(α+β）+sin(α-β）sin(α+β）

(2)cos(60º+β)+cos(60º–β)

3、不通过计算器，求cos105º的值

4、(1)已知cosα=-3/5，α∈ （90°，180°)，求cos(45º+α)的值

(2)已知sinα=-2/3，α∈ （180°，270°），cosβ=3/4， β∈ （270°，360°），求cos(β-α)的值

5、已知sin(30º+α)=3/5，60º<α<150º，求cosα的值

活动5【活动】课后小结

1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.

活动6【作业】课后作业

P137：1(1)(2),2,3,4

3.1.1 两角差的余弦公式

课时设计 课堂实录

3.1.1 两角差的余弦公式

1第一学时 教学活动 活动1【导入】引入思考

不用计算器计算cos(-375°)

活动2【导入】自学指导

一、自主学习（阅读课本P124-P127的内容，并联系平面向量知识完成以下内容，时间5分钟！）

1、已知点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，则cosα ＝___，sinα ＝____，即点P的坐标又可表示为_________________。

2、已知 a =( x1，y1)， b=(x2，y2)，则a•b= 。

自主探究一：

1、能不能不用计算器求值cos45°,cos30°,cos15° ;

2、cos(45° -30°)=cos45°-cos30°是否成立？

自主探究二：两角差余弦公式推导

1、如图，角α，β的终边与单位圆的交于点A,B，写出

OA‍ ,

OB‍ 的坐标

2、利用定义法和坐标法分别计算

OA‍ •

OB‍

3、观察2中的结果，你会发现cos(α-β)= ？

4、不用计算器求值cos15°

自主探究三：

1、cos(α+β)=？

2、不用计算器求值cos75°

活动3【讲授】排疑解惑

1、利用几何画板演示，先让学生观察

α ，

β 的大小变化时，它们的余弦的差、差角的余弦的关系，让学生感知cos(α–β)

‍≠ cosα-cosβ，并通过继续观察差角的余弦与各自的正余弦值得关系归纳出差角的余弦公式。

2、利用几何画板演示，证明以上归纳的合理性。

3、cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

4、以上公式特征有何特征？

5、不改变本质的情况下你对公式的形式可以做哪些改造？

例1.利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：

（1）cos(90°-α)=sinα

（2）cos(360°-α)=cosα

例2.已知sinα=4/5，α

∈ （90°，180°），cosβ=5/13， β是第四象限角，求cos(α+β)，cos(α-β)的值。

活动4【活动】当堂训练

1、求值

（1）cos24ºcos36º–sin24ºsin 36º

（2）cos66ºcos21º+sin66ºcos69º

2、化简

(1)cos(α-β）cos(α+β）+sin(α-β）sin(α+β）

(2)cos(60º+β)+cos(60º–β)

3、不通过计算器，求cos105º的值

4、(1)已知cosα=-3/5，α∈ （90°，180°)，求cos(45º+α)的值

(2)已知sinα=-2/3，α∈ （180°，270°），cosβ=3/4， β∈ （270°，360°），求cos(β-α)的值

5、已知sin(30º+α)=3/5，60º<α<150º，求cosα的值

活动5【活动】课后小结

1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β

2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.

活动6【作业】课后作业

P137：1(1)(2),2,3,4

两角差的余弦公式教案人教版第 4 篇

一、教学内容解析

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点．

由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口．教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力．

教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展．

由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路．

二、教学目标解析

1．掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题．

2．全体学生能理解“探求结果，证明结果”这一常用的探究的步骤；多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退求进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性．

3．能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；课堂上能乐于思考和主动探究，并有愉悦的情感体验．

三、教学问题诊断分析

1．按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展．

2．两角和正弦余弦公式的猜想与发现也是一个难点．因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线．

3．尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到．教师需要在引导学生仔细观察cos(+）=coscos－sinsin或cos(－）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理．

4．用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别．

四、教学支持条件分析

1．学生认知基础：学生对用举反例推翻猜想、以退求进、单位圆、割补法、用向量解决三角问题已经有一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平．

2．教学设备：整节课借助多媒体进行辅助教学，但关键的探究过程和推理过程要借助黑板．在当、、+都是锐角时得到两角和的正弦、余弦公式后，设计多媒体软件取任意角进行验证．

五、教学过程设计

(一)提出问题

问题1：观察诱导公式，，，．我们会发现：当角变成+或者+时，其正弦、余弦的三角函数值都与角的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角变成或者+时，其正弦、余弦与、的正弦、余弦又有怎样的联系呢？

[设计意图]引导学生从联系的角度与变换的角度自然地提出接近研究水平的问题，增强学生的问题意识．不直接提出先研究cos(-)，是为了使探究更真实、更自然；不用教材上的实际问题情境而改为开门见山直奔主题，是为了不让学生在情境的理解上花过多的时间，同时离本节课的主题更近．

(二)探究问题

1．明确探究的思路与步骤

问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？

学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明．

[设计意图]引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性．

2．猜想结果

问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？

如果有学生提出sin(+)=sin+sin，cos(+)=cos+cos，则引导学生取特殊值进行验证，同时分析错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的．

[设计意图]让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误．

问题4：对这个问题，老师也曾猜想， ,其中都是常数．但最后发现都不成立．那我们该怎么办呢？

引导学生以退求进，先讨论、、+都是锐角的情况．

[设计意图]进一步强化学生的猜想与探究意识，同时让学生感受或学会思维受阻时如何“拐弯”．

问题5：当、、+都是锐角时，我们又该怎么办？

引导学生在直角三角形或单位圆中构造这些角进行讨论．

问题6：怎样用、的三角函数来表示sin(+)，cos(+)?

引导学生构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到

sin(+)==sincos+cossin，

cos(+)==coscos－sinsin．

　　

　　　

[设计意图]让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线，用“割补法”寻找量与量之间的联系．

问题7：那上面两个式子是否对任意角、都成立呢？

引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证，而教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证．

3．证明结果

问题8：数学是严谨的，数学结论必须经过严格的逻辑证明．现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确．请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？

[设计意图] 让学生通过观察，联想到,终边与单位圆的交点分别为A(cos,sin),B(cos,sin),同时发现的右边与向量数量积公式的坐标表示十分相近，进而联想到=

．这样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思维的自然性与合理性，并突破思维难点，同时再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程．

问题9：如何证明？

[设计意图]引导学生关注两个向量的夹角与是的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．

问题10：时间关系，我们把两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式的证明与探究留给大家课外去完成．刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求cos(-)？

[设计意图]引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值．

问题11：两角差的余弦公式有什么特点：

引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积的和．

(三)巩固应用

例1 利用差角余弦公式求cos15°的值．

引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．

[巩固练习]求值：

(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°= ．

(2)cos(+21°)cos(-24°)+sin(+21°)sin(-24°)= ．

例2 已知是第三象限角，求cos(-)的值．

[设计说明]如果学生基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成．同时在完成例2后提出，如果去掉这一条件，又该怎么办？

(四)回顾小结

1．学生小结：

引导学生从学到了什么知识、怎么获得这些知识和有什么感悟与体会三方面进行小结．

2．教师小结：

(1)本节课所走过的路：

(2)两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟：

G·波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想．”

高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的．”“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现．”衷心祝愿大家通过数学学习变得更加聪明、更加富有创造力．

[设计意图]让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的．

(五)课外作业：

1．教材习题第2，3，4题中试根据自己的情况选做2题．

2．试自主探究公式，并加以证明．

3．(选做题)课本P138页习题B组第4题．