函数的应用教学建议

这是函数的应用教学建议，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

函数的应用教学建议第 1 篇

　　一、几个高考案例

　　案例1：(06年四川高考文)已知函数f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f ′(x)-ax-5，其中f ′(x)是的f(x)的导函数.

　　(1)对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0，求实数x的取值范围;

　　(2)设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点.

　　案例2：(07年四川高考文，本小题满分12分)设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f ′(x)的最小值为-12.

　　(1)求a，b，c的值;

　　(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1，3]上的最大值和最小值.

　　案例3：(08年四川高考文，本小题满分12分)设x=1和x=2是函数f(x)=x5+ax3+bx+1的两个极值点.

　　(1)求a和b的值;

　　(2)求f(x)的单调区间.

　　案例4：(09年四川高考文，本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.

　　(1)求函数f(x)的解析式;

　　(2)设函数g(x)=f(x)+mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量x的值.

　　在连续四年的高考中都考到了高三选修内容的函数求导、极值、单调性、最值、导数几何意义(即导函数在某一点的导数值就是这一点切线的斜率).在考查这些知识的同时也考查这些知识的运用能力，既考查了教材也考查了教材知识的运用.函数求导作为数学的工具和基础地位在这几个案例中得到了充分的体现和重视，从复习的角度来看，我认为高三文科在函数复习时应做好以下工作.夯实求导和二次函数这两个工具.

　　二、夯实求导这个工具

　　函数求导能解决函数的单调性、极值、切线的斜率、最值等问题.函数求导是数学和物理学的重要工具.在上述四个案例中都对函数的单调性，极值，切线的斜率和函数的最值都相当重视，因此在高三的复习中一定要准确把握和练习求导这个内容.其重点有：

　　1.对教材中要求的公式进行求导强化练习，如：(c)′=0，(xn)′=nxn-1，(cxn)′=cnxn-1，[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)，[f(x)g(x)]=f ′(x)g(x)+g′(x)f(x).如上述四个案例首先涉及到的就是对原函数进行求导，再在求导的基础上进行求解.

　　2.利用f ′(x)的意义进行解题练习

　　(1)f ′(x)>0所对应的区间是f(x)的递增区间，f ′(x)<0所对应的区间是f(x)的递减区间.充分运用这一结论进行函数单调区间的求解练习.如上述案例2，本题的第(1)问就是利用f ′(x)>0所对应的区间是f(x)的递增区间，利用f ′(x)<0所对应的区间是f(x)的递减区间这一结论来求解函数的单调区间的.

　　(2)f ′(x)在某一点的导数值是这一点切线的斜率，利用这个结论进行切线斜率和切线的求解练习，同时利用切线的斜率或切线的方程对切点进行求解，或对函数的解析式求解.如案例1的第(1)问就是利用切线反向求解函数解析式的运用.案例4的第(1)就是利用切线方程反向求试题中的参数，进而进一步进解函数的解析式的.利用这一结论除了要把握导函数在某一点处的导数值是这一点切线的斜率外，还要注意这切点同时在原函数和切线上，即同时满足原函数和切线的方程.

　　(3)当f ′(x0)=0时，若f ′(x)的值在的左右取值的符号不同，则x0为f(x)的极值点，即f ′(x)在f(x)的极值点处的导数值是0，利用这一结论可以求解带参数的函数的解析式，也可以求解函数的极值和最值.如案例1的第(2)问就是利用切线反向求解函数解析式的运用.案例3的第(1)问就是例用在极值点处导函数的值为零这一结论求参数a和b的.

　　从上面的研究中我们不难发现，文科类的数学高考紧紧把握了教材要求的知识点：求导公式的要求，导函数的意义.并对这些内容进行正向和逆向的设计和考查，当然我们在研究中还发现数在进行求导以后，在很大程度上转化为二次函数问题.因此二次函数是高三函数复习的又一个重点和难点.

　　三、强化二次函数的应用

　　在文科数学高考大题求导后一般转换为二次函数，由于二次函数的内容在初中作为重点内容进行了教学，在高中作为一个基本工具直接使用，这本身没有任何问题，但在教学过程中发现学生在掌握二次函数的内容和解题方面都存在较大的困难.在高考的函数大题中通常是以二次函数作为出题的`背景来设计的，一般设计为三次含参求导，在求出解析式后，再围绕极值，最值和单调性设置试题.因此二次函数的内容是函数考察大题的基础和工具，在复习过程中应该引起足够的重视.在教学过程中应就以下几方面强化练习和应用.

　　1.一元二次不等式的解法

　　形如ax2+bx+c类型的不等式的解法应用.在化a为正的情况下，应用大于(或大于等于)取两边，小于(或小于等于)取中间的原理进行求解.特别注意?驻<0(判别式小于零)这种特属情况的求解.一元二次不等式的解法是求导后求函数单调性的基础.如案例2的第(2)问，案例3的第(2)问.

　　2.一元二次函数在闭区间上最值的分布

　　一元二次函数在闭区间上最值的分布是求解是否存在极值点，有几个极值点的基础，也是求解极值或最值的基础.如案例1的第(2)问，案例2的第(2)问和案例4的第(2)问.

　　3.应强化二次函数以下知识点的练习和应用：

　　(1)顶点坐标-;

　　(2)对称轴x=-;

　　(3)单调性：a>0时，对称轴的左边单递减，对称轴的右边单调递增;a<0时，对称轴的左边单递增，对称轴的右边单调递减;

　　(4)最值：a>0时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近函数值越小，在对称轴处函数值最小;a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大，在对称轴处函数值最大.

　　4.注意数形结合，在解题时借助直观的图形将问题具体化和直观化，协助学生理解和运用.同时培养学生数形结合的思想和解题方法.

　　函数是高考中分值最大的一部分内容，内容多，考题可深可浅，文科高三函数复习大题部分，只要把握了上述内容，学生就会在高考中赢得先机，考出其理想成绩，教师的教学和学生的学习就可以顺利的进行，从而使教学达到最佳的效果.

函数的应用教学建议第 2 篇

一、前言

目前，高中数学教学过程中，很多学生对函数学习不够重视，教师应当在教学过程中明确函数的地位和重要性，并采取积极有效的措施来提高学生学习函数的效果。

二、提高高中数学教学有效性的重要意义

在新时期下，传统的应试教育（应试教育指脱离社会发展需要，违背自然发展规律，以应付升学考试为目的的教育理念和教育方式，是教育工作存在弊端的集中表现）已经无法满足教育事业的发展要求，应试教育的教学模式亦不能满足学生的学习需求，为保障我国教育事业的可持续发展，其必须转变传统的应试教育，开展新的教学模式，做到与时俱进，顺应时代的发展趋势，以实现教育事业的现代化。随着我国社会经济不断发展，我国社会对人才的要求逐渐提高，其所需要的是实践能力强、具有高素质的专业人才，而素质教育的推广和应用则能实现这一目标。

三、高中函数数学的学习内容

首先是函数概念的学习，在高中阶段，我们用映射的观点去定义函数，实际上函数就是一个特殊的映射，是两个非空数集之间的映射，所以，我们要注意函数的三要素：定义域、值域、对应法则。尽管对应法则是构成函数的核心，但定义域也是构成函数的重要组成部分，是构成函数的三大要素之一，是函数赖以变化的基础。函数定义域的变化对函数图像和性质的改变等方面有着不容忽视的制约作用。

函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；加强不同表示法之间的联系和转换，使学生学会在面临一个具体问题时能根据问题的特点灵活选择表示的方法，加强函数与其他数学知识的联系是函数概念教学的内在要求。教材通过例题给出高一某班三位同学在六次测试中的成绩及相应的班平均分的数据，要求分析三位同学的学习情况。解决这个问题的关键就是根据函数的表格表示法与图象表示法的特点，将表格表示转化为图象表示。

其次函数性质的学习，高中函数的性质主要有单调性，奇偶性，周期性。学习这些性质的时候主要会各个性质的证明，应用。要理解记忆一些结论，如函数图像有两条对称轴即为周期函数等，利用图像掌握这些性质的特点和应用。

再次是函数和其他知识点的结合，函数、方程和不等式的综合。这些题目在选择题和填空题中有，常在高考数学的压轴题中出现。在解答题中把导数、一元二次函数、分式函数、方程、不等式等结合起来，作为函数综合题，要求较高。函数和数列的综合。数列是特殊的函数，在数列题目中常常会用到单调性、周期性等，特别是和不等式的结合往往是难点。函数和解析几何的综合。解析几何主要用到方程的知识，但是在求最值等问题时也常和函数、不等式等结合，运算量比较大。

四、高中教学中需要注意的问题

1、情感方面。第一，积极引导学生体验高中数学中函数的美好，不断激发学生的求知欲望和学习热情。在实际的教学中，教师可根据学生的需求和兴趣制定不同的教学方案，设置一些比较精致有趣的教学问题，不断采用新的情景模式美化数学函数图形，从而使教学方法更加简单化，数学格式更加细致化。与此同时，还可以在课堂上开展多媒体教学，积极培养学生的审美情趣，带动学生的学习热请和积极性。

第二，创造和谐优美的教学环境，不断拓宽学生的视野和思想创新渠道。新课程改革环境下的教学不再是传统的“教师讲、学生听”的模式，它要求师生之间要时常进行互动和交流，促进师生感情的融合。教师在实际的教学过程中，应该站在学生的立场考虑问题，尊重学生的主体地位，善于发现和表扬学生的优点，培养学生的自信心和优越感，通过肯定和赞许等方式使学生感悟到成功的喜悦，增强其学习的兴趣。

第三，关注个性差异，培养学生自己动手解决问题的能力。高中函数的学习比较复杂，学生的掌握程度和灵活运用情况会具有一定的差异。因此，在课堂上，教师应该多关注学习比较吃力的学生，鼓励并帮助其克服学习函数的困难，促进学生的整体发展。

2、知识方面。扎实的基础在高中函数的学习过程中起到非常重要的作用，也是学生创新思维以及开展研究活动的的重要前提，更是奠定不同数学能力的基础，因此，在实际的教学中，教师必须认识到基础知识和拓展知识的重要性。首先，学生应该在教师的指导下，熟练的掌握函数的的概念、性质和图形，相应的公式及定理也应该掌握扎实，这是解决疑难问题的坚实基础，便于更好的解决深入学习中遇到的问题。其次，应该不断加强通性通法以及常用解题方法与思想的训练学习，在教师的指引下，学生要充分掌握解题的思路和方法，养成科学合理的严密的解题习惯，为以后知识的学习和解题方法的不断累积奠定坚实的基础。

五、高中函数优化教学设计的实践案例

1、高中函数概念教学的实践案例 。课程通过具体的实例展开讨论，从特殊例子当中归纳一般的规律和函数的定义，课堂是一个动态生成的过程，教师引导学生进行交流合作、观察分析、抽象概括、巩固运用、归纳总结，为学生提供交流合作的机会，让学生在轻松的教学氛围中学习知识、提升能力，符合新课程以学生为主题的教学原则。第一步骤，教师进行情境创设，对函数概念的发展过程和中外数学家的努力事迹进行简单介绍，采取故事性的形式吸引高中生的注意力，让学生将精力集中到课堂当中。第二步骤，进行课堂复习和新课讲授。回顾初中所学的函数概念，后教师进行举例，让学生运用初中函数的概念验证所举例子是否符合函数的定义；进行班级分组，让学生进行交流讨论，引导学生发型恩格尔系数和时年份函数相关，数表是函数的一个表示方式；教师引导学生发现例子之间的异同点，从而总结函数概念的要素为对应关系、两个数集、集合1当中的每个元素以及集合2当中的唯一元素，函数的表现形式可以是图像、解析式、图表。第三步骤，教师给出函数新的定义，引导学生关注概念的那个在的限制条件和要点，提升高中生阅读和分析数学知识的能力。同时，根据班级学生的思维特点进行错误认识的纠正。第四步骤，进行课堂练习；进行课堂小结，小结内容包括函数和实际的联系、函数的概念和三要素；布置作业，让学生寻找生活当中的函数实例，进行变量间依存关系的分析。

2、指数函数教学的实践案例。课程的教学设计体系从特殊到一般的过程，课堂当中以学生为主体，教师为主导，从具体实例当中建立函数的关系，进而采用辨证概括的方法获取指数函数之概念；依据具体的图像，观察并总结一般的指数函数的性质。从而，数学的概念在过程当中形成，学生的思维能力和学习能力也得到培养，有助于形成优良的数学品质，提升高中生的数学素养。步骤一，采用2个例子进行新课的引入，从例子当中获得称之为指数函数的函数关系式，让学生从实例当中了解指数函数。步骤二，介绍并分析指数函数的定义，列出多个函数例子，让学生进行判断，引发学生对于指数函数概念中限制条件的注意。步骤三，介绍指数函数的图像，布置学生进行绘图，并对学生的绘图存在偏差和错误的地方进行指导；使用几何画板进行四个函数图像的绘制，引导学生们观察图像从左至右的变化趋势、图像所在的象限及意义、图像的共同之处和特征等等，从而总结得出指数函数的图像特征，整理指数函数性质。步骤四，进行巩固练习和小结，小结内容包括指数函数的定义和注意点、指数函数的性质及图像的特征。

六、结语

总而言之，高中数学教学过程中，函数知识至关重要，学生必须要牢固掌握函数的相关知识，才能为未来的学习奠定基础。所以，老师要更加注重函数知识的教授，采取更加科学的教学方法提高学生学习水平。

函数的应用教学建议第 3 篇

一、前言

目前，高中数学教学过程中，很多学生对函数学习不够重视，教师应当在教学过程中明确函数的地位和重要性，并采取积极有效的措施来提高学生学习函数的效果。

二、提高高中数学教学有效性的重要意义

在新时期下，传统的应试教育（应试教育指脱离社会发展需要，违背自然发展规律，以应付升学考试为目的的教育理念和教育方式，是教育工作存在弊端的集中表现）已经无法满足教育事业的发展要求，应试教育的教学模式亦不能满足学生的学习需求，为保障我国教育事业的可持续发展，其必须转变传统的应试教育，开展新的教学模式，做到与时俱进，顺应时代的发展趋势，以实现教育事业的现代化。随着我国社会经济不断发展，我国社会对人才的要求逐渐提高，其所需要的是实践能力强、具有高素质的专业人才，而素质教育的推广和应用则能实现这一目标。

三、高中函数数学的学习内容

首先是函数概念的学习，在高中阶段，我们用映射的观点去定义函数，实际上函数就是一个特殊的映射，是两个非空数集之间的映射，所以，我们要注意函数的三要素：定义域、值域、对应法则。尽管对应法则是构成函数的核心，但定义域也是构成函数的重要组成部分，是构成函数的三大要素之一，是函数赖以变化的基础。函数定义域的变化对函数图像和性质的改变等方面有着不容忽视的制约作用。

函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；加强不同表示法之间的联系和转换，使学生学会在面临一个具体问题时能根据问题的特点灵活选择表示的方法，加强函数与其他数学知识的联系是函数概念教学的内在要求。教材通过例题给出高一某班三位同学在六次测试中的成绩及相应的班平均分的数据，要求分析三位同学的学习情况。解决这个问题的关键就是根据函数的表格表示法与图象表示法的特点，将表格表示转化为图象表示。

其次函数性质的学习，高中函数的性质主要有单调性，奇偶性，周期性。学习这些性质的时候主要会各个性质的证明，应用。要理解记忆一些结论，如函数图像有两条对称轴即为周期函数等，利用图像掌握这些性质的特点和应用。

再次是函数和其他知识点的结合，函数、方程和不等式的综合。这些题目在选择题和填空题中有，常在高考数学的压轴题中出现。在解答题中把导数、一元二次函数、分式函数、方程、不等式等结合起来，作为函数综合题，要求较高。函数和数列的综合。数列是特殊的函数，在数列题目中常常会用到单调性、周期性等，特别是和不等式的结合往往是难点。函数和解析几何的综合。解析几何主要用到方程的知识，但是在求最值等问题时也常和函数、不等式等结合，运算量比较大。

四、高中教学中需要注意的问题

1、情感方面。第一，积极引导学生体验高中数学中函数的美好，不断激发学生的求知欲望和学习热情。在实际的教学中，教师可根据学生的需求和兴趣制定不同的教学方案，设置一些比较精致有趣的教学问题，不断采用新的情景模式美化数学函数图形，从而使教学方法更加简单化，数学格式更加细致化。与此同时，还可以在课堂上开展多媒体教学，积极培养学生的审美情趣，带动学生的学习热请和积极性。

第二，创造和谐优美的教学环境，不断拓宽学生的视野和思想创新渠道。新课程改革环境下的教学不再是传统的“教师讲、学生听”的模式，它要求师生之间要时常进行互动和交流，促进师生感情的融合。教师在实际的教学过程中，应该站在学生的立场考虑问题，尊重学生的主体地位，善于发现和表扬学生的优点，培养学生的自信心和优越感，通过肯定和赞许等方式使学生感悟到成功的喜悦，增强其学习的兴趣。

第三，关注个性差异，培养学生自己动手解决问题的能力。高中函数的学习比较复杂，学生的掌握程度和灵活运用情况会具有一定的差异。因此，在课堂上，教师应该多关注学习比较吃力的学生，鼓励并帮助其克服学习函数的困难，促进学生的整体发展。

2、知识方面。扎实的基础在高中函数的学习过程中起到非常重要的作用，也是学生创新思维以及开展研究活动的的重要前提，更是奠定不同数学能力的基础，因此，在实际的教学中，教师必须认识到基础知识和拓展知识的重要性。首先，学生应该在教师的指导下，熟练的掌握函数的的概念、性质和图形，相应的公式及定理也应该掌握扎实，这是解决疑难问题的坚实基础，便于更好的解决深入学习中遇到的问题。其次，应该不断加强通性通法以及常用解题方法与思想的训练学习，在教师的指引下，学生要充分掌握解题的思路和方法，养成科学合理的严密的解题习惯，为以后知识的学习和解题方法的不断累积奠定坚实的基础。

五、高中函数优化教学设计的实践案例

1、高中函数概念教学的实践案例 。课程通过具体的实例展开讨论，从特殊例子当中归纳一般的规律和函数的定义，课堂是一个动态生成的过程，教师引导学生进行交流合作、观察分析、抽象概括、巩固运用、归纳总结，为学生提供交流合作的机会，让学生在轻松的教学氛围中学习知识、提升能力，符合新课程以学生为主题的教学原则。第一步骤，教师进行情境创设，对函数概念的发展过程和中外数学家的努力事迹进行简单介绍，采取故事性的形式吸引高中生的注意力，让学生将精力集中到课堂当中。第二步骤，进行课堂复习和新课讲授。回顾初中所学的函数概念，后教师进行举例，让学生运用初中函数的概念验证所举例子是否符合函数的定义；进行班级分组，让学生进行交流讨论，引导学生发型恩格尔系数和时年份函数相关，数表是函数的一个表示方式；教师引导学生发现例子之间的异同点，从而总结函数概念的要素为对应关系、两个数集、集合1当中的每个元素以及集合2当中的唯一元素，函数的表现形式可以是图像、解析式、图表。第三步骤，教师给出函数新的定义，引导学生关注概念的那个在的限制条件和要点，提升高中生阅读和分析数学知识的能力。同时，根据班级学生的思维特点进行错误认识的纠正。第四步骤，进行课堂练习；进行课堂小结，小结内容包括函数和实际的联系、函数的概念和三要素；布置作业，让学生寻找生活当中的函数实例，进行变量间依存关系的分析。

2、指数函数教学的实践案例。课程的教学设计体系从特殊到一般的过程，课堂当中以学生为主体，教师为主导，从具体实例当中建立函数的关系，进而采用辨证概括的方法获取指数函数之概念；依据具体的图像，观察并总结一般的指数函数的性质。从而，数学的概念在过程当中形成，学生的思维能力和学习能力也得到培养，有助于形成优良的数学品质，提升高中生的数学素养。步骤一，采用2个例子进行新课的引入，从例子当中获得称之为指数函数的函数关系式，让学生从实例当中了解指数函数。步骤二，介绍并分析指数函数的定义，列出多个函数例子，让学生进行判断，引发学生对于指数函数概念中限制条件的注意。步骤三，介绍指数函数的图像，布置学生进行绘图，并对学生的绘图存在偏差和错误的地方进行指导；使用几何画板进行四个函数图像的绘制，引导学生们观察图像从左至右的变化趋势、图像所在的象限及意义、图像的共同之处和特征等等，从而总结得出指数函数的图像特征，整理指数函数性质。步骤四，进行巩固练习和小结，小结内容包括指数函数的定义和注意点、指数函数的性质及图像的特征。

六、结语

总而言之，高中数学教学过程中，函数知识至关重要，学生必须要牢固掌握函数的相关知识，才能为未来的学习奠定基础。所以，老师要更加注重函数知识的教授，采取更加科学的教学方法提高学生学习水平。

函数的应用教学建议第 4 篇

在高中新课程中，函数是在实际中应用最多的内容之一，它是反映现实生活和其它学科规律的基本的数学模型。作为新课程的一条主线，函数与函数的应用贯穿在高中新课程的始终。

一、 函数与方程

用函数的观点看待方程，可以用动态的观点看方程，把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程就是求函数的零点。

例1.设6ec8aac122bd4f6e，若仅有一个常数c使得对于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e满足方程6ec8aac122bd4f6e，这时，6ec8aac122bd4f6e的取值的集合为 。

分析:题目给出的方程中含有6ec8aac122bd4f6e等多个字母，而条件中是对任意的6ec8aac122bd4f6e都有6ec8aac122bd4f6e，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于6ec8aac122bd4f6e的函数，再进一步研究函数的性质。

解：由已知6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e（其中6ec8aac122bd4f6e），函数为反比例函数，在6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6e）上为单调递减，所以当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e又因为对于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e，因为有且只有一个常数6ec8aac122bd4f6e符合题意，所以6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e的取值的集合为6ec8aac122bd4f6e。

本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出，自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。

二、 函数与数列

数列是特殊的函数。因为它的定义域一般是自然数集或其子集，而自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数。教材中从两个角度对数列给出了定义，一是描述性定义：数列是按照一定顺 序排列着的一列数，二是函数性定义：数列是一类定义在整数集或它的有限子集上的一种特殊函数，由此可见，任何数列问题都具有函数的性质以及函数的一些固有特征。充分利用函数的概念、图象、性质去揭示它们之间的内在联系，从而达到更有效、更快捷地解决数列的问题。如等差数列与一次函数的联系，等比数列与指数函数的联系，等差数列的前n项和与二次函数的联系，构造特殊函数模型结合图象解决问题等。

例2． 数列通项,前30项中最大项和最小项分别是( )

A B C D

分析:用分离常数法,得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像

三、函数与不等式、线性规划

用函数的观点看不等式——运动变化、数形结合、几何直观。例如二次不等式、高次不等式的解法，都是以函数为载体，通过数形结合的方法来实现。从函数的观点看，线性规划问题就是确定目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，是函数知识在更高维度上的扩展。

例3． 不等式恰好有一个实数解，则的取值范围是 。

分析：如果仅从不等式的角度去思考问题，就要解两个含参不等式，并且使其交集只含有一个元素，理论上可行，但实际解决起来很繁琐。换一角度思考：由不等式可构造函数：，题目转化为该二次函数的图像在轴和直线仅仅出现一个点，不难想象二次函数的图像应满如图所示的样子，即抛物线的最低点在直线上，故，解得。

四、函数与解析几何

平面曲线是函数概念的重要背景，严格定义后它们有差异，但仍有紧密联系。例如：从函数的角度看，一元二次函数的图象是抛物线，体现的是变量之间的对应关系；从方程和曲线的角度看，抛物线是由“到定点和定直线等距”这一几何特征确定的曲线。函数为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。

例4． 已知P点在圆x2+(y-4)2=1上移动，Q点有椭圆上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。

分析：两个都是动点，看不出究竟，P、Q在什么位置时|PQ|最大

故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

解：设Q（x，y），则|O1Q|2= x2+(y-4)2=1 ①

因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ⑵

将②代入①得

|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2

=

因为Q在椭圆上移动，所以 —1≤y≤1

故当时，|O1Q|mox=

此时 |PQ| mox=+1

函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等。

五、函数与导数

函数是导数的研究对象。没有导数时，函数性质的研究需要许多技巧；导数是研究函数的通用、有效、简便的工具。用导数研究函数性质、进一步理解函数概念和性质的联系，是对函数概念理解的又一次上升。如求函数的最值问题，判断函数的单调性问题等。

例5．已知函数，

(2)若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：(1) ，解得，如下图，所以函数的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

(2)

于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故，因此f (－1)＝－7，即函数f (x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

二次函数的有关性质及其应用是函数内容中的一个重点，而随着导数知识的介入，三次函数在函数问题的研究中凸显出其重要性。三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题,然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

六、立体几何中的“动态问题”，是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放问题。点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函数，则可将立体几何问题用代数方法解决。

例6．等边三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段DE折起，使平面ADE平面BDEC，若折叠后AB的长度为d，则d的最小值为（ ）

A. B. C. D.

分析：在此问题中，DE在三角形ABC中的位置是

变化的，由此变化引起翻折后AO、OF的变化，从而

导致AF的变化，进而形成了折叠后AB的长度的变化。

设AO=x，则，

由此易知时，取得最小值为

七、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，现实世界中的许多关系是运用函数模型来刻画的，算法作为研究函数的工具，二者有着密切的联系。例如:算法的顺序结构：输入——处理——输出，和函数的定义：对任意一个x,都有唯一的y与之对应。那么一个简单的函数关系y=2x+1：就可以用相应的顺序结构来写出算法:输入x的值——求出y=2x+1——输出y的值。通过这样的一个例子，我们将函数和算法自然而然结合起来，既学习了顺序结构这一新知，又复习了函数的定义，使二者相符相成。当进入条件结构的教学时，我们自然而然地引导学生联想到分段函数。

例7． 铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张车票托运行李不超过50kg时，每千克0.13元，如超过50kg，超过的部分按每千克0.20元计算，如果行李重量为W(kg),运费为F（元），函数模型为：

请设计程序，输入行李的重量W，输出运费F.

分析：运费F是行李重量W的分段函数，

可以用条件结构的算法解决，

框图如下：

通过上面的例子，我们就会体会到顺序结构、条件结构和函数有着必然的联系，使我们更加体会到函数思想在高中数学中的重要。

从20世纪初函数开始进入中学数学，克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，这足见“函数”的重要地位。新课程中，在义务教育基础上又进行了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的研究，其中涉及他们的定义、图像、性质以及基本应用。而函数与方程、函数与数列、函数与不等式、函数与线性规划、函数与算法等等都有着不可分割的联系，新课程中函数真的是无处不在。在教学过程中，始终坚持以函数为纲，做到“纲举目张”。