八年级数学分式方程

这是八年级数学分式方程，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

八年级数学分式方程第 1 篇

一、教学目标

1.使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.

2.通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法;

3.通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法.

2.教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验.

3.教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性.

4.解决办法：(l)分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解.(2)无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤.(3)方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.

三、教学步骤

(一)教学过程

1.复习提问

(1)什么叫做分式方程?解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么?

(2)解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验?检验的方法是什么?

(3)解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.

通过(1)、(2)、(3)的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.

在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.

在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.

2.例题讲解

例1 解方程.

分析 对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.

解：两边都乘以，得

去括号，得

整理，得

解这个方程，得

检验：把代入，所以是原方程的根.

∴ 原方程的根是.

虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学

生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中.需强调方程两边同时乘以最简公分母.另

外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解

分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调.

例2 解方程

分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所

以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母.

解：方程两边都乘以，约去分母，得

整理后，得

解这个方程，得

检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根.

∴ 原方程的根是

师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较.

例3 解方程.

分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分 和互为倒数，由此可设 ，则可通过换元法来解题，通过求出

y后，再求原方程的未知数的值.

解：设，那么，于是原方程变形为

两边都乘以y，得

解得

.

当时，，去分母，得

解得;

当时，，去分母整理，得

，

检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.

∴ 原方程的根是

，.

此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验.

巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答.

(二)总结、扩展

对于小结，教师应引导学生做出.

本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行.

本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法.

此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握.

四、布置作业

1.教材P50中A1、2、3.

2.教材P51中B1、2

五、板书设计

探究活动1

解方程：

分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

设，则原方程变为

∴

∴或无解

∴

经检验：是原方程的解

探究活动2

有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积.

解：设桶的容积为 升，第一次用水补满后，浓度为 ，第二次倒出的农药数为4. 升，两次共倒出的农药总量(8+4· )占原来农药 ，故

整理，

(舍去)

答：桶的容积为40升.

八年级数学分式方程第 2 篇

　　一、教学目标

　　1.知识与技能

　　能掌握解分式方程的步骤，会如何解分式方程

　　2.过程与方法

　　通过一步步引导，使学生掌握解分式方程其实是转化为整式方程求解后验证解是否成立个一个过程。

　　3.情感、态度与价值观

　　探求新知是一个将新知与旧知如何建模链接的过程，边探索，边完成这个过程。

　　二、重点与难点

　　1.重点

　　分式方程的解法

　　2、难点

　　分式方程转化整式方程时的理论依据及具体步骤

　　三、学情分析及课前反思

　　本节课的学习前，学生已经熟练掌握解整式方程的求解，等式的基本性质，分式的运算。因此只需要点一下，应该就可以顺利过渡。教师的任务是如何能恰当地点一下，并让学生知其所以然。

　　四、重难点突破

　　1、前面复习时复习分式的性质要详尽并板书

　　2、不按照传统的顺序，给出题目后马上给出整式方程，引起学生的学习兴趣。

　　五、课前反思

　　此引入部分不宜太长，也不能忽视等式基本性质的复习。最终需要达到的目的就是在课堂前10分钟内学生要掌握解分式方程是转化成一个整式方程求解的过程。经过多年实践，在环节三中，很多学生会理解成所谓的交叉相乘，必须予以及时纠正，否则出现有常数项时会产生混乱。二是在环节四后直接板书完整过程，学生容易漏掉检验这一步骤。所以等到学生在做题后，试误后予以引导，强化效果更好。

　　六、教学过程

　　教学环节

　　教学活动

　　教师活动

　　学生活动

　　设计意图

　　环节一：复习引入

　　提问：1、方程的定义 2、等式的基本性质

　　提问并板书的方程定义，既然加上补充成分式方程的定义；板书等式的基本性质1，等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍然成立，等式的性质2，等式左右两边同时乘或除不等于0的数或式子，等式仍然成立。

　　1、全体口答

　　1、通过课题，学生已经明白今天要学的内容是分式方程，提问方程的定义目的是使学生明白分式方程是方程的一类，是等式，所以等式的基本性质适用于方程，也适用于分式方程

　　环节二：

　　以旧带新；触类旁通

　　通过分式方程：

　　90/(30+x)=60/(30-x)的求解过程。是学生明白解分式方程是将其转化成分式方程

　　板书90/(30+x)=60/(30-x)

　　提问能解吗？

　　隔行后板书：

　　90(30-x)=60(30+x)并提问：能接吗？

　　问题1有点迟疑，部分有提前学的同学回答能解；问题2异口同声回答能解

　　这样一来能引起学生的兴趣，老师的意图是什么？为什么老师会这样写？究竟两个方程间有何联系？这一系列的问题在学生脑袋里面转动，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，同时也建构了新知

　　环节三：

　　明确依据；强化新知

　　明确分式方程90/(30+x)=60/(30-x)可以通过等式的基本性质转化成90(30-x)=60(30+x)整式方程，然后求解

　　提示：注意观察两个方程，发现他们的联系吗？再引导学生看刚才复习过的`等式基本性质。

　　稍作思考后回答：交叉相乘。引导后知道应该是运用等式的性质二。

　　引导学生将未知转化为已知，分式方程可以通过转化成我们已经很熟练的整式方程求解

　　环节四：

　　板书步骤；规范格式

　　按照书本的规范格式作为示范板书，给学生一个规范

　　补上刚才留空的一行：方程左右两边同时乘以两个分式的最简公分母(30-x) (30+x)，去分母得。强调这一步就是去分母，是将分式方程化为整式方程的关键一步。

　　看老师板书

　　尽管有些同学已经提前预习了，但这些步骤为什么要这样处理以及处理依据是什么，学生似懂非懂，所以需要给学生一个完整的思维过程

　　环节五：

　　留白过程，满下伏笔

　　后面整式方程的解题过程已经检验过程都留空，为一下强调检验过程铺垫

　　提问：以下过程大家都懂了吧，那我就不详细下了。

　　认真听课

　　留白过程意图有两个：一，稍后时间巡视学生集体过程，若发现普遍问题就集体讲解，否者直接给出；二，一向学生都会很容易忘记分式方程的检验，所以等一下在学生做完所以题目后再特别提示会产生无解的情况，因此需要检验这一必要步骤

　　环节六：

　　先做后教，加深印象

　　板书另外四道解分式方程的题目作练习，根据完成情况再评讲

　　板书四道题目：

　　（1）5/x=7/(x-2)

　　（2）2/(x+3)=1/(x-1)

　　（3）1/(x-5)=10/(x2-25)

　　（4）x/(x-1)-1=3/(x-1)(x+2)

　　堂上练习本完成练习

　　学生解题后，引导学生回顾等式的性质中除为什么要强调不为0，是否这5道题的值都符合原方程。（4）（5）两个方程是无解的，因为解代入分母中为0。这时再强调分式方程接完后必须要检验。

　　七、板书设计

　　分式方程定义

　　等式的性质

　　课题

　　例题（1）练习（2）~（5）

　　八、课后反思

　　效果还是不错的，学生基本能掌握分式方程求解过程关键是运用等式的基本性质去分母。需要后面多一个课时才能达到熟练程度。

八年级数学分式方程第 3 篇

　　教材分析

　　教学

　　内容

　　的地

　　位和

　　作用 《分式方程》人教版数学八年级下册第十六章第三单元第一课时的内容，是建立在整式方程基础上的学习；分式方程是方程模型的一种，是刻画现实世界的有效模型，在数与代数中占有重要地位。分式方程与实际生活紧密联系，更能充分体现数学的科学性，体现数学的应用价值，能帮助学生从数量关系角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界，使学生完善知识结构，提高计算能力，获得必需的数学能力。

　　教学目标 知识技能 1.了解分式方程的意义,会辨析分式方程.

　　2.会解分式方程,掌握基本思路和解法.

　　3.知道解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法.

　　数学思考 能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用.

　　解决问题 经历“分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.

　　情感态度 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.

　　教学重点 解分式方程的基本思路和解法.

　　教学难点 知道解分式方程时可能无解的原因.

　　教学方法 探究、合作交流 课 型 新授课

　　学情分析

　　学生在已经学习了一元一次方程、二元一次方程组的基础上，明确了解整式方程的方法步骤后来学习分式方程. 初二学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，虽然他们喜爱学习活泼的内容，并乐于用自己的方式去学习，用自己的头脑去思考，但仍需老师引导其由感性认识到理性认识. 同时学生已经学习了分式的意义，这对理解分式方程可能无解这一教学难点有很大帮助.

　　教学过程

八年级数学分式方程第 4 篇

教学目标

1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

教学重点和难点

重点：列分式方程解应用题.

难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.

教学过程 设计

一、复习

例 解方程：

(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;

(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得

2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

所以 x=6.

检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得

15(x+12)=30x.

解这个整式方程，得

x=12.

检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

(3)整理，得

2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

即 2x+xx+3=1.

方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得

2(x+3)+x2=x(x+3),

即 2x+6+x2=x2+3x,

亦即 2x－3x=－6.

解这个整式方程，得 x=6.

检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

二、新课

例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

请同学根据题意，找出题目中的等量关系.

答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；

骑车的速度=步行速度的2倍；

骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.

请同学依据上述等量关系列出方程.

答案：

方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

15x=2×15 x+12.

方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

15x－15 2x=12.

解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.

方程两边都乘以2x，去分母，得

30－15=x，

所以 x=15.

检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.

所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时.

答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.

指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间.

如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.

例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?

分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

s=mt,或t=sm，或m=st.

请同学根据题中的等量关系列出方程.

答案：

方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为

2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

指出：工作效率的意义是单位时间完成的`工作量.

方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

2x+xx+3=1.

方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

1－2x=2x+3+x－2x+3.

用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.

三、课堂练习

1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.

2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.

答案：

1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.

2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.

四、小结

1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.

2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程

135 x+5－12：135x=2：5.

解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.

五、作业

1.填空：

(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；

(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;

(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.

2.列方程解应用题.

(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?

(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?

(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.

答案：

1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.

2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.

(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.

(3)江水的流速为4千米／时.

课堂教学设计说明

1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.

2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另?别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业 ，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.

3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.