基本不等式教案第二课时

这是基本不等式教案第二课时，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

基本不等式教案第二课时第 1 篇

　　课标要求

　　知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;

　　过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式;

　　情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣; 识记 理解 应用 综合 知识点一：

　　基本不等式及其推导

　　过程 ∨ 知识点二：

　　基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;

　　2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。 教学情境一：

　　如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

　　会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

　　颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

　　问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 。

　　教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

　　我们考虑4个直角三角形的面积的和是 ，正方形的面积为 。

　　由图可知 ，即 .

　　当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

　　新知：若 ，则

　　教学情境二：

　　先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

　　再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

　　(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠).

　　假设两个正方形的面积分别为 和 ( )

　　问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗?

　　新知：若 ，则

　　问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗?

　　证明：因为 ，即 (当 时取等号)

　　(在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数)

　　证明：(分析法)：由于 ，于是要证明 ，

　　只要证明 ，

　　即证 ，即 ，

　　所以 ，(当 时取等号)

　　【板书】两个重要不等式

　　若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)

　　若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)

基本不等式教案第二课时第 2 篇

【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式 的应用 【教学难点】 利用基本不等式 求最大值、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么 3.我们称 的算术平均数，称 的.几何平均数. 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。 2.讲授新课 例1 (1)已知m>0,求证 。 [思维切入]因为m>0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。 [证明]因为 m>0,，由基本不等式得 当且仅当 =，即m=2时，取等号。 规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和 =144为定值的前提条件。 (2) 求证: . [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 当且仅当 =a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 3.随堂练习 1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．课本第101页的练习4,习题3. 4.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 5.作业设计 课本第101页习题[A]组的第2、4题

基本不等式教案第二课时第 3 篇

一、教学目标

【知识与技能】

掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

【过程与方法】

经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

【情感、态度与价值观】

在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

二、教学重难点

【教学重点】

基本不等式。

【教学难点】

基本不等式的推导以及证明过程。

三、教学过程

(一)引入新课

PPT出示的是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的。

提问：你能在这个图中找到不等关系么?引出课题。

(二)探索新知

1.基本不等式的推导。

学生活动：利用赵爽弦图推导出基本不等式。

(2)一段长为36m的篱笆围成矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大?最大面积是多少?

(四)小结作业

提问：今天有什么收获?

引导学生回顾：基本不等式以及推导证明过程。

课后作业：课后练习1。

四、板书设计

基本不等式教案第二课时第 4 篇

　　教学准备

　　教学目标

　　1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重难点

　　1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教学过程

　　一、 创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式

　　在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　4、探究基本不等式证明方法：

　　[问] 如何证明基本不等式?

　　(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。)

　　方法一：作差比较或由

　　展开证明。

　　方法二：分析法(完成课本填空)

　　设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、

　　动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

　　点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

　　5、探究基本不等式的几何意义：

　　借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生

　　几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

　　四、探究归纳

　　下列命题中正确的是

　　结论：

　　若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值;

　　若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

　　简记为：“一正、二定、三相等”。

　　五、领悟练习：

　　公式应用之二：(最优化问题)

　　设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

　　(1) 在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

　　(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少?

　　六、反思总结，整合新知：

　　通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要

　　请教?

　　设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.

　　老师根据情况完善如下：

　　两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

　　三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”