系数的扩充与复数教案

这是系数的扩充与复数教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

系数的扩充与复数教案第 1 篇

　　教学目的：

　　1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i

　　2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律

　　3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)

　　4.理解并掌握复数相等的有关概念

　　教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用

　　教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教 具：多媒体、实物投影仪

　　内容分析：

复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N

　　随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展

　　为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集

　　有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集

　　因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数

系数的扩充与复数教案第 2 篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　复数的加减运算及其几何意义，复数的乘除运算．

　　本单元的知识结构：

　　本单元建议用2课时：第一课时，复数的加减运算及其几何意义；第二课时，复数的乘、除运算.

　　2.内容解析

　　引入一类代数对象，就要研究它的运算．本节主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则，本节还讨论复数加、减运算的几何意义.通过本节的学习，侧重提升学生的数学运算、直观想象素养．

　　复数的四则运算法则都是规定的，但这种规定是有“依据”的，也是有层次的.第一层次，复数的加法和乘法法则是直接规定的，规定的“依据”就是在复数概念引入时，得到的“规则”， 即实数系扩充到复数系后，我们希望“数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”. 教学时应引导学生体会复数运算法则和运算律规定的合理性. 以此为载体，教给学生研究数学问题的思路和方法. 第二层次，复数的减法运算和除法运算法则，是通过复数的减法运算是加法运算的逆运算，除法运算是乘法运算的逆运算得到的，为什么可以看成逆运算，是类比了实数减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算得到的.在教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想，感受加减运算和乘除运算中辩证统一的思想，进一步体会类比是研究数学问题的重要方法,

　　教材在规定了复数的四则运算后，让学生分别与多项式的运算法则进行比较，发现两者的共性.目的是通过类比，让学生借助多项式的四则运算法则去进行复数的四则运算，从而避免了不必要的死记硬背．如：复数a+bi中实部和虚部a，b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个 “一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”. 通过这种比较，加深理解，淡化记忆，提升学生的数学运算素养.

　　复数加法和减法的几何意义是借助复数的几何意义以及向量加法和减法的几何意义得到的，主要体现在三方面：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法和减法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法和减法的运算法则．教学中要让学生充分感受数形结合以及类比的数学思想，感受普遍联系的唯物主义观点，提升学生的直观想象素养.

　　综上所述，本单元的教学重点是：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．

　　二、目标和目标解析

　　1. 目标

　　（1）掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归的数学思想方法，发展数学运算素养.

　　（2）发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方法.

　　（3）了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直观想象素养.

　　（4）了解在复数集中求解一元二次方程的方法.

　　2. 目标解析

　　达成目标（1）的标志是：学生能够依据数系扩充的规则，自主探索，合理地规定复数加法和乘法的运算法则，能够通过减法和加法互为逆运算，除法和乘法互为逆运算，得到减法和除法的运算法则，并在其中体会转化与化归的思想方法.学生能够利用复数的四则运算法则，进行简单的复数代数表示的运算.

　　达成目标（2）的标志是：学生能够通过类比发现复数的加减运算和乘除运算与多项式的加减运算和乘除运算的“共性”，得到“两个复数相加（减）或相乘（除），类似于两个多项式相加（减）或相乘（除）”.

　　达成目标（3）的标志是：学生能够通过复数与平面向量一一对应的关系、平面向量加法和减法的几何意义以及复数加减运算法则，得出复数加减运算的几何意义.

　　达成目标（4）的标志是：学生能够利用复数的四则运算法则,在复数集范围内求解一元二次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式.

　　三、教学问题诊断分析

　　学生在初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念”一节已经了解了数系扩充的规则，即：“数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”.在教师的引导下，应该能够得出复数加法运算和乘法运算运算法则的“合理”规定.因前一节刚刚学习了复数的几何意义，学生对复数与复平面上的点以及平面向量三者之间一一对应的关系比较熟悉，所以，较易得出复数加法的几何意义，同时类比加法的几何意义，能够得出复数减法的几何意义.

　　由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运算会感觉不好理解，学习中可能会存在一些困难，所以本单元的教学难点是：复数减法和除法的运算法则.

　　四、教学支持条件分析

　　在复数加法和减法几何意义的教学中，可借助几何画板或Geogebra软件，呈现复数所对应的平面向量以及加减运算后所得到的平面向量，帮助学生更好地理解复数加法和减法的几何意义.

　　五、课时教学设计

　　第一课时

　　7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

　　（一）课时教学内容

　　复数的加减运算及其几何意义.

　　（二）课时教学目标

　　1.掌握复数加法和减法运算的运算法则及其运算律.

　　2.了解复数加法运算和减法运算的几何意义.

　　（三）教学重点与难点

　　教学重点：复数加法运算的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．

　　教学难点：复数减法运算的运算法则．

　　（四）教学过程设计

　　1.复数加法运算和减法运算

　　引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算.我们通过上一节的研究，已经了解了，数集扩充后，复数集中的数依然满足四则运算和相应的运算律.本单元我们主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则.这一单元分为两课时，我们这节课先来学习复数的加减运算及其几何意义.下节课我们再学习复数的乘除运算.

　　问题1 上一节，我们在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的规则，这个规则是什么？

　　师生活动：学生思考回答：数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.

　　设计意图：复数加法运算法则是规定的，但这种规定是基于数系扩充的一般规则，先让学生复习数系扩充的一般规则，温故知新，为后续复数加法运算法则的规定做好铺垫.

　　问题2 我们规定，复数的加法法则如下：设是任意两个复数，那么它们的和

　　当b=0,d=0时，？和规定的复数的加法运算法则比较，说明了什么？

　　师生活动： 学生易得a+c. 教师引导学生得出：复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明复数系与实数系中加法运算协调一致．

　　设计意图：通过特例，让学生感受复数系中加法的运算法则和实数系中加法的运算法则是协调一致的.

　　问题3 同学们，我们已经规定了复数的加法运算法则，请大家类比一下，复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？

　　师生活动：教师引导，学生思考回答：可以把复数a+bi中实部和虚部看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个 “一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.教师总结：两个复数相加，类似于两个多项式相加.对复数的加法法则不需要死记硬背.

　　设计意图：让学生通过类比，体会复数加法运算法则和多项式加法运算法则的联系性.

　　问题4 复数的加法是否和多项式的加法一样，也满足交换律和结合律呢？

　　追问：你能试着证明你的结论吗？

　　师生活动：教师引导，学生由多项式加法的交换律和结合律，容易猜测得出复数的加法也满足交换律和结合律.之后让学生分成两大组，分别证明复数加法的交换律和结合律，证明完成后，由学生进行展示与互评.

　　设计意图：让学生经历观察、类比、猜想、证明的过程，培养逻辑推理素养.

　　问题5 我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？

　　师生活动：学生思考回答.教师引导：

　　首先类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi（x，y∈R）叫做复数a+bi（a，b∈R）减去复数c+di（c，d∈R）的差，记作(a+bi)-(c+di)．

　　然后依据复数的加法、复数相等的定义，c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d.

　　所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

　　教师要指出这里实际上使用的是待定系数法，它也是确定复数的一个一般性的方法．

　　追问：复数的减法和多项式减法有什么共同点？

　　师生活动：学生通过类比，易得：两个复数相减，类似于两个多项式相减，也可以看成是合并同类项.

　　设计意图：通过类比实数减法是加法的逆运算，引导学生推导得出复数减法的法则，体会待定系数法是确定复数的一般方法，体会类比是研究问题的常用的逻辑思维方法.通过与多项式减法的类比，发展学生的逻辑推理素养.

　　2.复数加、减运算的几何意义

　　问题6 复数的几何意义是什么？

　　追问1：向量加法的几何意义是什么？

　　追问2：你能由向量加法的几何意义出发，得出复数加法的几何意义吗？

　　师生活动：学生思考回答，教师利用PPT展示复数的几何意义以及向量加法的几何意义.

　　师生活动：教师从三个方面进行引导：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法法则.

　　师生共同推导得出：

　　这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，如下图所示，这就是复数加法的几何意义．

　　设计意图：让学生通过类比、推理，得出复数加法的几何意义，体会数形结合思想的作用，加深对复数几何意义的理解，提升数学直观想象素养.

　　追问2：类比复数加法几何意义得出的过程，你能得出复数减法的几何意义吗？

　　师生活动：学生自主探究，类比加法几何意义得出的过程，得出复数减法的几何意义，即：复数的减法可以按照向量的减法来进行，如下图所示：

　　3.复数加减运算及其几何意义的简单应用

　　例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).

　　师生活动：学生独立完成，教师展示学生答题结果，并进行评价.

　　解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

　　=(5-2-3)+(-6-1-4)i

　　=-11i.

　　设计意图：让学生利用向量加、减运算法则和运算律进行简单的运算求解，巩固新知.

　　4. 课堂练习

　　教科书第77页练习第1题.

　　师生活动：学生独立完成，口答结果，教师进行评价反馈.教师进一步指出复数的加减运算类似于多项式加减运算的“合并同类项”，复数的减法运算可以转化成加法运算.

　　设计意图：及时巩固新知，检查学生对复数加减运算法则和运算律的掌握程度，培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，提升数学运算素养.

　　师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术进行展示、评价、反馈.

　　设计意图：通过该例题加深学生对复数代数形式加法运算几何意义的理解，通过画图培养学生数形结合思想和直观想象素养.

　　例3 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离．

　　教师指出：本题的计算结果实际上就是平面上两点间的距离公式，在高二年级的解析几何的教学中还会进一步学习.

　　5. 课堂练习

　　教科书第77页练习第2，4题.

　　设计意图：进一步巩固复数加减法运算的几何意义，体会利用复数的几何意义可以将几何问题代数化，体会转化与化归的数学思想.

　　6. 课堂小结

　　问题7 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈.

　　师生活动：学生思考回答，教师补充完善.

　　预设答案：知识方面：学习了复数加减运算的运算法则、运算律以及几何意义；思想方法方面：类比的研究方法，转化与化归的数学思想等.

　　设计意图：通过对本节内容从知识和方法上进行总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识.

　　7. 课后作业

　　教科书习题7.2第1，2，5题.

　　（五）目标检测设计

　　1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于 (

　　)．

　　A．0 B．2i

　　C．6 D．6－2i

　　设计意图：考查学生对复数加法运算掌握的情况.

　　2．已知＝2＋i，＝1＋2i，则复数z＝－对应的点位于 (

　　)．

　　A．第一象限 B．第二象限

　　C．第三象限 D．第四象限

　　设计意图：考查学生对复数加减法运算法则和复数加法运算几何意义的掌握情况.

　　设计意图：考查复数的加减运算.

　　第二课时

　　7.2.2 复数的乘、除运算

　　（一）课时教学内容

　　复数的乘除运算.

　　（二）课时教学目标

　　1.掌握复数乘、除运算的运算法则及其运算律.

　　2.会在复数范围内求解一元二次方程.

　　（三）教学重点与难点

　　教学重点：复数乘法运算的运算法则．

　　教学难点：复数除法运算的运算法则．

　　（四）教学过程设计

　　1.复数的乘法运算及其应用

　　引言：上节课，我们学习了复数的加减运算及其几何意义，这节课我们来继续学习复数的乘除运算.

　　问题1 我们规定，复数的乘法法则如下：

　　设=a+bi， = c+di(a，b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积

　　(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

　　复数的乘法法则和多项式的乘法法则有什么共性和差异？

　　师生活动：学生思考口答，教师板书.

　　学生通过类比，易得：将复数a+bi看成是关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．

　　教师指出，复数的乘法法则类似多项式的乘法法则，也没有必要专门去记忆复数乘法的法则．

　　设计意图：通过类比，进一步加强数学知识间的联系，

　　问题2合理规定了复数乘法的运算法则之后，你认为我们还应该继续研究什么？

　　师生活动：学生类比复数加法的研究过程，容易想到接下来应该去研究复数乘法的运算律.

　　追问1：你认为复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？

　　师生活动：学生类比多项式乘法，易得出复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律的猜想.即：

　　追问2：怎样证明你的猜想？

　　师生活动：教师根据学情，让学生证明他们的猜想.可以分成3个大组，每组同学分别证明其中一个结论，也可以证明其中一个，如复数乘法的交换律，另两个留作课后作业.教师重点展示（或板书）其中一个结论的证明过程.

　　以复数乘法的交换律为例：

　　设计意图：让学生经历猜想、证明的过程，感受数学的严谨性.通过形式化的证明，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养．

　　例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)．

　　师生活动：学生独立完成，之后利用信息技术手段展示、自评、互评.

　　解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)

　　=(11-2i)(-2+i)

　　=-20+15i.

　　教师要提醒学生注意(-2i)(4i)=8，而不是-8.

　　设计意图：一是让学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法．

　　例2计算：（1）(2+3i)(2-3i)；（2）(1+i)2.

　　师生活动：教师应先引导学生观察两个式子的特点，进而指出计算时，可以用复数的乘法法则计算，也可以用初中学过的乘法公式计算．学生独立完成后进行展示、自评、互评.

　　（5）如果一元多项式方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对出现”．

　　设计意图：由特殊到一般，猜想得出共轭复数的性质，体会推广和一般化是得出数学结论的一种逻辑思维方法.

　　问题4类比复数减法运算法则的规定，你怎样来规定复数除法的运算法则？

　　师生活动： 类比复数的减法是加法的逆运算，以及实数的除法是乘法的逆运算，学生可以得出可以由复数的除法是乘法的逆运算来探求复数除法的法则．

　　追问1：请尝试由复数的除法是乘法的逆运算以及复数乘法的运算法则，来规定复数除法的运算法则.

　　师生活动： 教师指出：把满足

　　(c+di) (x+yi)=a+bi（a，b，c，d，x，y∈R，且 c+di≠0）①

　　的复数x+yi，叫做复数a+bi除以复数c+di的商. 学生尝试推导，教师巡视并给予个别指导.

　　由①计算可得(c x -dy)+ (cy+d x) i =a+bi.

　　根据复数相等的定义，有c x -dy=a，cy+d x=b.

　　

　　师生活动：学生思考回答，可以将“分母实数化”，即：

　　教师指出，这是求两个复数商的简便方法，类似于两个根式相除，只要把分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），就可以使分母“实数化”，化简后就得出所求．因此无需记忆复数除法的运算法则.

　　设计意图：通过问题串的引导，让学生进一步经历研究问题的思路和方法，感受转化与化归的思想，发展逻辑推理素养.

　　例3 计算（1+2i）÷（3-4i）．

　　师生活动：学生独立完成，教师反馈评价.

　　设计意图：让学生及时掌握上述复数除法运算的过程.

　　例4在复数范围内解下列方程：

　　师生活动：教师引导分析，学生自主完成. 师生共同利用信息技术反馈、评价.

　　

　　设计意图：呼应本章章引言提出的问题，彻底解决一元二次方程的求解问题，培养学生的运算求解能力.

　　3.课堂练习

　　教科书第80页练习第3，4题.

　　4.单元小结

　　（1）你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？

　　（2）复数的四则运算和多项式的四则运算有哪些异同点？

　　师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.

　　设计意图：帮助学生梳理本单元的重点知识以及主要的研究思路和方法.

　　5.课后作业

　　教科书习题7.2第3，4，6，7题.

　　（五）目标检测设计

　　1.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=（）.

　　（A）-2-i（B）-2+i

　　（C）2-i（D）2+i

　　设计意图：考查学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力.

　　2.若复数满足.

　　设计意图：评价学生对共轭复数概念的理解程度和复数代数表示式乘、除运算的掌握程度.

　　3.若复数是关于x的方程的一个根，则pq的值为．

　　设计意图：考查学生对实系数方程根、复数相等条件的理解程度和对复数代数表示式四则运算的掌握程度，同时评价运算求解能力.

系数的扩充与复数教案第 3 篇

一、教学内容分析

本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.

为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程，当时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.

二、教学目标设计

理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.

三、教学重点及难点

在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.

四、教学用具准备

电脑、实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）复习引入

1.初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下：

当时，方程有两个实数根：

2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:.

设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？

设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？

[说明]设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.

（二）讲授新课

1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：

设一元二次方程.

因为，所以原方程可变形为，

配方得

，

即

.

（1）当时，原方程有两个不相等的实数根

；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根

；

（3）当时，，

由上一堂课的教学内容知，的平方根为，

即，

此时原方程有两个不相等的虚数根

.

（为一对共轭虚数根）

[说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根.

设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？

回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程.

（，即为上节课学习过的）

例1（1）在复数集中解方程：；

（2）在复数集中解关于的方程：

.

解：（1）因为△=，所以方程的解为

，.

（2）因为△=16-a2，

所以当△>0，即时，原方程的解为

，.

当△=0，即时，若，则原方程的解为；

若，则原方程的解为.

当△<0，即时，原方程的解为

,.

提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.

[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91）

例2 已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.

[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动.

既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.

若方程的两个解分别为，则

.

例3 在复数集中分解因式：

（1）；（2）.

解：（1）=.

（2）（见课本P91）

提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数a.

2、实系数一元二次方程中根与系数的关系

对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）.

设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？

利用求根公式,容易验证，.

例4 已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值.

解：（见课本P91例2）

（三）巩固练习

见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）T1.2.3.

[说明]以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.

（四）课堂小结

本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.

（五）课后作业

1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.

2．思考题：（补充题及备选题）

（1）在复数集中分解因式：.

（2）方程在复数集中解的个数为（）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（3）在复数范围内解方程 (i为虚数单位).

参考答案：（1）

（2）C

（3）原方程化简为,

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

∴原方程的解是z=-±i.

[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．

七、教学设计说明

本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，开展本节课的探究.

例题设计主要是为了体现以下三个问题：（1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（3）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.

系数的扩充与复数教案第 4 篇

13.6（1）实系数一元二次方程

一、教学内容分析

本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.

为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程，当时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.

二、教学目标设计

理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.

三、教学重点及难点

在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.

四、教学用具准备

电脑、实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）复习引入

1.初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下：

当时，方程有两个实数根：

2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:.

设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？

设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？

[说明]设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.

（二）讲授新课

1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：

设一元二次方程.

因为，所以原方程可变形为，

配方得

，

即

.

（1）当时，原方程有两个不相等的实数根

；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根

；

（3）当时，，

由上一堂课的教学内容知，的平方根为，

即，

此时原方程有两个不相等的虚数根

.

（为一对共轭虚数根）

[说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根.

设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？

回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程.

（，即为上节课学习过的）

例1（1）在复数集中解方程：；

（2）在复数集中解关于的方程：

.

解：（1）因为△=，所以方程的解为

，.

（2）因为△=16-a2，

所以当△>0，即时，原方程的解为

，.

当△=0，即时，若，则原方程的解为；

若，则原方程的解为.

当△<0，即时，原方程的解为

,.

提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.

[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91）

例2 已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.

[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动.

既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.

若方程的两个解分别为，则

.

例3 在复数集中分解因式：

（1）；（2）.

解：（1）=.

（2）（见课本P91）

提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数a.

2、实系数一元二次方程中根与系数的关系

对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）.

设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？

利用求根公式,容易验证，.

例4 已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值.

解：（见课本P91例2）

（三）巩固练习

见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）T1.2.3.

[说明]以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.

（四）课堂小结

本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.

（五）课后作业

1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.

2．思考题：（补充题及备选题）

（1）在复数集中分解因式：.

（2）方程在复数集中解的个数为（）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（3）在复数范围内解方程 (i为虚数单位).

参考答案：（1）

（2）C

（3）原方程化简为,

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

∴原方程的解是z=-±i.

[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．

七、教学设计说明

本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，开展本节课的探究.

例题设计主要是为了体现以下三个问题：（1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（3）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.