复数的概念的板书设计

这是复数的概念的板书设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的概念的板书设计第 1 篇

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的*之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则为实数

②为虚数

③且。

④为纯虚数且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的*一一对应时，要注意：

①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．

②复数用复平面内的点z()表示．复平面内的点z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．

③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写．要学生注意．

（5）关于共轭复数的概念

设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．

教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条*质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

复数的概念的板书设计第 2 篇

　　引入：

　　大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？

　　问题1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通过 可是

　　方案四：

　　你是怎么处理的，结论是什么？

　　第二个问为什么没解出来？为什么存在着使 的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？

　　正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

　　应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。

　　请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

　　问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，

　　（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

　　（2）说明数集N,Z,Q,R的关系

　　（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。

　　同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。

　　数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。

　　问题3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，

　　(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

　　(2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。

　　通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

　　问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？

　　同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

　　如果引入虚数，负数可以开方了，那么 就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把 表示成 的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。

　　负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？

　　现在我们规定：（1） ；（2） 。

　　使用 来表示 这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用 表示虚数单位了，而是 了。那么 ，这种表示方法既简洁又有特点。

　　问题5：不仅仅 是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么通过运算，虚数可以用 表示成什么形式呢？（讨论）

　　一．复数的定义

　　虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作 。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。

　　该怎样用描述法表示集合 呢？

　　形如 的数，我们把它们叫做复数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即

　　问题6：实数与虚数组成了复数，那么 这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？

　　二．例题

　　例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

　　例题2．当 取何实数时，复数 是：

　　（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

　　结论：

　　三．虚数引入的必要性

　　通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：“将10分成两部分，使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的存在性。

　　数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R. Bombelli，1526-1573）发现，方程 有三个实数根4， 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解时，却发现实数4竟然是用 来表示的。

　　这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。

　　四．复数的实际应用

　　在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

　　不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。

　　一些碎形就是基于复数理论基础上的。

　　这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。

　　复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。

　　复数还广泛的应用于物理学的各个分支， 比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

　　五．师生小结

　　那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

　　今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。

　　板书：

　　§3.1.1数系的扩充与复数的概念

　　一． 虚数

　　1． 虚数单位

　　2． 虚数的表示形式

　　二． 复数

　　1． 概念：形如 的数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　2． 性质：

复数的概念的板书设计第 3 篇

教学目标

　　1．了解复数的实部，虚部；

　　2．掌握复数相等的意义；

　　3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．

教学重点

　　复数的概念，复数相等的充要条件．

教学难点

　　用复平面内的点表示复数Ｍ．

教学用具：直尺

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习提问：

　　1．复数的定义。

　　2．虚数单位。

二、讲授新课

　　1．复数的实部和虚部：

　　复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

　　2．复数相等

　　如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

　　即： 的充要条件是 且 。

　　例如： 的充要条件是 且 。

　　例1： 已知 其中 ，求x与y.

　　解：根据复数相等的意义，得方程组：

　　

　　

　　

　　

　　∴

　　例2：m是什么实数时，复数 ,

　　(1) 是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.

　　解：

　　(1) ∵ 时，z是实数,

∴ ,或 .

　　(2) ∵ 时，z是虚数,

　　 ∴ ，且

　　(3) ∵ 且 时，

　　z是纯虚数. ∴

　　3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义

　　建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

　　复数 可用点 来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上．

　　4．复数的几何意义：

　　复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

　　5．共轭复数

　　（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

　　（2）复数z的共轭复数用 表示．若 ，则： ；

　　（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

　　（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称．

三、练习 1,2,3,4.

四、小结：

　　1．在理解复数的有关概念时应注意：

　　（1）明确什么是复数的实部与虚部；

　　（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

　　（3）弄清复平面与复数的几何意义；

　　（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

　　2．复数集与复平面上的点注意事项：

　　（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

　　（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

　　（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

　　（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业 1,2,3,4,

六、板书设计：

§8,2　复数的有关概念

1定义：

　　例1 　 3定义:

　　　4几何意义:

……

　　 ……

　　 …… ……

2定义：

　　例2 5共轭复数:

……

　　 ……

　　 …… ……

　　　

复数的概念的板书设计第 4 篇

　　各位老师大家好。今天，有幸借此平台与大家交流，希望各位专家和老师指导我的说课。我说课的题目是《复数的概念》我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重点难点、教法学法、教学反思这几个部分作具体的阐述。

　　教材分析

　　首先是教材分析，复数的概念是北师大版职中数学职业模块I第三章第节的内容。在本节之前，学生已经学习了自然数、整数、有理数、实数的概念和运算，这为过渡到本节的学习起到铺垫的作用。本节内容是本章的基础，也是学好复数的关键。

　　学情分析

　　我所教的学生情况有如下几个特征：他们在从小学到初中的学习中已经学习了自然数、整数、有理数、实数这些概念，掌握了相应的运算法则和运算律，同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件，但是学生们对数的分类，主要依靠的是简单记忆，对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。

　　鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：

　　教学目标

　　知识目标：

　　1掌握复数的概念和复数的代数形式。

　　2会进行复数的分类及判断复数相等。

　　能力目标：培养学生的抽象概括能力和运算求解能力。

　　情感目标：提高学生学习数学的兴趣，激励学生勇于创新。

　　教学重难点

　　重点：复数的概念。

　　难点：对复数有关概念的理解。

　　重难点突破

　　运用多媒体手段，采用探究式教学方法，将复杂的思维过程转化为事物的发生、发展过程，培养学生形象思维能力，完成感性认识过程，进而过渡为抽象思维，完成理性认识过程，突破学习重难点，提高学生对数学知识的理解和掌握 。

　　教学方法

　　教法：启发诱导式 演示法 讲授法

　　学法：类比学习法 探究式学习法

　　教学过程

　　为了达成以上教学目标，我将本节课教学过程设计成以下几个环节：

　　首先是问题探究，让学生观看两张幻灯片，通过幻灯片展示，用通俗易懂的语言向学生讲解数的发展和数系的拓展的过程。通过兴趣学习让亲自体会到数的产生和发展。同时在第二张幻灯片上提出一个问题：“实数能否再拓展？”充分活跃学生思维，从而提高学生学习兴趣。。

　　通过第一环节的.学习，学生已经了解了由自然数到实数的数系拓展过程。但是人们发现在实数范围内仍然无法完全解决代数方程根的问题，例如在解方程x2=-1时，x如何解？ 这时，要鼓励学生积极思考并尝试创造，肯定学生的思维结果。由此自然地引入“虚数单位i，规定，i2=-1。然后用类比的思想引出它的一些性质法则。进而引出复数的概念和复数的代数形式。即形如a+bi（a,b∈R）形式的数称为复数，z = a + bi (a,b∈R)叫做复数的代数形式。并用幻灯片展示复数的相关概念，使学生能形象直观的理解复数的相关概念。然后用讲授法对复数集进行分类，利用多媒体技术，把复数集是如何分类的很清晰直观的展示出来，这样就自然而然的就完成了“实数系到复数系扩充”的教学任务，从而激发学生学习数学的兴趣。对复数集分类完成后，在用类比教学方法提出问题：实数可以比较大小虚数可否比较大小？充分活跃学生的思维。最后给出答案，虚数是不能比较大小的，但是可以相等的，进而引出复数相等的概念，使学生对复数有更深刻的理解。

　　为了巩固学生对复数概念的理解，到了课堂练习这个环节，采用启发诱导式的教学方法，与学生一起分析第一题，注重实部和虚部的表述，z=a+bi虚部是b而不是bi，通过问答的方式使学生达到对本环节教学目标的掌握。为了加深对复数的进一步理解，引导学生完成例1变式例题2。为了巩固复数相等的概念，采用探究式学习方法，和学生共同完成例题3，使学生在不断地思考探索中完成对教学目标的掌握。

　　课堂练习完后，到了课堂小结这个环节，。用多媒体手段，采用讲授法回顾本节课的主要内容，强调重点难点。让学生自己也总结本节课知识点，加深对本节课的掌握。

　　作业布置是教学过程中的不可缺少的部分，我布置的作业分为两部分，一个是书面作业，使学生通过练习达到巩固本节课知识点的目的。一个是拓展作业。即“复数还能否再进行拓展？”培养学生的探究意识。

　　最后一个环节就是板书设计，我把黑板划分为两部分，左边主要是本节课的概念，右边主要是例题，练习，这样看起来比较直观，条理清晰，学生容易接受。

　　教学反思

　　亮点:为了达到本节课的教学目标，我把数系的拓展作为本节课的一个亮点，采用多媒体展示，老师生动讲解，以此来提高学生学习数学的兴趣，同时激发学生的创造性思维，进一步提高学生的数学素养。

　　不足及改正措施：学生积极性主动性还不够。以后还要加强学生积极主动性的培养。