复数乘法的几何意义

这是复数乘法的几何意义，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数乘法的几何意义第 1 篇

一、复数的三角形式：

(z = r(cos theta + isin theta ))（(r>0)），(z)对应点(Z(rcos theta ,rsin theta ))，对应向量(overrightarrow {OZ} = (rcos theta ,rsin theta ))，(|z| = |overrightarrow {OZ} | = r)

若({z_1} = {r_1}(cos {theta _1} + isin {theta _1}))，({z_2} = {r_2}(cos {theta _2} + isin {theta _2}))，则

({z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}[cos {theta _1}cos {theta _2} – sin {theta _1}sin {theta _2} + i(sin {theta _1}cos {theta _2} + cos {theta _1}sin {theta _2})])

( = {r_1}{r_2}[cos ({theta _1} + {theta _2}) + isin ({theta _1} + {theta _2})])

其几何意义是：({z_1}{z_2})表示把复数({z_1})对应的向量(overrightarrow {O{Z_1}} )，绕(O)旋转({theta _2})（({theta _2}>0)：逆时针，({theta _2}<0)：顺时针），然后再伸长或缩短为原来({r_2})倍得到的向量所对应的复数．可以用来处理旋转、伸缩变换有关问题。如((1 + 2i) cdot i = (1 + 2i) cdot (cos 90^circ + isin 90^circ ))表示把向量(overrightarrow a = (1,2))沿逆时针旋转(90^circ )，长度不变．

同理可得到：(dfrac{{{r_1}(cos {theta _1} + isin {theta _1})}}{{{r_2}(cos {theta _2} + isin {theta _2})}} = dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}[cos ({theta _1} – {theta _2}) + isin ({theta _1} – {theta _2})])

二、在解析几何中的应用

【例题】在平面直角坐标系(xOy)中，点(P)、(Q)分别为直线(l:2x + y – 3 = 0)与圆(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2})（(r>0)）上的动点，若存在点(P)、(Q)，使得(Delta OPQ)是以(O)为直角顶点的等腰直角三角形，则(r)的取值范围为_____________.

复数三角形式乘法的几何意义及其应用复数三角形式乘法的几何意义及其应用

【解析】设(Q(x,y))，其对应复数为(x + yi)，

((x + yi) cdot (cos{90^circ}+isin{90^circ}))(=(x + yi) cdot i = – y + xi)，故(P( – y,x))

代入(2x + y – 3 = 0)得(Q)的轨迹方程为(x – 2y – 3 = 0)

由于(Q)点在圆(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2})上

故(d = dfrac{{|2 – 0 – 3|}}{{sqrt 5 }} leqslant r)，解得(r geqslant dfrac{{sqrt 5 }}{5})

复数乘法的几何意义第 2 篇

　　复数的几何意义是什么

　　1、复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

　　2、我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

　　3、当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

　　4、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

　　复数的运算公式

　　（1）加法运算

　　设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。

　　（2）乘法运算

　　设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。

　　其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

　　（3）除法运算

　　复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。

　　运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

　　拓展阅读：复数与向量的关系是什么

　　向量是复数的一种表示方式，而且只能是二维向量，即平面向量。复数仅仅限制在二维平面上。复数和复平面上以原点为起点的向量一一对应。

　　1、向量：在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，亦称矢量，在数学中与之相对应的是数量，在物理中与之相对应的是标量。

　　2、复数：被定义为二元有序实数对。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数乘法的几何意义第 3 篇

教学目标

(1)掌握，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;

(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.

教学建议

(一)教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.

2、重点、难点分析

(1)正确复数的实部与虚部

对于复数 ，实部是 ，虚部是 .注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设 ，则 为实数

② 为虚数

③ 且 。

④ 为纯虚数 且

(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.

②复数 用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 .由于 =0+1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度.

③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时， 是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写.要学生注意.

(5)关于共轭复数的概念

设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).

教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当 时， 与 互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

(6)复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 .两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a， b来说，a

(ii)如果a

(iii)如果a

(iv)如果a0，那么ac

(二)教法建议

1.要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系.

2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.

3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.

复数乘法的几何意义第 4 篇

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

1. 复数的概念

2. 复数的几何意义

3. 复数的加减乘除法四则运算

二. 教学目标和要求

1. 让学生了解数的演变过程，以及数集扩充的必要性，体会人类的理性思维对数学的发展所起的重要作用

2. 通过对复数的概念的学习，理解复数的几何意义，能利用复数解决复数相等和共轭复数的问题

3. 掌握复数运算的加减法法则，了解它们的几何意义

4. 掌握乘除法的运算过程，能解决一些具体的问题

三. 重点和难点

重点：复数的概念和复数运算的加减乘除法则

难点：1. 复数的概念以及它的几何意义和加减运算法则的几何意义

2. 复数乘除法的法则及其应用

四. 知识要点解析

1. 数的演变过程

数的产生和发展，都是为了计数的需要，以及为了解决一些实际问题中出现的矛盾，经过人的理性思维，从而扩充数系。（分数解决了在整数集中不能整除的矛盾 ，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾，复数解决了方程的次数和方程解的个数不一致的矛盾） 数系扩充的脉络：

自然数系 有理数系 实数系 复数系

2. 复数的概念以及几何意义

（1）复数的定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b都是实数，通常小写字母z表示，记作z＝a＋bi（a，bR），a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i叫做虚数单位

（2）复数的分类

复数z＝a＋bi中，如果b＝0，则复数z叫做实数；如果b0，则复数z＝a＋bi叫做虚数：如果a＝0， b0，则bi 叫做纯虚数

（3）复数的几何意义

复数z＝a＋bi 有序实数对（a，b） 点Z（a，b）

3. 复数相等，复数的模

（1）复数相等：如果复数的实部和虚部对应相等，则称2个复数相等，即：

a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d； a＋bi＝0a＝b＝0

思考：两个复数能否比较大小

（2）复数的模：设向量OZ＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数a＋bi的模（或绝对值） 记作＝

4. 共轭复数

（1）共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个虚数叫做互为共轭复数，记作z＝a＋bi，＝a－bi

（2）共轭复数的性质：

①模相等即

②任意实数的共轭复数都是它本身即z＝；

③表示两个共轭复数的点关于实轴对称

④

⑤

⑥

（3）共轭复数的运算性质

① ② ③ ④

5. 复数与点的轨迹

（1）两点间距离公式d＝

（2）线段的中垂线 ＝

（3）圆的方程 ＝r，圆心Z0，半径为r

（4）椭圆方程

6. 复数运算的加减法则以及几何意义

（1）加法法则：（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i

（2）减法法则：（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i

（3）几何意义：加法就是向量的加法的平行四边形法则，减法遵循向量的减法法则

7. 复数的乘除法则

（1）复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di 则z1z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i

强调：①两个复数之积仍是复数，一般形式x＋yi （x，y）

②不要求记忆乘法法则，按照多项式乘法的运算方式展开就可以了

（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i

③复数乘法运算满足交换律，结合律和乘法对加法的分配律

z1z2＝z2z1； （z1z2）z3＝z1（z2z3）； z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

④复数的乘方

zmzn＝zm＋n ；（zm）n＝zmn； （z1z2）n＝zn1zn2

（2） 复数的除法法则

强调：①复数除法的结果仍是复数，不要求记忆公式

②复数除法的本质是分母实数化

8. 两个重要的复数（i，）

（1）i的性质

①i4n＝1，i4n＋1＝i， i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i

②i4n＋ i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0

（2）*的性质（）

①w3n＝1，w3n＋1＝w，w3n＋2＝ ②w3n＋w3n＋1＋w3n＋2＝0

【典型例题】

例1. 实数m取什么值时，复数z＝（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i

（1）是实数 （2）是虚数 （3）是纯虚数

思路分析：这是考察复数的分类，也就是复数z＝a＋bi中，其中a，b都是实数，由复数z＝a＋bi是实数，虚数和纯虚数的条件可以确定m的值

解：

（1） m2－5m－6＝0 ，解得m＝－1或m＝6

（2） m2－5m－60， 解得m－1且m6

（3）

例2. 若2，求的最值

思路分析：2表示复数z的对应点Z是以3＋4i为圆心，2为半径的圆面，如图，最值点在复数3＋4i表示的点与坐标原点连线上。

解：圆心（3，4）到坐标原点的距离为5，半径为2，所以最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3。

强调：注意数形结合对解此类型题目的实际意义，数形结合有利于解题。

例3. 已知复数Z1，Z2满足＝＝， ＝，求的值。

思路分析：复数的加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，如图，已知平行四边形相邻两边长分别为，其中一条对角线长为，转化为求另一条对角线长度的问题。可以通过解三角形，利用余弦定理解决。如图

答案见名师面授！

例4. 设z是虚数，w＝，且－1＜w＜2。

a) 求

b) 设

c) 求

思路分析：本题考查复数的概念，复数的运算以及与函数，不等式的综合应用能力，能力层次；综合应用。

思路一： 由于将用x，y的表达式表示，利用题设条件＜w＜2论证各问题

思路二： 利用z，z为纯虚数两题

解法一：

（1）设z＝x＋yi（x，y，且y）则

∵－1＜w＜2，∴w，∴y－

又y，∴ ∴

由－1＜w＜2得－1＜2x＜2，∴－0.5＜x＜1

（2）

∵y，∴是纯虚数

（3）

当且尽当x＋1＝ ，即x＝0时等号成立

∴当x＝0，即z＝时，有最小值1

解法二：

（1）∵－1＜w＜2，∴w＝，即

化为（z－

∵z为虚数，∴

设z＝x＋yi，则

∴∵－1＜w＜2，∴－0.5＜x＜1

（2） ∵z为虚数，∴z－1，即

又

（3）同解法一

思想方法小结：本题解法一利用复数的基本概念和基本运算解题，方法略繁，但思路清晰。解法二运用共轭复数的性质解题，方法简洁，计算量小，体现了转化思想。

【模拟试题】

一、选择题

1. 若Z1＝（x－2）＋yi与Z2＝3x＋i（x，yR）互为共轭复数，则Z1对应的点在第（ ）象限

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 下列说法正确的个数是（ ）

①实数是复数 ②虚数是复数 ③ 实数集与虚数集的交集不是空集 ④实数集与虚数集的并集等于复数集 ⑤虚轴上的点表示的都是纯虚数 ⑥实轴上的点表示的数都是实数

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. 复数z＋＝0，则z是（ ）

A. 0 B. 实数 C. 纯虚数 D. 0或纯虚数

4. 已知

A. 1 B. 2 C. D. 3

5. （ ）

A. 0 B. 1 C. –1 D. i

6. 已知（ ）

A. 1＋i B. 1－I C. 2i D. –2i

7. 设z为复数，则

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 不充分不必要条件

二、填空题

8. 复数（m2－4）＋（m2＋m－6）i是纯虚数，则m＝

9. 已知复数Z1，Z2满足则

10. （2003年北京）若Z

11. 计算

12. 已知复数z是方程的根，则

（1）求＝ （2）求＝

13. 已知复数z＝3＋4i，则z的平方根为

三、解答题

14. 求复数 Z1＝3＋4i，Z2＝的模及其共轭复数

15. 已知平行四边形ABCD，若A，B，C三点对应复数分别为2＋i ， 4＋3i ， 3＋5i，求点D对应的复数

16. 设复数z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i ，试求实数m取何值时，

（1）复数z是纯虚数，（2）复数z是实数，（3）z对应的点位于复平面的第二象限

17. 已知复数z满足

18. 求一个复数z，使得为实数，且

19. 已知z＝1＋i，a，b为实数，

（1）若，求

（2）若，求a，b的值

【试题答案】

一、选择题

1. C 2. B 3. D 4. D 5. A 6. D 7. A

二、填空题

8. –2 9. 10. 11. i

12. （1） （2） 0

13. 2＋i或－2－i

三、解答题

14. i

15. 1＋3i

16. （1） m＝3 （2）m＝－1或m＝－2 （3）

17. 最大值 ，最小值

18. z＝4或z＝

19. （1） ＝ （2） a＝－1，b＝2

【励志故事】

现在我是墙

华裔网球名将张德培在事业巅峰的时间曾说：小时候，我用球打击墙，它立即反击我，让我知道它是无法穿越的；现在，我是墙。我是张德培，这是我的世界。

墙无法穿越，你打击，疼痛的是手，流血的是心；手里拿物体打击墙，力道越足，墙反弹的力度越强，受的伤就越重，但墙仍然无法穿越，顶多是留下一个凹陷的痕迹。把墙撞塌了，被压垮的还是你自己。我们都有碰壁的时候，迁怒于墙，结果被愤怒烧伤自己的脉管；狠狠拍击墙，折断的可能是你的胳膊。并不是所有的墙都可以攀越或随意移动的。头撞南墙的是傻瓜，向隅而泣的是懦夫。把自己化为一堵墙，就没有什么可以穿越你了。

苦难是堵墙，隔阂是堵墙，冷遇是堵墙。对付墙的办法，就是比墙更硬。不想被什么穿越，你就选择做一堵岿然不动的墙。

现在我是墙，是藤蔓可以攀援的墙，是牵牛可以开花的墙。

话外音：做人要坚强。当你强大到一定程度的时候，你就是别人的标准和榜样。