复数的三角形式例题

这是复数的三角形式例题，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的三角形式例题第 1 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

一、选择题

1．复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z2z1)的值为(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．复数－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(

　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．形状不能确定

4．复数cos π3＋isin π3经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．复数z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究题)若复数as4alco1((1＋i1－i))n为实数，则正整数n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

7．设z＝1＋i，则复数z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．

9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．

课件：

教案：

教学课时：共2课时（第1课时）

教学目标：

1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

教学过程：

一、情境与问题

问题1：

设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

问题2：

记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

问题3：

小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

【学生活动】：

1、阅读教材43页尝试与发现．

2、回答文章中提出的问题．

3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

【设计意图】：

引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

二、新知探究

问题1：

是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

问题2：

复数三角形式的定义是什么？

【学生活动】

尝试总结复数三角形式的定义．

【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

问题3：

辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

【学生活动】思考并讨论．

【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

【学生活动】学生思考并总结．

【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

三、例题示范

例1（教材44页例1）

考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

解：（1）；

（2）；

（3）．

解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

例2：（教材48页习题10-3A第一题）

把下列复数化为代数形式．

考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

思路分析：打开括号，直接整理即可．

解：

解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

四、知能训练

1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

考查意图：复数的辐角

2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

五、归纳总结

1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

5、作业建议：

48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

49页习题10-3B第2题

复数的三角形式例题第 2 篇

异化的数学文化

《普通高中数学课程标准（实验）》及其修订版，均把“体现数学的文化价值”作为高中数学课程标准的重要理念之一，强调“数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容”．

故新课改伊始，数学文化一度成了研究的热点．

但目前对于数学文化的理解，却存在一种浅薄化的倾向，认为数学文化就是一些文化素材，比如数学史、数学应用、数学美等，它们与数学知识是分离的．

这种把数学文化当成数学知识的外在附属品，对数学知识和数学文化进行割裂式的理解，是对数学文化的曲解和误读．

以这种曲解和误读来践行数学文化，是与数学文化教育的理念相背离的．

特别是近两年来，高考考试大纲提出要关注数学文化，高考中编制的数学试题，除了要实现对知识和能力的考查之外，还应当注重对数学文化的考查．

但把数学文化的考查等同于用数学史料等包装数学问题的情况较为普遍，似乎只要在数学试题中添加一些“文化”的佐料，便可以达到对个体数学文化素养的考查．

更有不少研究者从数学历史、数学精神、数学应用、数学之美、数学语言、数学游戏等多个方面，对高考数学中涉及数学文化的试题进行分类赏析，试图把数学文化可能出题的方向一网打尽，为备考数学文化提供清晰的复习方向．

这种对数学文化的庸俗化、简单化的理解，异化了数学文化的内涵，窄化了数学文化的外延，不仅没有触及数学文化的精神实质，难以达到对数学文化的真正考查，还会无形之中增加学生的学习负担．

数学文化是数学学习后的一种沉淀，是学生数学素养养成的结果体现．

数学知识是数学文化的载体，没有这个载体就无以确定什么是数学文化．

数学文化与数学同在，只要有数学，就一定有数学文化．

文化者，以文化人也．数学的文化特征不仅在于数学的历史性和美学价值，数学文化的核心是数学的理性精神，是在对具体问题、结论或方法的探究、质疑、猜想、论证、反思等理性思维活动中，所获得的数学精神和数学品格．

数学名师张齐华说得好：“数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式、方法、视角．数学学习一旦使学生感受到思维的乐趣，使学生领悟到了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必显露无遗．”

事实上，无论何时何地的数学的学、教与考，我们都可以触摸到数学文化的脉搏，因为拥有了数学思考和数学的理性精神，便拥有了数学文化的力量．

所以，数学文化的诉求不应从数学之外去找寻，数学最内在的文化特性就是数学本身，只要体现了数学的知识属性特征，彰显了数学的思维属性魅力，那么数学的文化特征便会得到充分的体现．

践行数学文化的教育，要避免工具主义倾向，不是在教学中或考试时安放几个文化素材便了事，而是应在充满理性思维的数学天地里，在探究数学规律、掌握数学知识的过程中，感受数学魅力，领会数学精神，受到文化感染，产生文化共鸣，体会文化品位．

唯此，今后不管从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学精神、思维方式等文化烙印，才能随时随地发生作用，使人受益终身．

这样的数学文化教育，才能真正做到以“文”化人，从而体现出数学文化的精髓和要义，真正彰显出数学文化的魅力和张力．

目前举国上下热议“核心素养”，尽管学界对这一概念的看法，众说纷纭、莫衷一是，但这似乎并不影响其在实践中大行其道．

具体到数学教学领域，同样如此．

当下我们经常看到，大会、小会言必称数学核心素养，论文、课题高度聚焦数学核心素养，教研课、示范课也都被冠以数学核心素养的旗号．

似乎不贴上核心素养的标签，不足以说明先进和进步．

事实上，早在2003年出版的《普通高中数学课程标准（实验）》中，就明确指出“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”“提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力”

修订之后的《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：

“数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力．高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．

前后对比不难发现，“数学核心素养”的新提法，就其内容而言，并无实质性的改变，只是在措辞方面略有差异。

其更重要意义在于修订后的课标中，对六大数学核心素养的内涵和表现做出了清楚界定，并基于六大数学核心素养给出了学业质量评价的水平划分.

从学术研究的角度来看，我们需要冷静思考：

该不该提“数学核心素养”？

到底什么是数学核心素养？

存在非数学核心素养吗？

数学核心素养与一般核心素养究竟是什么关系？

数学核心素养培养与数学素质教育有何区别与联系？

数学核心素养与“三维目标”“数学四基”是怎样的关系？

基于数学核心素养的学习评价，其试题在题型、立意、考点等方面，与之前的试题应具有怎样的差异？

理论认识上的含混不清，必然导致实践中的盲从与盲动，于是简单地用核心素养“贴金”数学教学的现象，也就不可避免了．

从教学实践的角度来看，要让新理念不是停留在口号或观念层面上，而是落实在具体的教学行动中，需要在内容和方法方面进一步思考：

在数学核心素养的目标之下，“教什么”究竟会与以往教学呈现出怎样的差异？“怎么教”究竟会与以往教学呈现出什么样的不同？

如果不对这两个根本问题做出清楚交待，就有“换汤不换药”“新瓶装旧酒”之嫌，那么“穿新鞋走老路”也就在所难免了．

要让数学核心素养真正成为我国数学教学变革的有效路径，必须对操作层面的具体策略展开深入研究和探索，要谨防为理念而理念，用核心素养简单包装教学、甚至绑架教学的现象发生．

复数的三角形式例题第 3 篇

已知两个非零复数的立方和为，则

的值为______．

分析与解

或．

根据题意，有，于是若，则

于是原式的值为

．

若，设

，则进而

或

，进而

综上所述，所求代数式的值为

或．

复数的三角形式例题第 4 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

一、选择题

1．复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z2z1)的值为(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．复数－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(

　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．形状不能确定

4．复数cos π3＋isin π3经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．复数z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究题)若复数as4alco1((1＋i1－i))n为实数，则正整数n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

7．设z＝1＋i，则复数z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．

9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．

课件：

教案：

教学课时：共2课时（第1课时）

教学目标：

1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

教学过程：

一、情境与问题

问题1：

设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

问题2：

记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

问题3：

小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

【学生活动】：

1、阅读教材43页尝试与发现．

2、回答文章中提出的问题．

3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

【设计意图】：

引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

二、新知探究

问题1：

是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

问题2：

复数三角形式的定义是什么？

【学生活动】

尝试总结复数三角形式的定义．

【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

问题3：

辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

【学生活动】思考并讨论．

【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

【学生活动】学生思考并总结．

【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

三、例题示范

例1（教材44页例1）

考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

解：（1）；

（2）；

（3）．

解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

例2：（教材48页习题10-3A第一题）

把下列复数化为代数形式．

考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

思路分析：打开括号，直接整理即可．

解：

解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

四、知能训练

1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

考查意图：复数的辐角

2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

五、归纳总结

1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

5、作业建议：

48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

49页习题10-3B第2题