点和圆的位置关系教案第一课时

这是点和圆的位置关系教案第一课时，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

点和圆的位置关系教案第一课时第 1 篇

　　学习目标：1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；

　　2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；

　　3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念

　　学习过程

　　一、点与圆的位置三种位置关系

　　生活现象：阅读课本，这一现象体现了平面内点与圆的位置关系． 如图1所示，设⊙O的半径为r，

　　A点在圆内，OA r

　　B点在圆上，OB r

　　C点在圆外，OC r

　　反之，在同一平面上，已知的半径为r⊙O，和A，B，C三点：

　　若OA＞r，则A点在圆 ；

　　若OB＜r，则B点在圆 ；

　　若OC=r，则C点在圆 。

　　二、多少个点可以确定一个圆

　　问题：在圆上的点有 多个，那么究竟多少个点就可以确定一个圆呢？ 试一试

　　画图准备：

　　1、圆的 确定圆的大小，圆 确定圆的位置；

　　也就是说，若如果圆的 和 确定了，

　　那么，这个圆就确定了。

　　2、如图2，点O是线段AB的垂直平分线

　　上的任意一点，则有OA OB 图2

　　画图：

　　1、画过一个点的圆。

　　右图，已知一个点A，画过A点的圆．

　　小结：经过一定点的圆可以画 个。

　　2、画过两个点的圆。

　　右图，已知两个点A、B，画过同时经过A、B两点的圆．

　　提示：画这个圆的关键是找到圆心，

　　画出来的圆要同时经过A、B两点，

　　那么圆心到这两点距离 ，可见，

　　圆心在线段AB的 上。

　　小结：经过两定点的圆可以画 个，但这些圆的圆心在线段的 上

　　3、画过三个点（不在同一直线）的圆。

　　提示：如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的.圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，

　　而经过B、C两点所画的圆的圆心在

　　线段BC的垂直平分线上，此时，这

　　两条垂直平分线一定相交，设交点为O，

　　则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，

　　OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C

　　三点的圆．

　　小结：不在同一条直线上的三个点确定 个圆．

　　三、概括

　　我们已经知道，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆（circumcircle）．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心（circumcenter）．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点．

　　如图：如果⊙O经过△ABC的三个顶点，

　　则⊙O叫做△ABC的 ，圆心O叫

　　做△ABC的 ，反过来，△ABC叫做

　　⊙O的 。

　　△ABC的外心就是AC、BC、AB边的 交点。

　　四、分组练习

　　（A组）

　　1、已知⊙O的半径为4，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（ ）

　　A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定

　　2、任意画一个三角形，然后再画这个三角形的外接圆.

　　3、判断题：

　　①三角形的外心到三边的距离相等………………（ ）

　　②三角形的外心到三个顶点的距离相等。…………（ ）

　　4、三角形的外心在这个三角形的（ ）

　　A．内部 B．外部 C．在其中一边上 D．以上三种都可能

　　5、能过画图的方法来解释上题。

　　在下列三个圆中，分别画出内接三角形（锐角，直角，钝角三种三角形）

　　6、直角三角形的两条直角边分别为5和12，则其外接圆半径的长为

　　7、若点O是△ABC的外心，∠A=70°，则∠BOC=

　　（B组）

　　8、一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）

　　A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C． 6.5cm D．5cm或13cm

　　9、随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请试画图说明.

点和圆的位置关系教案第一课时第 2 篇

课时设计 课堂实录

1第一学时 教学活动 活动1【讲授】直线和圆

课堂引入：

前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况）

(1)、判断直线4x-3y=5与圆x +y =25的位置关系

(2)、求圆x +y =25的过点P(3,4)的切线方程.

(3)、求圆x +y =25的过点P(5,4)的切线方程.

(4)、求圆x +y =25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长。

（这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果）

二、 知识梳理:

提出问题:直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断?

1 .直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交.

②Δ=0，直线和圆相切.

③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R，直线和圆相交.

②d=R，直线和圆相切.

③d＞R，直线和圆相离.

2. 直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。

1）若点p（x ，y ）在圆上，则圆x +y =r ：的切线方程为xx +y y = r ,圆(x-a) +(y-b) =r 的切线方程为（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r

2）若点p（x0，y0）在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏）.

3. 直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

(师生一起归纳,并由教师板书)

三、例题解析:

例1.(1).设m>0，则直线 （x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m(m＞0)的位置关系为

A.相切 B.相交

C.相切或相离 D.相交或相切

解析：圆心到直线的距离为d= ，圆半径为 .

∵d－r= － = （m－2 +1）= （ －1）2≥0，

∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

(2).圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于

A. B. C.1 D.5

解析：圆心到直线的距离为 ，半径为 ，弦长为2 = .

答案：A

(进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位)

例2.已知圆满足截①.y轴所得的弦长为2;②被x轴分两段弧,其弧长之比为此3:1;③圆心到直线:x-2y=0的距离为 .求该圆的方程.

解:设圆的方程为: （x－a）2＋（y－b）2＝r 则由条件①得 =r (1)

又由②得a +1=r (2)

又由③得 (3)

联立(1((2)(3),解方程组得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

所求圆的方程为: （x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(这是早几年的一道高考题,在高考复习中经常作为典型例题来用,我的学生对第(2)问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法入手,运算要快而准确)

例3 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得

(先由学生思考,提出他们的解答方案,再由老师补充:由含有一个参数的直线方程入手思考)

（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0， x=3，

x+y－4=0， y=1，

即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半径），

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－ ，

∴l的方程为2x－y－5=0.

思悟小结

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化

【例4】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.

解：将圆的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圆心C的坐标为（－ ，－1），半径r= ，

条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即

＞ .

化简得a2+a+9＞0.

由

4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得

－ ＜a＜ ，

a∈R.

∴－ ＜a＜ .

故a的取值范围是（－ ， ）

(确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是巩固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一个分散处理)

四﹑课堂小练

1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是( )

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

解析：数形结合法解.

答案：A

2.（2003年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是锐角三角形 B.是直角三角形

C.是钝角三角形 D.不存在

解析：由题意得 =1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx－ =0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.

解析：圆方程配方得（x+ ）2+y2= ，圆心为（－ ，0）.

由条件知－ <0，即m>0.

又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）= ，即m2=3，∴m= .

答案：

4.（2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圆心为（3，1），r=5.

由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d= = .

可得 弦长为2 ，弦长为4 .

答案：4

5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－ ，k2＝－ ．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?

分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d= .

∵P（x0，y0）在圆内，∴

则有d>r，故直线和圆相离.

(课堂练习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过程)

五﹑课堂小结

1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.

2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.

3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.

六课后作业

8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程.

9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为 ，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.

10.若直线y=x+k与曲线x= 恰有一个公共点,求k的取值范围

直线与圆的位置关系 二.例题解析一.知识梳理: 例1 例4 1. 直线和圆位置关系: 例2

圆(x-a) +(y-b) =r ,直线:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=| |

①d＜R，直线和圆相交. 例3 ②d=R，直线和圆相切.

③d＞R，直线和圆相离. 2. 直线和圆相切

3. 直线和圆相交小结: 二. 方法小结

七﹑板书设计

教学设计说明

1. 教材分析:这一章是解析几何的基础部分,其内容及方法在各类试题中均要涉及,是必须要牢牢掌握的.试题可能以各种形式出现.多以选择题形式出现,有时也有解答题.即考查基础知识的应用能力又考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.利用方程解决直线和圆的位置关系问题是解析几何的重点,也是直线与圆锥曲线关系的前奏,学好这一部分知识为后面的复习奠定基础扫清障碍.作为复习课,是要在学生原有的基础上,通过对直线与圆位置知识的系统化,使学生对基础知识基本技能的掌握提高一步.所以知识点归纳是本节课的一个重要环节.

2. 我所任教的班级是政治普通班,班里基本没有数学尖子生,班级平均分在多次模拟考试中以70到80分居多,相当一部分学生数学基础薄弱,缺乏对数学学习的信心和科学的学习方法.概括﹑转化﹑分析﹑归纳等方面的能力比较欠缺,但是值得一提的学习优势是笔记认真,习惯记忆,针对这种特点,我在课前让学生阅读教材, 自己归纳知识点,一方面加快上课节奏上课,另一方面通过比较使他们对知识的掌握更加系统.文科学生的抽象思维能力较为欠缺,运算速度较慢, 处理运算的方法也较为死板,课堂上也应该注重这方面的教学,并且要常抓不懈.因此,课堂上安排了例题的板书过程.另外,在选择例题时多以中档题为主,练习则注重基础知识的巩固提高以及题型的变化.

3. 课堂教学过程中注意引导学生积极思维,鼓励学生动手运算,多肯定,多补充少批判,培养学数学的信心.

4. 为了扩大课容量,本节课尝试使用多媒体,帮助学生理解掌握,提高效率.

点和圆的位置关系教案第一课时第 3 篇

课 题: 两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点 ：知识的综合运用．

教学过程 ：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相 离

相 切

相 交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解: 圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的'位置关系

外 离

外 切

相 交

内 切

内 含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理 设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+r两圆外离；

⑵d=R+r 两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r） 两圆内切；

⑸dr)两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ）

（A）外离 （B）相切 （C）内含 （D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（ ）

（A）外切 （B）内切 （C）外切或内切 （D）不确定

⒊已知：⊙O1 和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1 和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm； ⑵O1O2=7cm； ⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm； ⑸O1O2=0.5cm； ⑹O1O2=0，即⊙O1 和⊙O2重合；

四作业 :P137 2.3.4.5

点和圆的位置关系教案第一课时第 4 篇

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

　　(二)能力训练要求

　　1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．

　　2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．

　　(三)情感与价值观要求

　　1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

　　2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

　　教学重点

　　1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．

　　2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．

　　3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

　　教学难点

　　经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

　　教学方法

　　教师指导学生自主探索交流法．

　　教具准备

　　投影片三张

　　第一张：(记作3．4A)

　　第二张：(记作3．4B)

　　第三张：(记作 3．4C)

　　教学过程

　　Ⅰ．创设问题情境，引入新课

　　[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．

　　Ⅱ．新课讲解

　　1．回忆及思考

　　投影片(3．4A)

　　1．线段垂直平分线的性质 及作法．

　　2．作圆的关键是什么？

　　[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

　　作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．

　　[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？

　　[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．

　　2．做一做(投影片3．4B)

　　(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

　　(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

　　(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？

　　[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．

　　[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆． 由于圆心是任意的．因此这样的'圆有无数个．如图(1)．

　　(2)已 知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此 圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任 意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．

　　(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三 点的距离相等，就是所作圆的圆心．

　　因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

　　[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？

　　3．过不在同一条直线上的三点作圆．

　　投影 片(3．4C)

　　作法 图示

　　1．连结AB、BC

　　2．分别作AB、BC的垂直

　　平分线DE和FG，DE和

　　FG相交于点O

　　3．以O为圆心，OA为半径作圆

　　⊙O就是所要求作的圆[

　　他作的圆符合要求吗？与同伴交流．

　　[生]符合要求．

　　因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．

　　[师]由上可 知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．

　　4．有关定义

　　由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个 圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个 三角形叫这个圆的内接三角形．

　　外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．

　　Ⅲ．课堂练习

　　已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

　　解：如下图．

　　O为外接圆的圆心，即外心．

　　锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．

　　Ⅳ．课时小结

　　本节课所学内容如下：

　　1．经历不在同一条直线上的 三个点确定一个圆的探索过程．

　　方法．

　　3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．

　　Ⅴ．课后作业

　　习题3．6

　　Ⅵ．活动与探究

　　如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

　　解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．