总体均值的无偏估计

这是总体均值的无偏估计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

总体均值的无偏估计第 1 篇

在学完通过抽样来收集数据后，我们必须通过图、表计算来分析数据。这就需要对总体作出相应的估计。一般有两种估计，一是用样本频率分布估计总体的分布，二是用样本的数字特征估计总体的数字特征。

用样本频率分布估计总体的分布，可以用频率分布表和频率分布直方图，此时要明确它的具体做法分五个步骤进行，知道直方图中的小长方形的面积表示相应各组的频率，了解应用直方图的优缺点；再者就是茎叶图也被用来表示数据，懂得如何作茎叶图，特别指出叶是指数据中的最后一个数字，注意是否需要补0，当然也要知道它的优缺点。

用样本的数字特征估计总体的数字特征，这里的数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差和方差。给出一组具体的样本数据后，通过计算获取的数字特征的值是准确的，但如果通过频率分布直方图获取的，所得的数值只是近似值（如何算？）。对于标准差或方差，要懂得公式、取值范围、和特点。

总体均值的无偏估计第 2 篇

1、数据的两个特征：集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”，波动性指的是数据围绕“平均值”的变化情况。

2、反映数据“大多数水平”（集中趋势）的量——众数

众数：即样本数据中频数最大（或频率最高）的数据。

特点：①可以不存在或不止一个；

②不受极端数据的影响，求法简单；

③可靠性差，如0，0，2，3，5这组数据中，众数是0，它很难真实反映这组数据的“平均水平”（集中趋势）；

④众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用，故一般可用于统计非数字型数据，如“牛，羊，马，鱼，牛”这组数据中，众数是“牛”；

⑤众数在销售统计中常用

3、反映数据“中间水平”（集中趋势）的量——中位数

中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。

特点：①中位数把样本数据分为两部分，一部分大于中位数，另一部分小于中位数；

②中位数不受少数几个极端值的影响；

③由于当样本数据为偶数个时，中位数等于中间两个数据的平均值，因此有时中位数未必在样本数据中

4、反映数据“平均水平”（集中趋势）的量——平均数

平均数：所有数据之和再除以数据的个数所得值，又称算术平均数。

公式：

特点：一般情况下能有效地反映数据的集中趋势；但易受极端值的影响，在极差较大的情况下，不如众数和中位数准确；

5、反映数据“波动范围”的量——极差

极差（R）：一组测量数据中，最大值与最小值之差称为极差

特点：极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能精确反映测量值彼此相符合的程度；但计算简单

6、反映数据“波动大小”的量——方差

方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差（或均方差），随机变量X的方差可记作：S2（或D（X））。

特点：①方差越大，数据的波动性越大；

②

7、反映数据“波动大小”的量——标准差

标准差：方差的平方根，记作S。

特点：①标准差越大，数据的波动性越大；

②

8、用样本来估计总体：一般情况下，如果总体的容量较大，不便分析其数据特征，我们可以通过随机抽取一定的样本，通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计；但难免有一定误差。

考点一 合理选择统计量

例1、有一首打油诗“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？某次数学考试，婷婷得到 78分。全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分。婷婷计算出全班的平均分为 77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”。她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？

分析：在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3000000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象。

解析：上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数。

考点二 从统计图表中提取样本的数字特征

例2、已知一组数据共有二十个，它的频率分布直方图如下（纵轴表示频率）：

试根据上图写出该组数据的中位数，众数，平均数并求其标准差。

分析：①了解频率分布直方图的意义；②了解所求各量的意义。

解析：由图可知：该组数据的中位数是

，众数是5，平均数

标准差S=1.64

说明：如果已知各数据的频率，则求平均值时对频率与对应数据的积求和即可，即

。

考点三 反映数据集中趋势的常用量——平均值

例3、在一次射击训练中，甲乙两位选手分别进行了10次射击测试，中靶成绩如下：

甲

10

10

9

9

8

10

10

7

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

7

9

10

8

根据上表数据计算，谁的成绩更好？

分析：①本题是根据10次测试的成绩来对选手的竞技状态进行评价，属于根据样本来对总体进行估计；②两组数据的极差均不大，因此可选用平均数来进行估计。

解析：

，因为

，因此甲的成绩好于乙的成绩。

考点四 反映数据波动性的常用量——方差或标准差

例4、甲乙两位选手在射击训练中的测试成绩如下：

甲

10

10

9

9

9

9

8

9

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

9

9

10

8

根据上表回答：

①哪位选手的状态更好？

②按照历次比赛的数据统计，获奖选手平均中靶的环数至少为9.5，那么应该派哪位选手参赛较好？

分析：①以这10次测试的平均成绩来进行估计；②经过计算可知，两位选手的平均成绩都不超过9.5，可结合稳定性来考虑；显然，稳定性越好，获奖的可能性越小。

解析：①

，因此两位选手的平均成绩是相同的；但是，S甲=0.67，S乙=1.25，因为S甲乙，所以甲发挥得更稳定；

②由于

，且S甲乙，因此可派出乙选手参加比赛。

说明：对第二个问题的处理，也可结合众数进行。甲的数据的众数是9，乙的数据的众数是10和9，反映出大多数情况下，甲能打出9环，而乙能打出9环或10环。

总体均值的无偏估计第 3 篇

1 、数据的两个特征：集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”，波动性指的是数据围绕“平均值”的变化情况。

2 、反映数据“大多数水平”（集中趋势）的量——众数

众数：即样本数据中频数最大（或频率最高）的数据。

特点：①可以不存在或不止一个；

②不受极端数据的影响，求法简单；

③可靠性差，如0 ，0 ，2 ，3 ，5 这组数据中，众数是0 ，它很难真实反映这组数据的“平均水平”（集中趋势）；

④众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用，故一般可用于统计非数字型数据，如“牛，羊，马，鱼，牛”这组数据中，众数是“牛”；

⑤众数在销售统计中常用

3 、反映数据“中间水平”（集中趋势）的量——中位数

中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。

特点：①中位数把样本数据分为两部分，一部分大于中位数，另一部分小于中位数；

②中位数不受少数几个极端值的影响；

③由于当样本数据为偶数个时，中位数等于中间两个数据的平均值，因此有时中位数未必在样本数据中

4 、反映数据“平均水平”（集中趋势）的量——平均数

平均数：所有数据之和再除以数据的个数所得值，又称算术平均数。

公式：

特点：一般情况下能有效地反映数据的集中趋势；但易受极端值的影响，在极差较大的情况下，不如众数和中位数准确；

5 、反映数据“波动范围”的量—— 极差

极差（R ）：一组测量数据中，最大值与最小值之差称为极差

特点：极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能精确反映测量值彼此相符合的程度；但计算简单

6 、反映数据“波动大小”的量—— 方差

方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差（或均方差），随机变量X 的方差可记作：S 2 （或D （X ））。

特点：①方差越大，数据的波动性越大；

②

7 、反映数据“波动大小”的量—— 标准差

标准差：方差的平方根，记作S 。

特点：①标准差越大，数据的波动性越大；

②

8 、用样本来估计总体：一般情况下，如果总体的容量较大，不便分析其数据特征，我们可以通过随机抽取一定的样本，通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计；但难免有一定误差。

考点一合理选择统计量

例1 、有一首打油诗“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。” 这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？某次数学考试，婷婷得到78 分。全班共30 人，其他同学的成绩为1 个100 分，4 个90 分，22 个80 分，以及1 个2 分和1 个10 分。婷婷计算出全班的平均分为77 分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”。她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？

解析：上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数。

考点二从统计图表中提取样本的数字特征

例2 、已知一组数据共有二十个，它的频率分布直方图如下（纵轴表示频率）：

试根据上图写出该组数据的中位数，众数，平均数并求其标准差。

分析：①了解频率分布直方图的意义；②了解所求各量的意义。

由图可知：该组数据的中位数是，众数是5 ，平均数

标准差S=1.64

说明：如果已知各数据的频率，则求平均值时对频率与对应数据的积求和即可，即

。

考点三反映数据集中趋势的常用量——平均值

例3 、在一次射击训练中，甲乙两位选手分别进行了10 次射击测试，中靶成绩如下：

甲

10

10

9

9

8

10

10

7

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

7

9

10

8

根据上表数据计算，谁的成绩更好？

分析：①本题是根据10 次测试的成绩来对选手的竞技状态进行评价，属于根据样本来对总体进行估计；②两组数据的极差均不大，因此可选用平均数来进行估计。

，因为，因此甲的成绩好于乙的成绩。

考点四反映数据波动性的常用量——方差或标准差

例4 、甲乙两位选手在射击训练中的测试成绩如下：

甲

10

10

9

9

9

9

8

9

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

9

9

10

8

根据上表回答：

①哪位选手的状态更好？

②按照历次比赛的数据统计，获奖选手平均中靶的环数至少为9.5 ，那么应该派哪位选手参赛较好？

分析：①以这10 次测试的平均成绩来进行估计；②经过计算可知，两位选手的平均成绩都不超过9.5 ，可结合稳定性来考虑；显然，稳定性越好，获奖的可能性越小。

①，因此两位选手的平均成绩是相同的；但是，S 甲=0.67 ，S 乙=1.25 ，因为S 甲

②由于S 甲

说明：对第二个问题的处理，也可结合众数进行。甲的数据的众数是9 ，乙的数据的众数是10 和9 ，反映出大多数情况下，甲能打出9 环，而乙能打出9 环或10 环。

总体均值的无偏估计第 4 篇

1、数据的两个特征：集中趋势和波动性。集中趋势指的是数据的“一般水平”或曰“平均水平”，波动性指的是数据围绕“平均值”的变化情况。

2、反映数据“大多数水平”（集中趋势）的量——众数

众数：即样本数据中频数最大（或频率最高）的数据。

特点：①可以不存在或不止一个；

②不受极端数据的影响，求法简单；

③可靠性差，如0，0，2，3，5这组数据中，众数是0，它很难真实反映这组数据的“平均水平”（集中趋势）；

④众数在难以定义“平均数”或“中位数”时常用，故一般可用于统计非数字型数据，如“牛，羊，马，鱼，牛”这组数据中，众数是“牛”；

⑤众数在销售统计中常用

3、反映数据“中间水平”（集中趋势）的量——中位数

中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。

特点：①中位数把样本数据分为两部分，一部分大于中位数，另一部分小于中位数；

②中位数不受少数几个极端值的影响；

③由于当样本数据为偶数个时，中位数等于中间两个数据的平均值，因此有时中位数未必在样本数据中

4、反映数据“平均水平”（集中趋势）的量——平均数

平均数：所有数据之和再除以数据的个数所得值，又称算术平均数。

公式：

特点：一般情况下能有效地反映数据的集中趋势；但易受极端值的影响，在极差较大的情况下，不如众数和中位数准确；

5、反映数据“波动范围”的量——极差

极差（R）：一组测量数据中，最大值与最小值之差称为极差

特点：极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能精确反映测量值彼此相符合的程度；但计算简单

6、反映数据“波动大小”的量——方差

方差：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差（或均方差），随机变量X的方差可记作：S2（或D（X））。

特点：①方差越大，数据的波动性越大；

②

7、反映数据“波动大小”的量——标准差

标准差：方差的平方根，记作S。

特点：①标准差越大，数据的波动性越大；

②

8、用样本来估计总体：一般情况下，如果总体的容量较大，不便分析其数据特征，我们可以通过随机抽取一定的样本，通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计；但难免有一定误差。

【典型例题】

考点一 合理选择统计量

例1、有一首打油诗“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。”这首诗反映了什么现象？如何选择恰当的统计量来反映该村的收入水平？某次数学考试，婷婷得到 78分。全班共30人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，以及1个2分和1个10分。婷婷计算出全班的平均分为 77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次的成绩在班上处于“中上水平”。她说得对吗？如何选择恰当的统计量来反映她的成绩在班上的真实位置？

【分析】在极差较大的情况下，用平均数来反映数据的特征往往出现较大的偏差，具体表现为标准差较大，如打油诗中数据的标准差达到了惊人的3000000，而婷婷班上成绩数据的标准差也达到了19.93，所以才会出现基本上都是不名一文的村子却“人人都是百万富翁”以及排名倒数第三的成绩成了“中上水平”的不正常现象。

【答】上述现象表明：平均数受极端值影响较大，在极差较大的情况下，不宜用平均数来刻画数据的数字特征，可选用众数或中位数。

考点二 从统计图表中提取样本的数字特征

例2、已知一组数据共有二十个，它的频率分布直方图如下（纵轴表示频率）：

试根据上图写出该组数据的中位数，众数，平均数并求其标准差。

【分析】①了解频率分布直方图的意义；②了解所求各量的意义。

【解】由图可知：该组数据的中位数是，众数是5，平均数

标准差S=1.64

【说明】如果已知各数据的频率，则求平均值时对频率与对应数据的积求和即可，即。

考点三 反映数据集中趋势的常用量——平均值

例3、在一次射击训练中，甲乙两位选手分别进行了10次射击测试，中靶成绩如下：

甲

10

10

9

9

8

10

10

7

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

7

9

10

8

根据上表数据计算，谁的成绩更好？

【分析】①本题是根据10次测试的成绩来对选手的竞技状态进行评价，属于根据样本来对总体进行估计；②两组数据的极差均不大，因此可选用平均数来进行估计。

【解】，因为，因此甲的成绩好于乙的成绩。

考点四 反映数据波动性的常用量——方差或标准差

例4、甲乙两位选手在射击训练中的测试成绩如下：

甲

10

10

9

9

9

9

8

9

9

8

乙

9

6

10

10

9

10

9

9

10

8

根据上表回答：

①哪位选手的状态更好？

②按照历次比赛的数据统计，获奖选手平均中靶的环数至少为9.5，那么应该派哪位选手参赛较好？

【分析】①以这10次测试的平均成绩来进行估计；②经过计算可知，两位选手的平均成绩都不超过9.5，可结合稳定性来考虑；显然，稳定性越好，获奖的可能性越小。

【解】①，因此两位选手的平均成绩是相同的；但是，S甲=0.67，S乙=1.25，因为S甲<>乙，所以甲发挥得更稳定；

②由于，且S甲<>乙，因此可派出乙选手参加比赛。

说明：对第二个问题的处理，也可结合众数进行。甲的数据的众数是9，乙的数据的众数是10和9，反映出大多数情况下，甲能打出9环，而乙能打出9环或10环。