理解直线与圆的位置关系

这是理解直线与圆的位置关系，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

理解直线与圆的位置关系第 1 篇

　　本节课的教学 内容是确定圆的条件，即 探索经过一个点、两个点、三个点分别能否作出圆、能作出几个圆的问题，归纳总结出不在同一条直线上的三点作圆的问题，得出重要结论“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．从而培养学生的探索精神，同时可以使学生体会 在这一过程中所体现的归纳思想．

确定圆的条件教案

　　在教学中，教师应指导学生自己去探索，与作直线类比，引出确定圆的条件问题，由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件．通过学生自己的亲身体验，再加上同学间的合作与交流，最后师生共同归纳总结便可轻松愉悦地完成 教学内容．

　　教学目标

　　（一）教学知识点

　　了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

　　（二）能力训练要求

　　1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．

　　2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决 数学问题的策略．

　　（三）情感与价值观要求

　　1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

　　2．学会与人合作 ，并能与他人交流思维的过程和结果．

　　教学重点

　　1．经历不在同一条直线上的三个 点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结 论．

　　2．掌握过不在同一条直线 上的三个点作圆的方法．

　　3．了解三角形的外接 圆、三角形的外心等概念．

　　教学难点

　　经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

　　教学方法

　　教师指导学生自主探索交流法．

　　教具准备

　　投影片三张

　　第一张：（记作§ 3．4 A）

　　第二张：（记作§ 3．4 B）

　　第三张：（记作§ 3．4 C）

　　教学过程

　　Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．

　　Ⅱ．新课讲解

　　1．回忆及思考

　　投影片（§ 3．4 A）

　　1．线段垂直平分线的性质及作法．

　　2．作圆的关键是什么？

　　[生]1．线段垂直平分线的

　　性质是：线段垂直平分线上的点

　　到线段两端点的距离相等．

　　作法：如右图，分别以A、B

　　为圆心 ，以大于 AB长为半径画弧，

　　在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．

　　[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么？

　　[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．

　　2．做一做（投影片§3．4 B）

　　（1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

　　（2）作圆，使它经过已知点A、B。你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

　　（3 ）作圆，使它经过已知点A、B、C（A、B、C三点不在同一条直线上）．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？

　　[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答．

　　[生]（1）因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个，如图（1）．

　　（2）已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离 相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点 的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的 圆有无数个．如图（2）．

　　（3）要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的'交点满足到A、B、C三点的 距离相等，就是所作圆的圆心．

　　因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

　　[师]大家的分析很有道理．究竟应该怎样找圆心呢？

　　3．过不在同一条直线上的三点作圆．

　　投影片（§3．4 C）

　　作法 图示

　　1．连结AB、BC

　　2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O

　　3．以O为圆心，O A为半径作圆⊙O就是所要求作的圆

　　他作的圆符合要求吗？与同伴交流．

　　[生]符合要求．

　　因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意 一点到A、B的距离相等，连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的交点O满足OA=OB=OC，因此这样的画法满足条件．

　　[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．

　　4．有关定义

　　由上可知，经过三角形的三个顶点可以

　　作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle of triangle）．这个三角：形叫这个圆的内接三角形．

　　外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（circumcenter）．

　　Ⅲ．课堂练习

　　已知锐角三角形、直角—三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点？

　　解：如下图．

　　锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

　　O为外接圆的圆心，即外心．

　　锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上， 钝角三角形的外心在三角 形的外部．

　　Ⅳ．课时小结

　　本节课所学内容如下：

　　1．经历 不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．

　　2．过不在同一条直线上的二个点作圆的方法．

　　3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．

　　Ⅴ．课后作业

　　习题3．6

　　Ⅵ．活 动与探究

　　如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

　　解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

　　板书设计

　　3。4确定圆的条件

　　一、1．回忆及思考（投影片§ 3．4 A）

　　2．做一做（投影片§ 3．4 B）

　　3．过不在同一条直线上的三点作圆

　　4．有关定义

　　二、课堂练习

　　三、课时小结

　　四、课后作业

理解直线与圆的位置关系第 2 篇

◆模式介绍

新课程理念坚持把“为了每个学生的发展”作为课堂教学改革的主旨．发现式教学模式是在老师的组织引导下，规范学生自主学习习惯，让学生在自学和交流中发现问题、解决问题，使学生积极主动地获取知识，并培养良好学习习惯的一种教学模式．

发现式教学通常包括以下六个教学环节：

激趣导学——目标导学——导思点拨——设问寻疑——诊断反馈——拓展延伸

◆设计说明

首先通过问题1创设配玻璃这个现实情境，不但能让学生回忆圆的定义及作圆的关键是确定圆心和半径，而且能激发学生的学习兴趣和探究欲望，为本节课研究“确定圆的条件”做好铺垫．问题2以问题串的形式引导学生由易到难地开展探究活动，从中探索确定圆的条件，培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想．问题3通过设问引出外接圆、外心等概念．问题4通过反证法证明在同一直线的三点不能确定一个圆，发展学生的辨析思维；追问的目的，一是检验学生学习状况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提升学生学习积极性.问题5旨在让学生利用前面解决问题的策略确定圆心的位置．

◆教材分析

本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第5节《确定圆的条件》的教学内容，本节课是在学生学习了“经过一点可以画无数条直线，经过两点有且只有一条直线，线段垂直平分线的性质”等知识之后，同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能的基础上进行的.主要研究确定圆的条件，并用尺规过不在同一条直线上的三点作圆．

本节内容的教学应该由易到难，让学生经历经过一点、两点、三点作出圆的过程，从中探索确定圆的条件．作图前，要引导学生通过思考明确这样的基本思想：作圆的问题实质上就是确定圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．

◆教学目标

【知识与能力目标】

1、了解不在同一直线的三点确定一个圆，会用尺规过不在同一直线上的三个点作圆．

2、了解三角形的外接圆、三角形的外心的概念．

【过程与方法】

在经过不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程中，让学生进一步体会解决数学问题的策略．

【情感态度与价值观】

在经过不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程中，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

◆教学重难点

【教学重点】

确定圆的条件．

【教学难点】

探索确定圆的条件．

◆课前准备

多媒体课件、教具等．

◆教学过程

【激趣导学】

问题1 （1）丁丁不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，丁丁应该带哪一块玻璃碎片去商店配制？

九年级数学下册第3章圆3.5确定圆的条件教案(新版)北师大版

九年级数学下册第3章圆3.5确定圆的条件教案(新版)北师大版

（2）商店配玻璃的师傅，要配制一块与原来大小一样的圆形玻璃，他必须要知道什么？为什么？

（3）作圆的关键是什么？

设计意图：通过创设配玻璃这个现实情境，不但能让学生回忆圆的定义及作圆的关键是确定圆心和半径，而且能激发学生的学习兴趣和探究欲望，为本节课研究“确定圆的条件”做好铺垫．

【目标导学】

学习目标：

1、经历探索过程，了解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”．

2、会过不在同一直线上的三个点作圆．

3、了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等概念．

设计意图：根据教材的实际需求把本节要完成的教学内容分解成3个由浅入深的小目标，最大限度的使学生动口、动手、动脑，把学习的主动权交给学生，让学生成为学习的主人，教师根据课堂教学现状加以适当的组织引导．

【导思点拨】

问题2 我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？动手画一画：

（1）作圆，使它经过已知点A．你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？

（2）作圆，使它经过已知点A、B．你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

（3）作圆，使它经过已知点A、B、C（A、B、C不在同一直线上）．你是如何做的？你能作出几个这样的圆？为什么？

结论：（1）以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．

九年级数学下册第3章圆3.5确定圆的条件教案(新版)北师大版

（2）经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB 的垂直平分线上．另一方面，线段AB的垂直平分线上的点到点A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．

···

（3）要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，两直线的交点到A、B、C三点的距离相等，即所作圆的圆心，利用尺规过不在同一直线上的三点作圆的方法如下：

理解直线与圆的位置关系第 3 篇

　　[关键词 “圆的标准方程”是人教版高中数学（必修）教材第二册的内容。 作为数学中的经典内容，学生在此前的数学学习中积累了大量的关于圆的经验与知识。 到了高中阶段，从方程的角度来描述圆，对学生的思维方式提出了新的挑战，从而本内容的教学也就成为高中数学教学中具有一定标杆意义的事件。 在日常教学中，笔者对本课的教学进行了深入的思考，现结合本课的教学设计，谈谈笔者对本课教学的研究与感受。

　　[教学内容分析

　　圆的标准方程在解析几何内容中具有重要的基础作用，同时具有承上启下的地位。 从知识构建的角度来看，圆的标准方程是其他图形方程学习的基础，也是二次曲线学习的起始知识，直线与圆的关系、圆锥曲线等知识，均需在此基础上进行构建。 从学生学习的角度来看，由于圆是学生研究最多的基本图形之一，因此学生对圆有着丰富的感性认识，也有着丰富的数学知识作为支撑，也因此对其标准方程的学习，可以打开学生学习其他曲线方程的思路，可以为后面知识的学习形成一种较高思维水平的定式作用（思维定式并不总是消极的，很多时候学生的学习之所以没有障碍，正是一定水平上的思维定式作用的结果）。 从这个角度讲，圆的标准方程这一节课的教学，需要花大气力进行基础作用的奠基。 但是需要看到的是，解析几何中对圆的研究，毕竟不同于学生此前的学习方式，尤其是通过方程来描述像圆这样的曲线，学生在思维方式上就有困难，这种困难往往会影响学生构建对圆的标准方程认识时的学习心理，因此在教学设计中需要重视这一因素。 从问题解决（数学知识应用）的角度来看，本课需要结合高考

　　要求，在让学生运用圆的标准方程解决数学问题及实际问题的过程中，形成一种良好的直觉，即对于一些基本的与之相关的问题，要能够在第一时间反映出其与圆的标准方程有关，需以之为工具实现问题的求解。 如上面所分析的一样，这种基础性的知识，只有成为良好的直觉，才能成为有效的解题工具。

　　结合基本的教学经验，在教学目标的确定上，笔者以为本课的内容可以在协调好三维目标的基础上具体制定这样的教学目标：

　　①掌握圆的标准方程，并能够根据圆的标准方程反映出圆心坐标与半径；

　　②在圆的标准方程建立的过程中形成数形结合思想，深刻体验用代数方法解决几何问题的过程；

　　③在用圆的标准方程描述圆的过程中体验数学的简洁美与对应美。 关于这样的目标界定，笔者重点解释一下第三个目标：从传统的角度看，情感态度价值观这一目标往往容易虚化，在实际教学中不容易得到真正的关注。 在笔者看来，就圆的标准方程这一教学而言，更实在的是让学生在对圆的图形的认识中发现其是最简洁的'基本图形之一，而描述其的标准方程亦具有对称、简洁的特征，认识到这两点即可，不需要追求过多、过空的所谓情感态度。

　　[教学方法分析

　　教学有法，教无定法，贵在得法！对于圆的标准方程这一内容而言，采用什幺样的教学方法，是教学中需要高度重视的问题。 结合笔者此前的教学经验，同时注意学生主体作用的发挥，笔者在此内容的教学中确定这样的两个教学方法：一是问题驱动（其中包括数学探究等环节），促进学生的数学建模；二是通过任务驱动的方法，促进学生应用圆的标准方程的知识解决问题。

　　对于这两个教学方法的确定，笔者的思考是这样的：一方面，本知识的基础性作用，决定了其在学生的考试评价中需要发挥重要作用，因此首先必须考虑到考试的需要，因而用问题驱动可以让学生不断地突破最近发展区，从而形成一种较好的数学思维方式与学习习惯。 教学经验表明，很多学生在数学学习中之所以感觉困难，就是因为没有一种良好的数学意识与思维习惯，而像圆的标准方程这样的基础性知识，必须成为培养学生数学意识与思维习惯的良好载体。 另一方面，任务驱动可以在问题驱动的基础上更好地发挥学生的内驱力，从而让圆的标准方程的运用能够真正成为学生的良好直觉，而这一思路其实也呼应了第一点对教学目标的阐述。

　　需要注意的是，教学方法的确定原则上只是宏观角度对学生学习过程预设基础上的，对教学行为判断的产物。 在具体的教学过程中还需要根据细节进行适当地调整，如果将教学方法（包括教学过程）模式化，那这样的教学方法确定是没有意义的。

　　[教学过程阐述

　　在圆的标准方法的教学设计中，笔者确定了这样的三个步骤，现结合教学过程具体说明：

　　第一步，创设情境，激活思维。 圆的标准方程在生活中的应用看起来并不那幺直接，因此情境的创设需要一定程度的思考。 笔者所选择的是汽车过隧道的例子，将隧道的截面抽象成一个半圆，给出其半径，然后提出问题：已知某车的宽度与高度，其能否进入这个隧道？这是一个被多人选用过的情境，其好就好在能够将圆的标准方程巧妙地蕴含其中，同时学生又可以在原有数学知识的基础上解决这个问题。

　　第二步，问题驱动，展开探究。 在上述问题的驱动之下，引导学生的思维对情境进行加工，并寻找问题解决的思路。 在教学过程中，笔者发现学生起初的思路是原有知识体系的产物，比如说有学生试图通过勾股定理，去算出汽车对角线的距离并与圆的半径进行对比。 这是一种思路，也能够体现学生的已有能力水平，从最近发展区的观点来看，教学中教师要做的就是从这个水平出发，让学生的思维向圆的标准方程发展。 于是，数学探究的过程也就展开了。 此时，教师可以抛出一个问题：能否以坐标为工具，来解决这个问题？在问题驱动下的探究过程中，学生的学习思路大致相同，他们首先要在坐标上建立起隧道与汽车两个对象（当然这是数学抽象的产物），然后将相关的数据记录其中，于是隧道被抽象为圆心在原点、具有一定半径的半圆，而汽车被抽象为一个已知长和宽的矩形。 于是实际问题也就成为一个纯粹的数学问题，最终学生要比较的也就是直角坐标上圆的半径与矩形对角线的长度的关系，而其中的难点又是圆的半径的确定。 于是学生的研究重点就转移到了坐标系的圆上来，这个时候教师进一步提出问题：如何在直角坐标系上描述一个圆呢？有此问题驱动，其后建立圆的标准方程与传统教学就接轨了，考虑到同行们相对熟稔，此不赘述。

　　第三步，变式训练，任务驱动。 这一步有两个任务，一是向学生提出问题，如果圆心不在原点处，那圆的标准方程如何建立？二是呼应此前的实际问题，并给出新的实际问题，以让学生具有一个运用圆的标准方程去解决不同难度实际问题的机会，从而形成良好的解题直觉。

　　在上述三个步骤中，关键在于学生思路的打开，也就是教学情境的创设与其的引导。 多年的教学经验让笔者意识到，很多时候学生感觉数学学习困难，并不完全是因为数学知识本身所谓的“难”上，而是学生入不了“境”，因而也就找不到“门”。 因此，创设情境非常重要，打开学生的思路亦很重要，有此两个环节作为基础，学生的思路一旦打开，后面的数学概念建构有时反而比较简单，本节课的教学就是如此。

　　[教学及其反思

　　反思本课的教学，尤其是将此次教学的整体过程与此前进行比较时，还是有所发现：

　　其一，数学内容的定位问题。 圆的标准方程在曲线方程中起着什幺样的作用？这样的问题此前没有仔细思考过，而一旦思考之后，就发现其在知识构建、能力形成乃至于数学意识与学习习惯形成方面都具有重要的作用，这种作用要想真正发挥出来，只能依靠好的教学设计。

　　其二，教学设计要在学生的基础与考试要求之间做好平衡，过于偏向前者，则满足不了考试要求；过于偏向后者，则学生的学习过程就是空中楼阁。 寻找这个平衡点，往往成为评价教师教学能力的关键，同时也是教师自身专业成长的着力点。

　　其三，数学意识是数学教学的重要方向。 笔者在圆的标准方程的教学中，注意比较过数学成绩好与差学生的表现，结果发现数学学得好的学生，他们往往有一个极好的直觉，能够迅速地判断出数学学习的下一步方向，而学困生就缺乏这样的意识。 有此观察之后，笔者还注意研究过数学进步较快的学生的学习特点，发现他们的数学意识也挺好，这就使笔者确信数学意识的培养很重要。

理解直线与圆的位置关系第 4 篇

知识点：

知识点1：过三点的圆。

由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。

探索1：作圆，使它经过已知点A

由于所求的圆的圆心和半径都没有限制，因此，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点（圆心）与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个。

探索2：作圆，使它经过A，B两点。

要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点A、B距离相等的点为圆心。所以只要以线段AB为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与A或B的距离为半径长，就可以作出要求作的圆，这样的圆也有无数个。

探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。

作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。因此符合这样条件的点是唯一的，而半径也是唯一的。所以这样的圆是唯一的。

结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。

视频教学：

练习：

1．给定下列图形可以确定一个圆的是（

　　）

A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点

2．下列说法正确的是（

　　）

A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦

C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等

3.如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在(

　　)

A.△ABC的三边高线的交点P处

B.△ABC的内角平分线的交点P处

C.△ABC的三边中线的交点P处

D.△ABC的三边垂直平分线的交点P处

4.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(

　　)

A.点P B.点Q C.点R D.点M

5.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都相等，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D(点D与点A，B，C均不重合)有(

　　)

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

课件：