高中不等式经典题型

这是高中不等式经典题型，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中不等式经典题型第 1 篇

　　课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时)

　　教学目标：

　　1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。

　　2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。

　　3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力;培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。

　　教学重点：作差比较大小的方法;不等式的性质。

　　教学难点：不等式的性质的运用

　　教学过程：

　　第1课时：

　　问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多?

　　分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。

　　研究比较大小的依据：

　　我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的.。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

　　在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么ab。

　　而a-b表示a减去b所得的差，由于ab，则差是一个正数，即a-b0。

　　命题：若ab，则a-b成立;逆命题若a-b0，则a也正确。

　　类似地：若a

　　结论：(1)b 则a-b

　　(2)a=b则a-b=0

　　(3)a

　　正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数;(2) 正数乘正数是正数;(3) 正数乘负数是负数;(4) 负数乘负数是正数。

　　研究不等式的性质：

　　性质1：若ab，bc，则ac (不等式的传递性)

　　证明：∵ab a-b0

　　∵bc b-c0

　　(a-b)+(b-c)=a-c0 (正负数运算性质)

　　则ac

　　反思：证明要求步步有据。

　　性质2：若ab，则a+cb+c (不等式的加法性质)

高中不等式经典题型第 2 篇

【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式 的应用 【教学难点】 利用基本不等式 求最大值、最小值。 【教学过程】 1.课题导入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么 3.我们称 的算术平均数，称 的.几何平均数. 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。 2.讲授新课 例1 (1)已知m>0,求证 。 [思维切入]因为m>0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。 [证明]因为 m>0,，由基本不等式得 当且仅当 =，即m=2时，取等号。 规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和 =144为定值的前提条件。 (2) 求证: . [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 当且仅当 =a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 3.随堂练习 1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 2．课本第101页的练习4,习题3. 4.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 5.作业设计 课本第101页习题[A]组的第2、4题

高中不等式经典题型第 3 篇

　　教学目标:

　　通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.

　　知识与能力:

　　1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.

　　2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.

　　3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.

　　4.知道什么是不等式的解.

　　过程与方法:

　　1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.

　　2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.

　　3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

　　4.通过习题巩固和加深对概念的理解.

　　情感、态度与价值观:

　　1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，从而培养其抽象思维能力.

　　2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.

　　3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.

　　4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，体验教学活动充满着探索性和创造性.

　　教学重、难点及教学突破

　　重点:不等式的概念和不等式的解的概念.

　　难点:对文字表述的数量关系能列出不等式.

　　教学突破:由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处.在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.

　　教学过程：

　　一.研究问题：

　　世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?

　　那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢

　　二.新课探究：

　　分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票?②若x<30,则又该如何买票呢?

　　结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?

　　概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,<,≥,≤.

　　2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

　　3、不等式的分类：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.

　　⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

　　三.基础训练.

　　例1、用不等式表示：⑴a是正数;⑵b不是负数;⑶c是非负数;⑷x的平方是非负数;⑸x的一半小于-1;⑹y与4的和不小于3.

　　注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;

　　⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.

　　例2、用不等式表示：⑴a与1的`和是正数;⑵x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.

　　例3、当x=2时，不等式x-1<2成立吗?当x=3呢?当x=4呢?

　　注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.

　　学生练习：课本P42练习1、2、3.

　　四.能力拓展

　　学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上(含50人)的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.

　　⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;

　　⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.

　　解：⑴按实际45人购票需付钱_________ 元，如果按50人购买团体票则需付钱50×12×80%=480元，所以购买团体票便宜.

　　⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，

　　由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：

　　x12x比较480与12x的大小48<12x成立吗?

　　30

　　40

　　41

　　42

　　由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.

　　五.小结:

　　⑴不等式的定义，不等式的解.

　　⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.

　　六.作业:课本P42习题8.1第1、2、3题.

　　补充题：

　　1.用不等式表示：

　　(1)与1的和是正数;(2)的与的的差是非负数;

　　(3)的2倍与1的和大于3;(4)的一半与4的差的绝对值不小于.

　　(5)的2倍减去1不小于与3的和;(6)与的平方和是非负数;

　　(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)减去5的差的绝对值不大于

　　2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元，小张存了85元.下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?(试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题1的探索，找出所列不等式的解)

　　3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元，(1)设从乙仓库调往A县农用车辆，用含的代数式表示总运费W元;(2)请你用尝试的方法，探求总运费不超过900元，共有几种调运方案?你能否求出总运费最低的调运方案.

高中不等式经典题型第 4 篇

　　活在当下，抓住机遇，方能限度的取得最大的成功。

　　人最大的敌人是自己，人最容易的是养成一个坏的习惯，最难的是养成一个好的习惯。最难的.是与自己和坏习惯进行斗争。

　　光阴似流水，夜以继日的奔流，像赴一下没有归期的约会，时间如飞鸟，时刻惊飞而起。一去不复返而我们在这间已经不知不觉的养成了一些习惯。人性的坏习惯往往是隐而不露的，他可以在你警惕的时候潜伏下来。可以在你放松的时候，狡猾的冒出来。有时一个坏习惯对一个单个的人来说，这是人一生的命运，对一个民族来说就关系到兴衰存亡了。如果说你不信，让我为你说一个故事吧。有一个老板。与外商洽谈业务，业务谈判很成功，准备用完餐就签合同，可这位老板在用餐时，牙缝里不小心有了碎屑，就有牙签剔起来，还不时的把碎屑乱吞一气。这一切被外商看在眼里，最终外商找了一个合适的理由放弃了这次签约。就是这么一个坏的习惯，使他丢失了一桩大生意。而一个好的习惯可以挽救一个人的生命。在美国的机场有一架飞机刚起飞。就发生了机械故障，引起飞机爆炸，据当时报道"机上的人生还的机遇很小。"然而机上的108人，只有18人遇难，你想知道为什么吗？让我来告诉你吧，因为他们都井然有序的排队。从这两个故事可以体现出，一个好的习惯成就一生，甚至挽救生命。而一个坏的习惯废人一生。虽然都是习惯，但它们是不等的。就如一个不等式。

　　习惯好比种子，能开出香花，也能长成毒草。培养一种习惯，收获一种性格。培养一种性格，收获一种命运。习惯是从小培养起来的，但如果你想改，还是来提及的，因为人生从定数，在这个世界上，只有你主动放弃不改习惯，没有你改不了的习惯。希望我们每个人都从今天做起。养成一个好的习惯。