平行线判定与性质口诀

这是平行线判定与性质口诀，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平行线判定与性质口诀第1篇

¤ 最简根式的条件

最简根式三条件，

号内不把分母含，

幂指（数）根指（数）要互质，

幂指比根指小一点。

¤ 特殊点的坐标特征

坐标平面点（x，y），横在前来纵在后；

（＋，＋），（－，＋），（－，－）和（＋，－），四个象限分前后；

x轴上y为0，x为0在y轴。

¤ 象限角的平分线

象限角的平分线，

坐标特征有特点，

一、三横纵都相等，

二、四横纵确相反。

¤ 平行某轴的直线

平行某轴的直线，

点的坐标有讲究，

直线平行x轴，纵坐标相等横不同；

直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧。

¤ 对称点的坐标

对称点坐标要记牢，

相反数位置莫混淆，

x轴对称y相反，

y轴对称，x前面添负号；

原点对称最好记，

横纵坐标变符号。

¤ 自变量的取值范围

分式分母不为零，

偶次根下负不行；

零次幂底数不为零，

整式、奇次根全能行。

¤ 函数图象的移动规律

若把一次函数解析式写成y＝k（x＋0）＋b，二次函数的解析式写成y＝a（x＋h）2＋k的形式，则可用下面的口诀：

左右平移在括号，

上下平移在末稍，

左正右负须牢记，

上正下负错不了。

¤ 一次函数的图象与性质的口诀

一次函数是直线，图象经过三象限；

正比例函数更简单，经过原点一直线；

两个系数k与b，作用之大莫小看，

k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

k为正来右上斜，x增减y增减；

k为负来左下展，变化规律正相反；

k的绝对值越大，线离横轴就越远。

¤ 二次函数的图象与性质的口诀

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象现；

开口、大小由a断，c与y轴来相见，

b的符号较特别，符号与a相关联；

顶点位置先找见，y轴作为参考线，

左同右异中为0，牢记心中莫混乱；

顶点坐标最重要，一般 式配方它就现，

横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，

一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

¤ 反比例函数的图象与性质的口诀

反比例函数有特点，双曲线相背离得远；

k为正，图在一、三（象）限，

k为负，图在二、四（象）限；

图在一、三函数减，两个分支分别减。

图在二、四正相反，两个分支分别增；

线越长越近轴，永远与轴不沾边。

¤ 巧记三角函数定义

初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的.

一句话记定义：

一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：“正对鱼磷（余邻）直刀切。

”正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边．

¤ 三角函数的增减性

正增余减

¤ 特殊三角函数值记忆

首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。

¤ 平行四边形的判定

要证平行四边形，两个条件才能行，

一证对边都相等，或证对边都平行，

一组对边也可以，必须相等且平行。

对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，

对角相等也有用，“两组对角”才能成。

¤ 梯形问题的辅助线

移动梯形对角线，两腰之和成一线；

平行移动一条腰，两腰同在“△”现；

延长两腰交一点，“△”中有平行线；

作出梯形两高线，矩形显示在眼前；

已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

¤ 添加辅助线歌

辅助线，怎么添？

找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；

线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线；

三角形中有中线，延长中线翻一番。

¤ 圆的证明歌

圆的证明不算难，常把半径直径连；

有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；

直径是圆最大弦，直圆周角立上边，

它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；

还有与圆有关角，勿忘相互有关联，

圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连；

同弧圆周角相等，证题用它最多见，

圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；

圆有内接四边形，对角互补记心间，

外角等于内对角，四边形定内接圆；

直角相对或共弦，试试加 个辅助圆；

若是证题打转转，四点共圆可解难；

要想证明圆切线，垂直半径过外端，

直线与圆有共点，证垂直来半径连，

直线与圆未给点，需证半径作垂线；

四边形 有内切圆，对边和等是条件；

如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，

两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

¤ 圆中比例线段

遇等积，改等比，横找竖找定相似；

不相似，别生气，等线等比来代替，

遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

平行线，转比例，两端各自找联系。

¤ 正多边形诀窍歌

份相等分割圆，n值必须大于三，

依次连接各分点，内接正n边形在眼前。

经过分点做切线，切线相交n个点。

n个交点做顶点，外切正n边形便出现。

正n边形很美观，它有内接、外切圆，

内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，

它的图形轴对称，n条对称轴 都过圆心点，

如果n值为偶数，中心对称很方便。

正n边形做计算，边心距、半径是关键，

内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，

分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。

¤ 函数学习口决

正比例函数是直线，图象一定过原点，

k的正负是关键，决定直线的象限，

负k经过二四限，x增大y在减，

上下平移k不变，由引得到一次线，

向上加b向下减，图象经过三个限，

两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，

正k落在一三限，x增大y在减，

图象上面任意点，矩形面积都不变，

对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，

a的正负开口判，c的大小y轴看，

△的符号最简便，x轴上数交点，

a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，

顶点牵着图象转，三种形式可变换，

配方法作用最关键。

平行线判定与性质口诀第2篇

　　一、最简根式的条件

　　最简根式三条件，

　　号内不把分母含，

　　幂指(数)根指(数)要互质，

　　幂指比根指小一点。

　　二、特殊点的坐标特征

　　坐标平面点(x，y)，横在前来纵在后;

　　(+，+)，(-，+)，(-，-)和(+，-)，四个象限分前后;

　　x轴上y为0，x为0在y轴。

　　三、象限角的平分线

　　象限角的平分线，

　　坐标特征有特点，

　　一、三横纵都相等，

　　二、四横纵确相反。

　　四、平行某轴的直线

　　平行某轴的直线，

　　点的坐标有讲究，

　　直线平行x轴，纵坐标相等横不同;

　　直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧。

　　五、对称点的坐标

　　对称点坐标要记牢，

　　相反数位置莫混淆，

　　x轴对称y相反，

　　y轴对称，x前面添负号;

　　原点对称最好记，

　　横纵坐标变符号。

　　六、自变量的取值范围

　　分式分母不为零，

　　偶次根下负不行;

　　零次幂底数不为零，

　　整式、奇次根全能行。

　　七、函数图象的移动规律

　　若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b，二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则可用下面的`口诀

　　左右平移在括号，

　　上下平移在末稍，

　　左正右负须牢记，

　　上正下负错不了。

　　八、一次函数的图象与性质的口诀

　　一次函数是直线，图象经过三象限;

　　正比例函数更简单，经过原点一直线;

　　两个系数k与b，作用之大莫小看，

　　k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

　　k为正来右上斜，x增减y增减;

　　k为负来左下展，变化规律正相反;

　　k的绝对值越大，线离横轴就越远。

　　九、二次函数的图象与性质的口诀

　　二次函数抛物线，图象对称是关键;

　　开口、顶点和交点，它们确定图象现;

　　开口、大小由a断，c与y轴来相见，

　　b的符号较特别，符号与a相关联;

　　顶点位置先找见，y轴作为参考线，

　　左同右异中为0，牢记心中莫混乱;

　　顶点坐标最重要，一般 式配方它就现，

　　横标即为对称轴，纵标函数最值见。

　　若求对称轴位置，符号反，

　　一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

　　十、反比例函数的图象与性质的口诀

　　反比例函数有特点，双曲线相背离得远;

　　k为正，图在一、三(象)限，

　　k为负，图在二、四(象)限;

　　图在一、三函数减，两个分支分别减。

　　图在二、四正相反，两个分支分别增;

　　线越长越近轴，永远与轴不沾边。

　　十一、巧记三角函数定义

　　初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用/隔开，再用下面的.

　　十二、一句话记定义

　　一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话“正对鱼磷(余邻)直刀切。

　　”正正弦或正切，对对边即正是对;余余弦或余弦，邻邻边即余是邻;切是直角边.

　　十三、三角函数的增减性

　　正增余减

　　十四、特殊三角函数值记忆

　　首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。

　　十五、平行四边形的判定

　　要证平行四边形，两个条件才能行

　　，一证对边都相等，或证对边都平行，

　　一组对边也可以，必须相等且平行。

　　对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，

　　对角相等也有用，“两组对角”才能成。

　　十六、梯形问题的辅助线

　　移动梯形对角线，两腰之和成一线;

　　平行移动一条腰，两腰同在“△”现;

　　延长两腰交一点，“△”中有平行线;

　　作出梯形两高线，矩形显示在眼前;

　　已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

　　十七、添加辅助线歌

　　辅助线，怎么添?

　　找出规律是关键，题中若有角(平)分线，可向两边作垂线;

　　线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线;

　　三角形中有中线，延长中线翻一番。

　　十八、圆的证明歌

　　圆的证明不算难，常把半径直径连;

　　有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;

　　直径是圆最大弦，直圆周角立上边，

　　它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;

　　还有与圆有关角，勿忘相互有关联，

　　圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连;

　　同弧圆周角相等，证题用它最多见，

　　圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;

　　圆有内接四边形，对角互补记心间，

　　外角等于内对角，四边形定内接圆;

　　直角相对或共弦，试试加 个辅助圆;

　　若是证题打转转，四点共圆可解难;

　　要想证明圆切线，垂直半径过外端，

　　直线与圆有共点，证垂直来半径连，

　　直线与圆未给点，需证半径作垂线;

　　四边形 有内切圆，对边和等是条件;

　　如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，

　　两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

　　十九、圆中比例线段

　　遇等积，改等比，横找竖找定相似;

　　不相似，别生气，等线等比来代替，

　　遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

　　平行线，转比例，两端各自找联系。

　　二十、正多边形诀窍歌

　　份相等分割圆，n值必须大于三，

　　依次连接各分点，内接正n边形在眼前。

　　经过分点做切线，切线相交n个点。

　　n个交点做顶点，外切正n边形便出现。

　　正n边形很美观，它有内接、外切圆，

　　内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，

　　它的图形轴对称，n条对称轴 都过圆心点，

　　如果n值为偶数，中心对称很方便。

　　正n边形做计算，边心距、半径是关键，

　　内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，

　　分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。

　　二十一、函数学习口决

　　正比例函数是直线，图象一定过原点，

　　k的正负是关键，决定直线的象限，

　　负k经过二四限，x增大y在减，

　　上下平移k不变，由引得到一次线，

　　向上加b向下减，图象经过三个限，

　　两点决定一条线，选定系数是关键。

　　二十二、反比例函数双曲线

　　待定只需一个点，

　　正k落在一三限，x增大y在减，

　　图象上面任意点，矩形面积都不变，

　　对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

　　二十三、二次函数抛物线

　　选定需要三个点，

　　a的正负开口判，c的大小y轴看，

　　△的符号最简便，x轴上数交点，

　　a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，

　　顶点牵着图象转，三种形式可变换，

　　配方法作用最关键。

平行线判定与性质口诀第3篇

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

平行线判定和性质

教学目的：

1. 会认由三线八角所成的同位角，内错角，同旁内角

2. 掌握平行公理及其推论

3. 掌握并能较灵活应用平行线的判定方法和性质

教学重点和难点：

重点：平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。

难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分 ②掌握推理论证的格式。

教学中体现出的重要的数学思想：

1. 数形结合的思想：把计算、推理与图形结合起来，以形辅算，以算辅形的思想。

2. 方程的思想：利用方程（组）求解未知量的思想。

教学中学生应注意培养的主要数学能力：

1. 空间想象能力：从培养自己观察几何图形的位置关系的能力入手，逐步提高自己认图能力和抽象、概括几何概念的能力，从而培养自己的空间想象能力。

2. 运算能力：通过几何计算，在熟练技能的基础上，培养运算能力。

3. 逻辑推理能力：在初步掌握推理技能的基础上，逐步培养自己灵活运用各种推理形式的能力。

4. 思维能力：在本章的学习中，要从几何语言能力的培养入手，在文字语言，符号语言，图形语言的相互转化训练中，逐步规范自己的思维模式，为发展自己的思维能力打下好的基础。

几何证明题的基本结构和方法： 常用三种方法：一种方法是从结论入手，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，有时也用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，最后一种方法也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的入手点。

教学过程：

［知识点总结］

一、三线八角：

直线AB、CD被直线EF所截，如图所示

1）同位角：1和5这两个角分别在直线AB、CD的上方，都在直线EF的同一侧。还有：2和6、4和8、3和7

2）内错角：4和6这两个角都在直线AB、CD之间，并且在EF的两侧。还有3和5

3）同旁内角：4和5这两个角在直线AB、CD之间，在EF的同一旁。还有3和6

二、平行线的定义、性质和判定

1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

记作：∥

2. 平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

公理的推论：（平行的传递性）

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

*∥，∥

*∥

3. 平行线的判定：如图所示：

（1）判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

AB∥CD

（2）判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

AB∥CD

（3）判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

AB∥CD

4. 平行线的性质（如上图）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等

AB∥CD

（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等

AB∥CD

（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

*AB∥CD

【典型例题】

例1：找出下图中互相平行的直线，并说明理由。

答：同位角相等

例2：（1）如下图，∵∠1＝∠2

∴ AC ∥ DE ， 内错角相等，两直线平行

∵∠2＝ ∠4

∴ DE ∥ FG ，同位角相等，两直线平行

∵∠3＋∠4＝180°

∴ DE∥ FG ，同旁内角互补，两直线平行

∴AC∥FG， 平行于同一直线的两直线平行

（2）如下图，∵DE∥BC

∴∠2＝ ∠4 ， 两直线平行，内错角相等

∴∠B＋ ∠5 ＝180°，两直线平行，同旁内角互补

∵∠B＝∠4

∴ AB∥ EF ， 同位角相等两直线平行

∴ ∠B＋ ∠3 ＝180°，两直线平行，同旁内角互补

例3：已知如图，AB//CD，∠1＝∠3，求证：AC//BD。

分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，因为AB//CD，所以可知∠1＝∠2，又因为∠1＝∠3，可推出∠2＝∠3，能判定AB与CD平行。

也可以从求证入手，要求证AC//CD，需要求出∠2＝∠3，因为平行线的性质得出∠1＝∠2，已知∠1＝∠3，利用等量代换即可。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠3（已知）

∴∠2＝∠3（等量代换）

∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）。

例4：已知如图，AB//CD，AC//BD，求证：∠1＝∠3。

分析：因为∠1和∠3的位置不能构成同位角或内错角，也不是同旁内角，因此不可能利用题设中的平行直线关系，经过一次推理得到结论。需要找出一个间接的量就是∠2，由图形中∠1与∠2是内错角位置。而∠2与∠3是同位角位置，再通过等角进行转化。

若从条件入手，平行可以得出很多结论，在其中选出与求证的角有关的结论，找到结论之间的关系，从而得证。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

又∵AC//BD（已知）

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）

∴∠1＝∠3（等量代换）

例5：已知如图∠1＝∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD。

分析：从条件入手分析，利用平分线得到等角，利用等量代换求出∠1＝∠3，再根据平行线的判定得出平行关系，或从结论入手也可以。

证明：∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠2＝∠3（角平分线定义）

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1＝∠3（等量代换）

∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。

例6：已知如图，AB//CD，∠1＝∠2，求证：BD平分∠ABC。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD平分∠ABC（角平分线定义）

注意：1）要证明角平分线，必须通过证明角相等得出。

2）当条件和结论交换时，注意只能运用已知条件推出未知的结论。

例7：如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：∠1＝∠7。

分析：运用综合法来分析此题，证明思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行推出其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。只要证明a//c即可。

法（1）证明：∵d是直线（已知）

∴∠1＋∠4＝180°（平角定义）

∵∠2＋∠3＝180°，∠1＝∠2（已知）

∴∠3＝∠4（等角的补角相等）

∴a//c（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝∠7（两直线平行，同位角相等）

法（2）证明：∵∠2＋∠3＝180°，∠1＝∠2（已知）

∴∠1＋∠3＝180°（等量代换）

∵∠5＝∠1，∠6＝∠3（对顶角相等）∴∠5＋∠6＝180°（等量代换）

∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠7（两直线平行，同位角相等）。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 判断题：（每小题3分，共24分）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （ ）

（2）如果直线∥，那么∥ （ ）

（3）两条直线平行，同旁内角相等； （ ）

（4）邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直 （ ）

2. 选择题：

（1）如图，如果AD∥BC，则有

①∠A＋∠B＝180° ②∠B＋∠C＝180° ③∠C＋∠D＝180°

上述结论中正确的是（ ）

A. 只有① B. 只有② C. 只有③ D. 只有①和③

（2）如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（ ）

A. ∠1＋∠2 B. ∠2－∠1

C. 180°－∠2 ＋∠1 D. 180°－∠1＋∠2

（3）如果直线∥，∥，那么∥。这个推理的依据是（ ）

A. 等量代换 B. 平行公理

C. 两直线平行，同位角相等

D. 平行于同一直线的两条直线平行

3. 填空：（每空1分，共16分）

（1）如图，∠3与∠B是直线AB、______被直线______所截而成的______角；∠1与∠A是直线AB、______被直线______所截而成的______角；∠2与∠A是直线AB、______被直线______所截而成的______角。

（2）已知：如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD。

求证：EG∥FH

证明：∵ AB∥CD（已知）

∴ ∠AEF＝∠EFD （______）

∵ EG平分∠AEF，FH平分∠EFD（______），

∴∠______＝∠AEF，

∠______＝∠EFD（角平分线定义）

∴∠______＝∠______

∴ EG∥FH（______）

4. 已知：如图，∠1＝35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O。求∠2、∠3、∠4的度数。（10）

5. 已知：如图，直线EF与AB、CD分别相交于点G、H，∠1＝∠3。求证：AB∥CD。（10分）

6. 已知：如图，AB∥CD，BE∥CF。求证：∠1＝∠4。（10分）

7. 已知：如图，BE∥DF，∠B＝∠D。求证：AD∥BC。（10分）

【试题答案】

1. （1）×（2）×（3）×（4）√

2. （1）D（2）C（3）D

3. （1）CE，BD，同位；BD，AC，同旁内；CE，AC，内错

（2）两直线平行，内错角相等；已知；GEF；EFH；GEF；EFH；内错角相等，两直线平行

4. ∠2＝145° ∠3＝35° ∠4＝55°

5. 证明：∵∠1＝∠GHD，∠3＝∠AGH（对顶角相等），

∠1＝∠3（已知），

∴∠AGH＝∠GHD

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

6. 证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC＝∠BCD（两条直线平行，内错角相等）

∵BE∥CF（已知）

∴∠2＝∠3（两条直线平行，内错角相等），

∵∠ABC＝∠1＋∠2，∠BCD＝∠3＋∠4，

∴∠1＝∠4

7. 证明：∵BE∥DF（已知）

∴∠D＝∠EAD（两条直线平行，内错角相等），

∵∠B＝∠D（已知），

∴∠B＝∠EAD

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）