《中位线》教案

这是《中位线》教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　1.中位线概念

　　(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

　　(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

　　注意：

　　(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

　　(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

　　(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

　　2.中位线定理

　　(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

　　如图，三角形两边中点的连线(中位线)平行于第BC边，且等于第三边的一半。

　　三角形的中位线所构成的小三角形(中点三角形)面积是原三角形面积的四分之一。

　　证明

　　如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

　　中位线证明

　　求证DE平行且等于BC/2

　　法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

　　∵CF∥AD

　　∴∠A=∠ACF

　　∵AE=CE、∠AED=∠CEF

　　∴△ADE≌△CFE

　　∴AD=CF

　　∵D为AB中点

　　∴AD=BD

　　∴BD=CF

　　∴BCFD是平行四边形

　　∴DF∥BC且DF=BC

　　∴DE=BC/2

　　∴三角形的中位线定理成立.

　　法二：利用相似证

　　∵D，E分别是AB，AC两边中点

　　∴AD=AB/2 AE=AC/2

　　∴AD/AE=AB/AC

　　又∵∠A=∠A

　　∴△ADE∽△ABC

　　∴DE/BC=AD/AB=1/2

　　∴∠ADE=∠ABC

　　∴DF∥BC且DE=BC/2

　　法三：坐标法：

　　设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

　　则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

　　另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

　　这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

　　最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

　　三角形中位线定理的的逆定理

　　逆定理一：

　　如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

　　逆定理二：

　　如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

　　【证法①】

　　取AC中点G ，联结DG

　　则DG是三角形ABC的中位线

　　∴DG∥BC

　　又∵DE∥BC

　　∴DG和DE重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合)

　　(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

　　中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。

　　性质

　　梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .梯形

　　中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.

　　L=(a+b)÷2

　　已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积.

　　S梯=Lh

　　中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

　　证明

　　四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD边上的中点，求证：EF∥AD，且EF=(AD+BC)/2

　　证明：

　　梯形中位线

　　连接AF并延长交BC的延长线于G。

　　∵AD∥BC

　　∴∠ADF=∠GCF

　　∵F是CD的中点

　　∴DF=FC

　　∵∠AFD与∠CFG是对顶角

　　∴∠AFD=∠CFG

　　∴△ADF≌△CGF(ASA)

　　∴AF=FG，AD=CG

　　∴F是AG的中点

　　∵E是AB的中点

　　∴EF是△ABG的中位线

　　∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

　　∴EF=(AD+BC)/2

　　∵AD∥BC

　　∴EF∥AD∥BC

　　3.扩展

　　三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。