《相似三角形的判定》教研教案

这是《相似三角形的判定》教研教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　【教学目标】

　　1、能说出三角形相似的判定定理1和直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似的重要结论;

　　2、会用三角形相似的判定定理1和重要结论来证明有关问题;

　　3、通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，使学生进一步领悟类比的思想方法。

　　4、通过解题的引申练习，培养学生练习后反思的好习惯。

　　【重点和难点】

　　理解相似三角形的判定定理1和重要结论，并能用其来解决有关问题

　　【教 具】

　　三角板、量角器、多媒体设备

　　【教学设计】

　　一、复习旧知识，运用类比的思想方法引导学生提出问题

　　1、什么叫相似三角形?怎么表示?

　　(在学生回答完后，教师总结)对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。(注意：三角形相似不一定限定在两个三角形之间，可以是两个以上，但不能是一个。)表示：如果?ABC与?A'B'C'相似，则记作?ABC∽?A'B'C'.

　　用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且，∴?ABC∽?A'B'C'.

　　注意：与三角形全等的书写类似，表示对应角的字母顺序需要一样

　　2、上节课我们还学习了一个判定两三角形相似的定理，哪位同学能说说?

　　学生回答完之后投影：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

　　3、除了用定义和上面的定理来判定三角形相似外，还有什么方法可判定两个三角形相似?我们知道判定两个三角形全等的方法有“AAS”、“ASA”、“SAS”、

　　“SSS”、“HL”等，那么类似地，判定两个三角形相似还有哪些方法?今天我们开始来研究这个问题。

　　二、(新课)师生共同解决问题

　　问题：如图(4)所示，在?ABC与?A'B'C'中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，试猜想：?ABC与?A'B'C'是否相似?并证明你猜的结论。

　　让学生思考讨论，从图形的外观，绝大多数学生会猜这两个三角形相似。结论的证明以教师讲授为主，并引导学生思考：根据题设条件，难于用定义来证明，因为用定义来证明需要的条件较多，所以不妨考虑用定理来证明。为此，需要构造出符合定理条件的图形：在?ABC中，作BC的平行线，且在?ABC中截得的三角形与?A'B'C'又有着非常紧密的联系(全等)，这样师生共同分析，完成证明。教师把证明过程投影到屏幕。

　　证明：在?ABC 的边AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有

　　?ADE∽?ABC.

　　∵∠ADE=∠B， ∠B=∠B'，

　　∴ ∠ADE=∠B'.

　　又∠A=∠A' ，AD=A'B'，

　　∴ ?ADE≌ ?A'B'C'.

　　∴?ABC ∽ ?A'B'C'.

　　告诉学生，如图(5)、图(6)这样作辅助线也可以证明这个问题。

　　最后师生共同归纳，得出结论：(投影)

　　判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应相等，两三角形相似.

　　用数学符号表示这个定理：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴?ABC∽?A'B'C'.

　　(让学生说，最后教师板书即投影)

　　对于三角形来说，有两个角对应相等意味着三个角都对应相等。

　　三、应用举例，变式练习

　　例1：已知：?ABC和?DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°，求证：?ABC∽?DEF.

　　让学生运用本节学习的定理自己证明，然后教师总结并且把证明过程投影到屏幕。

　　证明：∵在?ABC中，∠A=40°，∠B=80°

　　∴∠C=180°- 40°- 80°=60°

　　∵在?DEF中，∠E=80°，∠F=60°

　　∴∠B=∠E，∠C=∠F

　　∴?ABC∽?DEF(两角对应相等，两三角形相似).

　　课堂练习(投影)

　　1、应用这节课学的判定定理1判定下列三角形中哪些是相似的?哪些不是相似的?相似的用线段把它们联起来.

　　例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

　　说明：在教师的引导下，先由学生自己作出图形，并写出已知、求证、证明.

　　然后教师总结并给出解答参考：

　　已知：如图(7)， ?ABC中，CD是斜边上的高.

　　求证：?ABC∽?CBD∽?ACD.

　　证明：∵∠B=∠B，

　　∠CDB=∠ACB=90°，

　　∴?ABC∽?CBD

　　(两角对应相等，两三角形相似).

　　同理 ?ABC∽?ACD.

　　∴?ABC∽?CBD∽?ACD.

　　(最后告诉学生，以后可以直接用例2的结论来判定直角三角形相似.)

　　课堂练习(投影)

　　2、判断题：

　　(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。 ( )

　　(2)两个等腰直角三角形是相似三角形。 ( )

　　(3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。 ( )

　　(4)两个直角三角形一定是相似三角形。 ( )

　　(5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。 ( )

　　(6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。 ( )

　　(7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。 ( )

　　(8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似。( )

　　(9)所有的正三角形都相似。 ( )

　　(10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. ( )

　　3、填空：(填上“不”、“不一定”或“一定” )

　　两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似;如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似.

　　(提问：做完了就完了吗?然后引导学生在练习的过程中，养成反思的好习惯)

　　*引申：(即反思)已知当两个等腰三角形都有一个角为时，这两个等腰三角形一定相似，则 的取值范围是多少?(90°≤ <180°或 =60°)

　　分析：两种情况，一种是当等腰三角形的底角和顶角相等时，这时为等边三角形，结论是显然的;第二种是这时的取值要保证顶角和底角不出现相等的情况，这时必为顶角的度数。因为等腰三角形的底角不可能≥90°，而等腰三角形的顶角可为0°～180°之间的任意度数，所以只有当90°≤ <180°时， 才不至于有顶角和底角相等的情况(两个等腰三角形之间)。

　　4、如右图，

　　(1)若∠B=∠C，则 ?ABE∽?______;

　　?DBO∽?______.

　　*(2) 若∠B=∠C，且∠1=∠A，则图中相似三角形共有______对.

　　(因为这时出现4个三角形，它们之间任意两个都相似，所以这个问题可以归为：在平面上有4个点，在这4点任意两点联线段，共有多少条线段?更一般地，如果有n个点的话，则共有1+2+…(n-1)= 条)

　　(如还有时间，可再做几道练习)

　　四、小结

　　(教师可向学生提问：到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法?然后师生共同总结)

　　到目前为止我们学习了判定三角形相似的方法有：

　　1、定义法

　　2、 平行于三角形一边的直线的定理.

　　∵DE∥BC ∴?ADE∽?ABC

　　3、判定定理1

　　∵∠A=∠A'，∠B=∠B'

　　∴?ABC∽?A'B'C'

　　4、直角三角形的一个重要结论：

　　∵∠ACB=90°,CD⊥AB

　　∴?ABC∽?ACD∽?CBD

　　教研活动教案相似三角形判定 40° B C 80° A 65° D 65° 45° 70° E 45° 75° 40°