《锐角三角函数》教学设计

这是《锐角三角函数》教学设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　教学目标

　　知识与技能：理解正切的定义以及与现实生活的联系，能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算;

　　过程与方法：经历操作、观察、思考、求解等探索直角三角形中边角关系的过程，渗透函数思想与数形结合思想，培养理性思维习惯;

　　情感、态度与价值观：培养多角度思考问题和提出问题的能力以及合作意识与创新精神.

　　教学重难点

　　关键

　　重点: 理解锐角正切的概念，会将某些现实或数学问题转化到直角三角形中进行解决;

　　难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

　　关键:能从函数角度理解锐角的正切.

　　教学方法

　　引导-探究法

　　运用的

　　信息技术工具

　　硬件：班班通平台

　　软件：PPT, 鸿合软件,几何画板

　　教学设计思路

　　情境导入——探究新知——形成概念——应用巩固——

　　检测成果——小结反思——作业布置

　　教学过程

　　设计意图

　　时间安排

　　(一) 情境导入：

　　(师)PPT出示问题：

　　请同学们思考下列问题：

　　1.根据你的学习经验，说说Rt△ABC中存在着哪些关系?

　　2.你能否简述一下函数的概念及表示方法，并列举出已经学过的函数。

　　(生)在某个变化过程中，有两个变量x，y，如果给x一个值，y就有唯一确定值与他对应，那么x是自变量，y叫做x的函数;

　　函数有三种表示形式：解析式;图象法;表格法。

　　3.锐角三角函数到底是什么呢?它与直角三角形的边角关系又有什么联系呢?

　　(二)探究新知

　　(师)梯子是日常生活中常见的物体.人们常说梯子放的“陡”或放的“平缓”，“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?人们又是如何判断的?请同学们看下图，并回答问题.

　　多媒体演示：

　　(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

　　(生)从图中易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡;

　　因为AC=ED，所以只要比较BC，FD的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡.

　　(师)(多媒体演示)

　　(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

　　(师)观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?

　　(生)分组探究，合作交流

　　在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.

　　(师)请同学们算一下梯子AB和EF哪一个更陡

　　如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度;而小亮想如果一个人个子矮，够不着梯子顶端，可以通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?

　　(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

　　(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?

　　比值不变。

　　老师供助几何画板，进一步演示，角度不变，比值不随线段位置的变化而变化。

　　用几何画板演示：

　　继续用几何画板演示：当角度变化时，比值也在变化对于角度的一个值，都可以确定唯一的比值，比值是是角度的函数。

　　(三)形成概念

　　锐角的正切函数：

　　直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，便有如下定义：

　　(多媒体演示)

　　如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA= .

　　注意：

　　(1)tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.

　　(2)tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.

　　(3)tanA不表示“tan”乘以“A”.

　　(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切.

　　(师)提出问题，请学生思考：

　　(1)∠B的正切如何表示?它的数学意义是什么?

　　(2)梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?

　　(生)梯子越陡，tanA的值越大;反过来，tanA的值越大，梯子越陡.

　　(四)应用巩固

　　师：请同学们利用正切解决下面的问题：

　　例1.如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

　　(师)正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度.

　　如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tanα)就是tanα=

　　并提醒学生注意：区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.

　　例2.　在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为________.

　　例3.如图，某人从山脚下的点A走了130 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为50 m，求山的坡度.

　　(五)当堂检测

　　2.如图2是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )

　　A.1 B.1.5 C.2 D.3

　　(六)小结反思

　　(师)教师提问：

　　1.本节课是三角函数部分的第一节，我们学习了哪个三角函数?你是如何理解的?

　　2.锐角的正切主要是研究哪类三角形的边角关系?这类三角形中包含哪些关系?

　　3.学习本节课的内容是运用了什么数学思想方法?你的体会是什么?

　　(生)……

　　(七)作业布置

　　.课本P4习题1.1：1、2、3

　　通过提问，回顾曾经学过的知识,调动学生的思维，使学生的思维触角伸到直角三角形中来，学生会从直角三角形中两个锐角互余以及勾股定理(三边数量关系)这两个方面来回答，为本节乃至本章直角三角形边角关系的引入奠定基础使其产生认识冲突;

　　复习函数的概念、表示方法以及学过的函数模型，为学生从函数角度理解锐角的三角函数进行铺垫。

　　导入新课

　　借助对具体事物——梯子的“陡”、“缓”的描述，使学生从感性到理性等角度来刻画这一现象，让学生在独立思考的基础上，发表各自的意见。

　　利用直观，可使学生比较容易地认识到梯子与地面所成的角度越大，梯子越陡，角度越小，梯子越缓;

　　当梯子的顶端与地面距离(梯子的垂直高度)一定时，梯子底部离墙距离(梯子的水平宽度)越小，梯子越陡，距离越远，梯子越缓;

　　利用直观不易判断，使学生产生认知冲突;启发学生联系(1)的结论，探究出可以通过梯子的垂直高度与水平宽度的比值来判断梯子的陡或缓;将判断梯子的陡或缓的问题转化为计算比值，也就时由“看”转化为“算”即学生的思维由感性上升到理性。

　　使学生初步感受到角度与比值之间具有某种关系.

　　学生会用“算”来判断梯子的“陡”或“缓”,问题深入，为学生形成概念准备.

　　利用几何画板的度量与计算功能，以及动画功能，通过演示观察，可以使学生意识到：当角度确定时，比值不随点位置的变化而变化，角度与比值之间存在着对应关系。

　　继续用几何画板演示：使学生直观感受到当角度变化时，比值也在变化，比值是角度的一个函数，从而达到突破难点的目的。

　　正切概念的定义与分析，并使学生明确到三角函数定义方式的特殊性。

　　应用所学概念，解决应用问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

　　让学生先独立思考，再合作交流，从而解决问题。

　　使学生知道正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.培养学生用数学眼光认识世界，用数学方法解决实际问题。

　　让学生运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，并进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，加深学生对正切的理解，正切的前提是必须在直角三角形中.

　　当堂检测，及时反馈学习效果.

　　1.检测学生能否应用tanA的意义进行计算;

　　2.检测学生对坡度的理解能力;

　　3. 在直角坐标系中，利用射线OA与x轴夹角的正切来计算点的坐标

　　通过小结反思，让学生将本节知识进行梳理，并纳入到自己的知识体系中。

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　　板书设计