等差数列的概念教学设计一等奖

这是等差数列的概念教学设计一等奖，是优秀的教学设计一等奖文章，供老师家长们参考学习。

等差数列的概念教学设计一等奖第 1 篇

【教学目标】

　　知识目标：正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。

　　能力目标：通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯；通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。

　　情感目标：培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。

　　【教学重点】

　　等比数列定义的归纳及运用。

　　【教学难点】

　　正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列

　　【教学手段】

　　多媒体辅助教学

　　【教学方法】

　　启发式和讨论式相结合,类比教学.

　　【课前准备】

　　制作多媒体课件，准备一张白纸,游标卡尺。

　　【教学过程】

　　【导入】

　　复习回顾：等差数列的定义。

　　创设问题情境，三个实例激发学生学习兴趣。

　　1． 利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)

　　2． 一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。得到数列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。

　　3． 复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512.

　　学生探究三个数列的共同点，引出等比数列的定义。

　　【新课讲授】

　　由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义，再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件：等比数列各项均不为零，公比不为零。

　　等差数列:

　　一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的.差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示.数学表达式： an+1-an=d

　　等比数列:

　　一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q表示.数学表达式： an?1

　　an?q

　　知晓定义的基础上，带领学生看书p29页，书上前面出现的关于等比数列的实

　　例。让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛，要认真学好。

　　在学生对等比数列的定义有了初步了解的基础上，讲解例一。给出具体的数列，会利用定义判断是否为等比数列。对（1）（5）两小题着重分析.

　　例题一

　　判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比;不是,请说明理由．

　　(1) 1, 4, 16, 32．

　　(2) 0, 2, 4, 6, 8.

　　(3) 1,－10,100,－1000,10000．

　　(4) 81, 27, 9, 3, 1.

　　(5) a, a, a, a, a.

　　讲解例二，进一步熟悉定义，根据定义求数列未知项。最后的小例一为了由利

　　用定义的求解转到利用定义证明，二为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。 例题二

　　求出下列等比数列中的未知项:

　　(1) 2, a, 8;

　　(2) -4, b, c, ?;

　　? 已知数列 2, x, d, y,8．是等比数列

　　①证明数列2, d, 8.仍是等比数列．

　　②求未知项d.

　　通过两道例题的讲解，让学生有个缓冲，做个巩固练习。当然此练习的安排，

　　也是为了进一步挖掘等比数列定义的本质，辨析找寻等差数列与等比数列的关系，将具体问题再推广到一般，并要求学生理解并掌握等比数列的判断证明方法。

　　练习

　　判断下列数列是等差数列还是等比数列？

　　(1) 22 , 2 , 1 , 2-1, 2-2 .

　　(2) 3 , 34 , 37, 310 .

　　引申：已知数列{an}是等差数列，而bn?2n

　　证明数列{bn}是等比数列.

　　由最后一例的证明，说明给出通项公式后可由定义判断该数列是否为等比数

　　列。反过来若数列已经是等比数列了，能否由定义导出数列通项公式呢？为下节课做铺垫。

　　【课堂小结】

　　由学生通过一堂课的学习，做个简单的归纳小结。

　　1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断

　　2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零.

　　3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究.

　　【作业】

　　1.书p48. No.1,2; a

等差数列的概念教学设计一等奖第 2 篇

【教学目标】

1． 知识与技能

（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：

（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：

（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。

2.过程与方法

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3.情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

【教学重点】

①等差数列的概念；②等差数列的通项公式

【教学难点】

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．

【学情分析】

我所教学的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．

【设计思路】

1．教法

①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．

③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．

2．学法

引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法．

【教学过程】

一：创设情境，引入新课

1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？

2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10 000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数．

学生：

1：0，5，10，15，20，25，…．

2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．

3:10072，10144，10216，10288，10360.

（设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力．

二：观察归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，…．

②18，15．5，13，10．5，8，5．5．

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述数列有什么共同特点？

思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？

思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定．

教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义．

（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达．）

三：举一反三，巩固定义

1.判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

教师出示题目,学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题．

注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 ．

（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）．

2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？

（设计意图：强化等差数列的证明定义法）

四：利用定义，导出通项

1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？

2.已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？

教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示．根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法．

（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）

五：应用通项，解决问题

1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项？如果是，是第几项？

2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3求等差数列 3,7,11，…的第4项和第10项

教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况．

学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

（设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系．初步认识“基本量法”求解等差数列问题．）

六：反馈练习：教材13页练习1

七：归纳总结：

1.一个定义：

等差数列的定义及定义表达式

2.一个公式：

等差数列的通项公式

3.二个应用：

定义和通项公式的应用

教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充

（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念．）

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．

等差数列的概念教学设计一等奖第 3 篇

　1．数列在教材中的地位

　　根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．

　　2．教学三维目标分析

　　知识目标：使学生理解数列概念、分类、表示方法以及数列通项公式

　　能力目标：1）通过对数列概念的教学让学生了解数列和函数间的关系

　　2）会用通项公式写出数列的任意一项

　　3）对于简单的数列会根据其前几项写出它的一个通项公式

　　情感目标：1）培养学生观察抽象的能力

　　2）培养学生从特殊到一般的归纳能力

　　3）创设师生共同研究的教学情境，培养学生乐于求索，勇于创新的精神 教学重点：理解数列概念

　　教学难点：根据数列的`前几项抽象归纳出数列的通项公式

　　二、教学方法与学习方法

　　启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

　　探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；(转载于:数列的教学设计) 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

　　合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。

　　三、教学过程设计

　　1.创设情景，引入新课

　　有人说，大自然是懂数学的.通过多媒体图片展示花瓣数：2,3,5,8,13，具有一定的规律性，学生发现，教师适时点拨规律.图片展示树的分支也呈现同样的规律性.从而介绍学习数列的意义：数列是反映自然规律的模型——引出课题；

　　设计意图：为了让学生体会数学源于生活并激发学生的学习兴趣，采用生活中学生熟悉的问题引入，关注学生的最近发展区，学生思维产生“结点”；

等差数列的概念教学设计一等奖第 4 篇

知能目标解读

　　1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.

　　2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.

　　3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.

　　4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.

　　5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.

　　重点难点点拨

　　重点：等差数列的概念.

　　难点：等差数列的通项公式及其运用.

　　学习方法指导

　　1.等差数列的定义

　　(1)关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：

　　①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.

　　②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.

　　③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).

　　(2)如何证明一个数列是等差数列?

　　要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同

　　一个常数(或an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.

　　注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.

　　2.等差数列的通项公式

　　(1)通项公式的推导常用方法：

　　方法一(叠加法)：∵{an}是等差数列，

　　∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,

　　an-2-an-3=d,…,

　　a3-a2=d,a2-a1=d.

　　将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,

　　∴an=a1+(n-1)d.

　　方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，

　　∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.

　　即an=a1+(n-1)d.

　　方法三(逐差法)：∵{an}是等差数列，则有

　　an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.

　　注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.

　　(2)通项公式的变形公式

　　在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有

　　am=a1+(m-1)d

　　　①

　　an=a1+(n-1)d

　　　②

　　由②-①得an-am=(n-m)d,

　　∴an=am+(n-m)d.

　　注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d= (n≠m).

　　(3)通项公式的应用

　　①利用通项公式可以求出首项与公差;

　　②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;

　　③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.

　　3.从函数角度研究等差数列的性质与图像

　　由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.

　　当d>0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示.

　　当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.

　　当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.

　　4.等差中项

　　如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，

　　那么A叫做数a与b的等差中项.

　　注意:(1)等差中项A= a,A,b成等差数列;

　　(2)若a,b,c成等差数列，那么b= ，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的;

　　(3)用递推关系an+1= (an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.

　　知能自主梳理

　　1.等差数列

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的

　　

　　是

　　

　　，我们称这样的数列为等差数列.

　　2.等差中项

　　如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做

　　

　　.

　　3.等差数列的判断方法

　　(1)要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时，

　　

　　.

　　(2)如果an+1= 对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是

　　

　　.

　　(3)若a,A,b成等差数列，则A=

　　

　　.

　　4.等差数列的通项公式

　　等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .

　　5.等差数列的单调性

　　当d>0时，{an}是 数列;当d=0时，{an}是 数列;当d<0时，{an｝是 数列.

　　[答案]　1.差　同一个常数

　　2.a与b的等差中项

　　3.(1)an-an-1=d(常数)　(2)等差数列　(3)

　　4.an=a1+(n-1)d　an=am+(n-m)d

　　5.递增　常　递减

　　思路方法技巧

　　命题方向　等差数列的定义及应用

　　[例1]　判断下列数列是否为等差数列.

　　(1)an=3n+2;

　　(2)an=n2+n.

　　[分析]　利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.

　　[解析]　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.

　　(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.

　　[说明]　利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.

　　变式应用1　试判断数列{cn｝，cn= 是否为等差数列.

　　? 2n-5　n≥2

　　[解析]　∵c2-c1=-1-1=-2,

　　cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).

　　∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.

　　∴{cn}不是等差数列.

　　命题方向　等差数列通项公式的应用

　　[例2]　已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.

　　[分析]　利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.

　　[解析]　解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得

　　a1+4d=11

　　

　　 a1=19

　　解得 .

　　a1+7d=5

　　

　　 d=-2

　　∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.

　　解法二：∵a8=a5+(8-5)d,

　　∴d= = =-2.

　　∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.

　　[说明]　(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.

　　(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d= ，应注意掌握对它的灵活应用.

　　变式应用2　已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.

　　a10=a1+9d=29

　　[解析]　设等差数列的公差为d,则有 ，

　　a21=a1+20d=62

　　解得a1=2,d=3.

　　∴an=2+(n-1)×3=3n-1.

　　令an=3n-1=91,得n= N+.

　　∴91不是此数列中的项.

　　命题方向　等差中项的应用

　　[例3]　已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?

　　[分析]　已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.

　　[解析]　因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,

　　又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)

　　=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)

　　=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,

　　所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),

　　所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.

　　[说明]　本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.

　　变式应用3　已知数列{xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.

　　[分析]　由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.

　　[解析]　由x1=3,得2p+q=3,

　　

　　①

　　又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得

　　3+25p+5q=25p+8q,

　　

　　

　　

　　　②

　　由①②得q=1,∴p=1.

　　[说明]　若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.

　　探索延拓创新

　　命题方向　等差数列的实际应用

　　[例4]　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损?