一次函数与一元一次方程教案

这是一次函数与一元一次方程教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

一次函数与一元一次方程教案第1部分

　　一、教材分析

　　本节内容共安排2个课时完成。该节内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用。通过探索方程与函数图像的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了数(二元一次方程)与形(一次函数的图像(直线))之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的.

　　二、学情分析

　　学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会数和形间的相互转化，从中使学生进一步感受到数的问题可以通过形来解决，形的问题也可以通过数来解决.

　　三、目标分析

　　1.教学目标

　　知识与技能目标

　　(1) 初步理解二元一次方程和一次函数的关系;

　　(2) 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;

　　(3) 掌握二元一次方程组的图像解法.

　　过程与方法目标

　　(1) 教材以问题串的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法;

　　(2) 通过做一做引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力.

　　(3) 情感与态度目标

　　(1) 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.

　　(2) 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力.

　　2.教学重点

　　(1)二元一次方程和一次函数的关系;

　　(2)二元一次方程组和对应的两条直线的关系.

　　3.教学难点

　　数形结合和数学转化的思想意识.

　　四、教法学法

　　1.教法学法

　　启发引导与自主探索相结合.

　　2.课前准备

　　教具：多媒体课件、三角板.

　　学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸.

　　五、教学过程

　　本节课设计了六个教学环节：第一环节 设置问题情境，启发引导;第二环节 自主探索，建立方程与函数图像的模型;第三环节 典型例题，探究方程与函数的相互转化;第四环节 反馈练习;第五环节 课堂小结;第六环节 作业布置.

　　第一环节: 设置问题情境，启发引导

　　内容：1.方程x+y=5的解有多少个? 是这个方程的解吗?

　　2.点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y= 的图像上吗?

　　3.在一次函数y= 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗?

　　4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y= 的图像相同吗?

　　由此得到本节课的第一个知识点：

　　二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：

　　(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;

　　(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

　　意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y= 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.

　　效果：以问题串的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识.

　　前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系.顺其自然进入下一环节.

　　第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系

　　内容：1.解方程组

　　2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和y=2x ,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像.

　　3.方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系?由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法;

　　(1) 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标;

　　(2) 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.

　　(3) 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.

　　注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.

　　意图：通过自主探索，使学生初步体会数(二元一次方程)与形(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础.

　　效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了数的.问题可以转化为形来处理，反之形的问题可以转化成数来处理，培养了学生的创新意识和变式能力.

　　第三环节 典型例题

　　探究方程与函数的相互转化

　　内容：例1 用作图像的方法解方程组

　　例2 如图，直线 与 的交点坐标是 .

　　意图：设计例1进一步揭示数的问题可以转化成形来处理，但所求解为近似解.通过例2，让学生深刻感受到由形来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把形的问题转化成数来处理.这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫.

　　效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.

　　第四环节 反馈练习

　　内容：1.已知一次函数 与 的图像的交点为 ,则 .

　　2.已知一次函数 与 的图像都经过点A(2，0)，且与 轴分别交于B，C两点，则 的面积为( ).

　　(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

　　3.求两条直线 与 和 轴所围成的三角形面积.

　　4.如图，两条直线 与 的交点坐标可以看作哪个方程组的解?

　　意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况.

　　效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性.

　　第五环节 课堂小结

　　内容：以问题串的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：

　　1.二元一次方程和一次函数的图像的关系;

　　(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;

　　(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

　　2.方程组和对应的两条直线的关系：

　　(1) 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标;

　　(2) 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解;

　　3.解二元一次方程组的方法有3种：

　　(1)代入消元法;

　　(2)加减消元法;

　　(3)图像法. 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解.

　　意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力;使学生进一步明确学什么，学了有什么用.

　　第六环节 作业布置

　　习题7.7

　　附： 板书设计

　　六、教学反思

　　本节课在学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图像的基本知识的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图像解法，以及应用代数方法解决有关图像问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.教学过程中教师一定要讲清楚图像解法的局限性，这是由于画图的不准确性，所求的解往往是近似解.因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，如例2及反馈练习中的4个问题.

一次函数与一元一次方程教案第2部分

　　教学目标

　　1．知识与能力目标

　　（1）二元一次方程和一次函数的关系，第二册二元一次方程与一次函数。

　　（2）二元一次方程组的图象解法。

　　（3）通过学生的思考和操作，力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法。同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。

　　2．情感态度价值观目标

　　通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造。

　　教材分析

　　前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数（形）的关系，是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系，知识与知识的内在联系，并为今后解析几何的学习奠定基础。

　　教学重点

　　1、二元一次方程和一次函数的关系。

　　2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

　　教学难点

　　方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

　　教学方法

　　学生操作------自主探索的方法

　　学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”----二元一次方程组和“形”----函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。

　　教学过程

　　一． 故事引入

　　迪卡儿的故事------蜘蛛给予的启示

　　十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？

　　在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。

　　这节课我们就来研究二元一次方程（数）与一次函数（形）的关系。

　　二． 尝试探疑

　　1、Y=x+1

　　你们把我叫一次函数，我也是二元一次方程啊！这是怎么回事，你知道吗？

　　学生先是疑惑：方程就是方程，函数就是函数，它们能有什么联系呢？然后通过思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函数与二元一次方程的内在联系。

　　2、函数y=x+1上的任意一点的坐标是否满足方程x-y=-1？

　　以方程x-y=-1的解为坐标的点在不在函数y=x+1 的图象上？方程x-y=-1与函数y=x+1有何关系？

　　学生会迫不及待地拿起笔来计算。从函数y=x+1图象上找几个点看它们的坐标是否满足方程x-y=-1。结果都满足。然后学生就会自主和同伴交流，问一问同伴函数y=x+1图象上的点满足不满足方程x-y=-1。结果也都满足。这样他们就会搭成共识：函数y=x+1上的任意一点的坐标都满足方程 x-y=-1。

　　然后学生会用同样的方法得出另一个结论：以方程x-y=-1的解为坐标的点一定在函数y=x+1的图象上。然后开始思索函数y=x+1和方程x-y=-1到底有何关系呢？通过交流自动得出结论：以方程x-y=-1的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x+1的图象相同。

　　3.在同一坐标系下，化出y=x+1与y=4x-2的图象，他们的交点坐标是什么？

　　方程组y=x+1的解是什么？二者有何关系？

　　y=4x-2

　　学生根据画图象的方法画出两函数图象，画出交点坐标。用消元法解出方程组的解。学生会大吃一惊：两者出奇地相近或者干脆就相同。这是怎么回事呢？然后开始探究二者关系。通过交流、讨论得出结论：函数y=x+1和y=4x-2的交点坐标就是由两个函数表达式组成的方程组

　　y=x+1 的解。

　　Y=4x-2

　　教师作最后总结：因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题，初中数学教案《第二册二元一次方程与一次函数》。

　　三． 方程与函数关系的应用

　　解方程组 x-2y=-2

　　2x-y=2

　　学生会很快的用消元法解出来。

　　老师发问：谁还有其他的方法？如果有，鼓励学生大胆提出。并给予口头表扬。如果没有人用其他的方法，老师提出问题：你能不能用图象的方法求方程组的解呢？这时，学生就会去探索新的思路、方法。

　　一回忆方程与函数的关系，有了！方程组的解不就是两个方程变形得到的两个函数图象的交点坐标吗？学生就会迅速动笔用这种方法把方程解出来。作完之后，互相交流。学生总结一下做题步骤：

　　1.把两个方程都化成函数表达式的形式。

　　2.画出两个函数的图象。

　　3.画出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。

　　问题又出来了,有的同学的解是 x=2 有的同学的解是 x=2.1 y=2.1

　　y=1.9 有的同学的解是……虽然都和消元法得到的结果相近，但各不相同。

　　老师提问：你能说一下用图象法解方程组的不足吗？

　　学生争先恐后的回答：用这种方法求的`解是近似值。不准确。学生提出疑问：既然不准确，那学习它有什么用呢？用消元法就足够了！

　　教师解释一下：在现实生活和生产中，我们会遇到特别复杂的方程，用消元法解不太容易，我们就可以用电脑绘制成函数图象，很容易找出交点坐标。教师可以用Z+Z智能教育平台演示一下。

　　[点评]用作图象的方法解方程组，这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识，探索知识点之间的联系，可起到化新为旧的作用，达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。

　　四． 引申

　　方程组 x+y=2

　　x+y=5 解的情况如何？你能从函数的角度解释一下吗？

　　学生用消元法开始解方程组，结果无解，怎么回事呢？学生会尝试运用方程组的图象解法。画出两个函数图象。答案有了！图象是平行的，没有交点。所以方程组无解了。哇！太神奇了！方程的问题可以用图象的方法解决了。

　　[点评]因为有了上面的用作图象法解方程组，在这里，学生就会自觉地从函数的角度探究方程的问题，初步具有了数形结合的意识和能力。

　　五． 课后小结

　　本节课我们通过操作和思考，揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，从而引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”----二元一次方程与“形”------函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力。

　　六． 作业

　　1. 用作图象法解方程组2x+y=4

　　2x-3y=12

　　2.如图，直线L、L相交于点 A，试求出A点坐标。

　　教学反思

　　这节课由故事引入，激发了学生极大的学习兴趣。然后提出了三个尖锐的问题，让学生尝试探索，在探索中既体会到了探索的艰辛，又体会到了成功的喜悦。在应用和引申过程中，尽量让学生自主的发现问题，自主的解决问题。学生在紧张、愉快中完成了这节课的学习。

一次函数与一元一次方程教案第3部分

对于这节课，我将以教什么，怎么教，为什么这样教为思路，从教材分析，学情分析，设计思想，过程设计, 教学反思五个方面加以说明。

　　一、教材分析

本节是义务教育课程标准试验教科书北师大版数学八年级上册第七章第六节第一课时内容（第238页至240页）。

（一）地位与作用

函数与方程都是人们刻画现实世界的重要数学模型，这节课不仅涉及了方程与函数两大知识体系，而且在两大知识有机融合过程中很好地应用了数形结合的思想，这种渗透与融合可以较好地发展学生数学思维。一方面，这是在学习了一次函数及其图象，二元一次方程及二元一次方程组解法基础上的进一步探索；另一方面，为今后学习其他函数，方程与不等式等许多知识奠定基础，所以这一课时在初中数学所占地位极为重要。

（二）教学目标确定

教学三维目标是紧密联系的一个整体，在学习知识与与技能的同时，要注重过程，讲究方法，并形成良好的情感态度与价值观。这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并充分体现在过程与方法中。

　 （三）重点和难点教学策略

根据教材的地位和作用，结合新课标对本节课内容要求，针对重点采取策略：在操作与探索中，让好生带中等生，中等生拉学困生，我再推一把学困生，相互启发，获知提高。针对难点采取策略：在质疑中猜想、在猜想中探究，一步一步地寻找解决问题的金钥匙。

二、学情分析

我校是乡镇级中学,学生基础相对较弱,但我校是县课改重点校,学习氛围浓厚,学生有自主探究与合作交流的经验和意识。

1、从认识角度来说,学生在此之前已经学习了二元一次方程及其方程组解法，也学会了

作一次函数的图象——直线，初步具备了数形结合的能力。

2、从身心角度来说,学生好动，勇于探索，渴望交流，爱发表见解，希望获得老师的表

扬，但是注意力易分散。

3、从学习障碍来说, 难以弄清二元一次方程与一次函数的关联，即数与形结合意识模糊。

三、设计思想

本节教材内容只有四个问题串，做一做，与一个例题，呈现形式单一，不利于突破难点，学以致用，为此，我对教材加以简单修改与整合，采用探究式教学法，在学生知识的“最近发展区”设置问题，层层递进，充分让学生动脑思考、动手操作、动口交流，不断释疑解惑。

四、过程设计

（一）以问质疑

1．动脑想，动手写，动口说

[设计意图]从简单的问题情境入手，构建二元一次方程，并写出方程的一些解，回顾二元一次方程有无数个解，为描点与画直线做好准备。

2．动手描

[学情预设] 在准备好的坐标纸上描点学生们已较熟练，描点如左下图。

[设计意图] 从数到形渗透。

文本框:

3．动手画

[学情预设] 作一次函数的图象 ——直线，学生也不难用过两点的办法连线得到右上图：

4．放眼看

[学情预设] 图中很直观感知：所有的点都在直线上。

[设计意图] 引导学生操作与探索，产生新的问题：为何这些点会全部在直线上？

5．猜想

[设计意图] 为进一步探索二元一次方程与一次函数的关系奠定良好的基石。

（二）突破疑难

1．逆向思维

[学情预设] 多数同学答案是肯定的，但理由是它的特殊性：如图在直线上取一点（3，-1）。

2．进而激发又一个疑问：其它的点如何验证？

[设计意图]这显然是一般性问题，让学生探索，若有个别学生能有所发现，要及时表扬，让其他同学学习他勇于探索、敢于发现的精神。

若没有，利用对比与类比积极引导学生探索发现：二元一次方程与一次函数是自己与自己的不同展现形式。从而解决上面两个问题 。

即：直线上的点与二元一次方程解的对应。

[设计意图] 本问是教学难点，函数与方程的关系抽象，困扰许许多多的学生，数学教学论指出，数学学习应使学生的认识结构得到优化，那么知识脉络要十分清晰，而方程的解与函数的图象实质关系不点破，学生只能囫囵吞枣，为此，我设计此猜想，让学生从特殊性过渡到一般性，这种设问有利于学生在自主探索中观察、分析、多方位多角度思维，同时,妙比活跃了课堂，突破了难点，为后继的探究与学习铺平了道路。

（三）知识升华

1．动手操作，说说看

[学情预设] 生易通过操作，探索是方程组的解。

由此获得解二元一次方程组还可以用——图象法。

[设计意图] 通过巡视学生作图，了解学生“形”的操作过程与能力，再观察图象，发现交点，进一步合作交流交点与方程组的关系，让学生加以叙述，培养语言表达能力，从方程组的解到函数图象的交点数形有机结合的探索中，获得知识升华——用图象法解方程组。

（四）学以致用

1．例1

[设计要求] 让学生思考后，独自动手解答，之后学生交流合作，再加以叙述，老师板书。

[学情预设] 多数同学能在短时间思考后，动手解答，少部分学有困难的同学，师要及时前往帮助，启发指导，或采取“兵教兵”策略，共同提高。

[设计意图] 用图象法解方程组是本节又一重点，要充分发挥学生的主体作用，先自主探索解法，老师不可代替学生思维，再生生合作交流提高解答能力，充分体验数形结合的思想。并融合集体智慧归纳出：图象法解方程组的一般步骤。

2．练习提高

①前三题

[设计意图] 从数与形不同角度进一步明确两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系。

②第四题

[设计要求] 选2~3名不同程度学生上台板演，并选择其他同学不同的解法，展示台展示。

[设计意图] 展现不同程度学生思维与操作的全过程，从而更好帮助他们发现问题，提高

他们的解答能力，避免以后少错、不错，进一步体会数形结合的思想。

从中发现： 作图与读点的坐标都有可能产生误差，可见图象法所求的是近似解。

（五）归纳小结

[设计意图] 小结归纳不应该是知识的简单罗列，而应该是优化认识结构，完善知识体系的一种有效手段，要充分对学习的知识、方法、体验进行归纳，特别是迷惑不解的地方加以重视，不断修正教学。

[学情预设] 有同学可能提出——图象法解方程组不见得比消元法优越，为何还要学习？

[知识链接] 从比较看，确实不见得图象法更优越，所以一般不用图象法求解，但对于一些高次方程，无理方程，超越方程，图象法求解则更具一般性，学习图象法可为学生后继的学习打下良好的基础。并且，从不同角度去解方程，可以发散学生的思维，两种思想（数与形）的交织，又是创新的源泉。

(六)作业设计

[设计意图] 从作业的巩固性和发展性出发，（1）必做题是对本节课的一个反馈，面向全体学生，选做题是对本节知识的一个延伸，面对学有余力的学生，从而使不同的学生得到不同的发展。（2）课后思考题融基础性，灵活性，实践性，开放性为一体，为下一节预设伏笔。

五、教学反思

我来自农村中学，面对的学生学习程度差异较大，考虑到全体学生的发展，激发最大多数同学的学习欲望，我的教学设计以学困生不饿肚子、中等生能吃饱、好生能吃好为思路，用教材而不照搬教材。

我设计一大特点是：不断从问题中逆向思维，让学生多视角、全方位分析问题，操作探究；另一个特点是：尽量让学生通过比较获得发现。最大特色体现在突破难点环节，采取策略一：先从数到形探索,再从形到数演绎；策略二：从特殊性逐渐过渡到一般性；策略三：用孙悟空与美猴王妙比，彻底捅破二元一次方程与一次函数的实质关系这一层窗户纸，使学生拨云见日，经久记忆。

为了更好地进入第二课时教学即方程与函数关系的实际应用，我精心编制了一道十分贴近生活的课后探索题，从学以致用中进一步激发学生的学习兴趣。

一次函数与一元一次方程教案第4部分

【正文】 建

立自信，关注的是学生对

基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的提高.教学

中可通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和解决

问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，

鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表

现出来的思维水平，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，结合函数的图像，其理解才会深刻；同时要以这一部分的知识为载体，学生掌握用

二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的理论基础，要让学生充分理解图像方法和代数方法解决问题的优点和缺点，要让学生理解为什么要用

二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性，在技能上作出强化.

作为第二节课，在此基础上，关于这方面的

练习，主要要求学生能够利用二元一次方程

组解决一次函数的解析式问题，从而对方法作出正

确的选择．通过一个具体的例子，使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样

性的，进而得到一次函数的表达式.

意图和效果：让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理．

第六环节布置作业

习题7·8[来源:学科网ZXXK]

六、课后反思

（1）设计理念

事物之间是存在普遍联系的，b的二元一次方程组；

3．解这个二元一次方程组得k，就会得到不一样的方法，让学生掌握这类问题解决的一般方法，以及从图形中获取有用的信息，目的是强化本节知识的重点“利用二元

一次方程组确定一次函数解析式”；练习3是第六章“一次函数图像的应用”一节中的例2，强化函数与方程的关系，

答案：直线1l的解析式：xy53

1=

，2l分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关

系．当时间t等于多少分钟时，如图所示，y＝

3.教材例2的再探索：[来源:Z|xx|]

我边防局接到情报，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关[来

源:Z#xx#]

系式，2l的交点坐标可以看做方程组的解

x（吨）

y（元）

1520

39

27

O

答案：

îíì-=-=+.12,4yxyx

2.在弹性限度内，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，学会从图形

中获取有用的信息．

效果：通过两个例题的讲解，一次函数图像的应用，一种是利用图像提供的信息，考虑到两种类型，得x=25．[来源:Z*xx*]

意图：通过两个例题的探索，得y=18．

当y=51时，9512-=xy．

（２）当x＝10时，可得方程组

îíì+=

+=.2039,1527

2

2bkbk

解这个方程组，设bxky+=2，解得591=k

所以当０≤x≤15时，设xky1=，则应交水费多

少元？若该用户十一月份交了51元的水费，若某户居民应交水费y（元）

与用水量x（吨）的函数关系如图所示.

（1）分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y=0．

所以旅客最多可免费携带30千克的行李．

例2某市自来水公司为鼓励居民节约用水，可得方程组

îíì+=+=.9010,605bkbk

解该方程组，交了行李费10元．

（1）写出y与x之间的函数表达式；

（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？

解：（1）设bkxy+=，

交了行李费5元，但超过该质量则

需购买行李票，探究一次函数解析式的确定

内容：例1某长途汽车客运站规定，用代数方

法虽然准确，深刻理解图像方法可以更直观、形象，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做

好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系.通过“小明的方法求出的结果准确吗?”自然过渡到

本节课的主要内容。进一步加强函数与方程的联系，B两地相向而行．假设他们都保持

匀速行驶，B两地相距100千米，为本节课学习新的知识做铺垫．

第二环节设计实际问题情境，让学生感受解决问题的方

法的多样性和知识之间是互相联系的，两个一次函数图像的交点也是它们所对应的二元一次方程组的

解；所以方程问题可以转化为函数来解决，布置作业．

第一环节复习引入

内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系?[来源:学+科+网]

(2)二元一次方程组有哪些解法？

意图：通过(1)问，练习与提

高；第五环节，典型例题，设计实际问题情境，坐标纸．

五、教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节，直尺，电脑．

学具：教材，在探究活动中获得成功的体验.

教学重点

利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.

教学难点

建立数形结合的思想．

四、教法学法

启发引导与自主探究相结合．

教具：教材，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.

情感与态度目标：

，因此

本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程.

三、目标分析[来源:学科网]

教学目标

知识与技能目标

作函数图像的方法与代数方法各自的特点.

.[来源:]

.

过程与方法目标：

，因为图像法很直观，这些知识为本节课的学习作好了

很好的铺垫.由于上节课的惯性，同时在第六章也学习了确定一次函数的表达式

的基本方法，从而发展学生数形结合的意识。

本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，上一课时探索了函数与方程之间的关系，本节课为第2学时.主要是通过对

作图像方法与代数方法的比较，

第七章二元一次方程组

6．二元一次方程与一次函数（二）

一、教材分析

《二元一次方程与一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章

《二元一次方程组》第六节，本节内容安排了2个学时完成，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上

一课时内容的自然发展，并获得了方程组的图像解法，这样更为全面地理解函数与方程、图形

与代数表达式之间的关系，

二、学情分析

学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，学生易在图像法上停留，容易接受，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.

作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.

，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.

，课件，铅笔，练习本，复习引入；第二环节，导入

新课；第三环节，探究二元一次方程组确定一次函数的表达式；第四环节，课堂小结；第六环节，体会函数和方程之间的联系——二元一次方程组的解是它们对应的两个

一次函数图像的交点坐标；反之，同样函数问题也可以通过方程问题来加以解决．为后

面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔．通过(2)问，为后面利用作图像方法和代数方法解决议一议的问题作铺

垫．

效果：回忆旧知，导入新课

内容：教材议一议

A，甲、乙两人骑车同时分别从A，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距

离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？

意图：通过实际问题情景，让学生在多种方法解决问题的思

考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，

效果：通过引例的分组探索，但缺乏准确，但不够形象和直观．

第三环节典型例题，乘客可以免费携带一定质量的行李，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，张华带了90千克的行李，根据题意，得

ïî

ïíì

-=

=

.5

,61

b

k

所以.5

61-=xy

（2）当x=30时，采取

按月用水量分段收费办法，y与x的函数

关系式；

（2）若某用户十月份用水量为10吨，则

他该月用水多少吨？

解：（1）当０≤x≤15时，根据题意得

11527k=，xy59=；[来源:学科网]

当x＞15时，根据题意，得

ïî

ïíì

-=

=

.9

,5122

b

k

所以当x＞15时，代入xy59=中，代入9512-=xy中，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的方法；

在设计本例题时，一是利用文字提供的信息，补

充例2主要是承接第六章，进一步强化学生数形结合的意识，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体

的做法，使学生有知识迁移的基础．

第四环节练习与提高

内容：１.图中的两条直线1l，弹簧的长度y（厘米）是所挂

物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量

为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3

千克时，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．

答案：+=xy[来源:]

当x＝４是，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追

赶，1l，我边防快艇B能够追赶上A。直线2l的解析式：651

2+=xy

15分钟

意图：通过练习1，同时也是利用二元一次方程组确定一次函数解

析式这一方法的训练；练习2是配合例1出的一个练习，目的

在于加强学生数形结合思想的应用，同时也是对本节课教学重点

的强化．让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的．

效果：通过学生的解答和老师的讲解，为课堂小结做

好铺垫．

第五环节课堂小结

内容：

一、函数与方程之间的关系．

二、在解决实际问题时从不同角度思考问题，从而拓展自己的思维．

三、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：

o

y

x1234

1

2

3

4

1l

2l

1l

2l

1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：bkxy+=()0¹k；

2．将已知条件代入上述表达式中得k，b，研究二元一次方程组与一次函数之间的关系应证了辨证唯物主

义的这一观点．同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重要内

容.教材通过引例对图像方法与代数方法的比较，同时也使学生理解图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣，让学生掌握用二元一次方程组解决一次函数问题的一般步骤与

方法．

（2）突出重点、突破难点的策略

本节课是二元一次方程组和一次函数关系的第二节课，根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题，以老师的讲解为主，还要让学生动手、动脑去解决问题，在内容上要让学生进一步理解它们之间的联系的同时，从而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程

中，在这个基础上，有关这一方面的题目要让

学生充分讨论，让学生理解解决问题方法的

多样性的，进一步理解数形结合的思想在数学学习中的重要性．

（3）评价方式

根据新课标的评价理念，满足多样化的学习需要，关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的表述水平，帮助学生认识自我，发挥评价的教育功能.

附：板书设计

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

二元一次方程与一次函数（二）

二元一次方程与一次函数的关系；议一议

（1）——————————（1）——————－

（2）——————————

图像方法与代数方法各自的特点：（2）———————

利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：

（1）

（2）（3）———————

（3）例1

例2

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