三角函数定义

这是三角函数定义，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

三角函数定义第 1 篇

知识点：

任意角的三角函数定义：

定义一：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)那么角α的正弦、余弦、正切分别是sinα=y,cosα=x,tanα=y/x．它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

定义二：设 α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点P(x,y)是角α的终边上任意一点，P到原点的距离|OP|=r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是

三角函数在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

视频教学：

练习：

1、下列各式中，结果为正值的是（ ）。

A、cos2-sin2 B、cos2sin2 C、sin2tan2 D、tan2cos2

2、一个半径为R扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）。

A、(2-sin1cos1)R2B、sin1cos1R2

C、R2D、(1-sin1cos1)R2

3、若角的终边落在直线y=2x上，则sin的值等于（ ）。

A、 B、 C、 D、

4、若三角形的两个内角、β角满足sincos

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

5、已知θ是第三象限角，且cos是（ ）。

A、第一象限角或第二象限角； B、第二象限角；

C、第二象限角或第四象限角； D、第一象限角或第三象限角。

6、已知，则是（ ）。

A、第一象限角或第二象限角 B、第二象限角或第四象限角

C、第一象限角或第三象限角 D、第二象限角或第三象限角

7、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）。

A、2 B、sin2 C、 D、2sin1

8、若∈，则sin+cos的一个可能值是（ ）。

A、 B、 C、 D、1

9、设为三角形的一个内角，则下列各对数中均取正值的是（ ）。

A、tan， B、cos， C、sin， D、sin，

10.点在第（ ）象限。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

课件：

三角函数定义第 2 篇

　　一. 教学内容：三角函数

　　【结构】

　　二、要求

　　（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

　　（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）

　　（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

　　（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意义。

　　三、热点分析

　　1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.

　　2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的`问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题

　　3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

　　4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.

　　四、复习建议

　　本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：

　　（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。

　　（2）对公式要抓住其特点进行。有的公式运用一些顺口溜进行。

　　（3）三角函数是阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。

　　（4）由于三角函数是我们研究的一门基础工具，近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（2003年高考应用题源于此）

　　（5）重视数学思想方法的复习，如前所述本章都以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋ （k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.

　　（6）加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.

　　（7）变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.针对高考中的题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.

　　（8）在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.

　　在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

　　另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。

三角函数定义第 3 篇

课题：任意角三角函数的定义

课型：概念新授课

学校：南头中学 班级：南头中学高一年级

教师：杨章清 (宝安第一外国语学校) 时间：2012/4/11

1．教材（教学内容）处理

本课时主要研究任意角三角函数的定义。三角函数是一类重要的基本初等函数，是描述周期性现象的重要数学模型，本课时的内容具有承前启后的重要作用：承前是因为可以用函数的定义来抽象和规范三角函数的定义，同时也可以类比研究函数的模式和方法来研究三角函数；启后是指定义了三角函数之后，就可以进一步研究三角函数的性质及图象特征，并体会三角函数在解决具有周期性变化规律问题中的作用，从而更深入地领会数学在其它领域中的重要应用.

2．设计理念

本堂课采用“问题解决”教学模式，在课堂上既充分发挥学生的主体作用，又体现了教师的引导作用。整堂课先通过问题引导学生梳理已有的知识结构，展开合理的联想，提出整堂课要解决的中心问题：圆周运动等具周期性规律运动可以建立函数模型来刻画吗？从而引导学生带着问题阅读和钻研教材，引发认知冲突，再通过问题引导学生改造或重构已有的认知结构，并运用类比方法，形成“任意角三角函数的定义”这一新的概念，最后通过例题与练习，将任意角三角函数的定义，内化为学生新的认识结构，从而达成教学目标.

3．教学目标

知识与技能目标：形成并掌握任意角三角函数的定义，并学会运用这一定义，解决相关问题.

过程与方法目标：体会数学建模思想、类比思想和化归思想在数学新概念形成中的重要作用.

情感态度与价值观目标：引导学生学会阅读数学教材，学会发现和欣赏数学的理性之美.

4．重点难点

重点：任意角三角函数的定义.

难点：任意角三角函数这一概念的理解（函数模型的建立）、类比与化归思想的渗透.

5．学情分析

学生已有的认知结构：函数的概念、平面直角坐标系的概念、任意角和弧度制的相关概念、以直角三角形为载体的锐角三角函数的概念. 在教学过程中，需要先将学生的以直角三角形为载体的锐角三角函数的概念改造为以象限角为载体的锐角三角函数，并形成以角的终边与单位园的交点的坐标来表示的锐角三角函数的概念，再拓展到任意角的三角函数的定义，从而使学生形成新的认知结构.

6. 教法分析

“问题解决”教学法，是以问题为主线，引导和驱动学生的思维和学习活动，并通过问题，引导学生的质疑和讨论，充分展示学生的思维过程，最后在解决问题的过程中形成新的认知结构.这种教学模式能较好地体现课堂上老师的主导作用，也能充分发挥课堂上学生的主体作用.

7. 学法分析

本课时先通过“阅读”学习法，引导学生改造已有的认知结构，再通过类比学习法引导学生形成“任意角的三角函数的定义”，最后引导学生运用类比学习法，来研究三角函数一些基本性质和符号问题，从而使学生形成新的认识结构，达成教学目标.

8．教学设计（过程）

一、引入

问题1：我们已经学过了任意角和弧度制，你对“角”这一概念印象最深的是什么？

问题2：研究“任意角”这一概念时,我们引进了平面直角坐标系,对平面直角坐标系,令你印象最深刻的是什么?

问题3：当角clip_image002的终边在绕顶点O转动时,终边上的一个点P(x,y)必定随着终边绕顶点O作圆周运动,在这圆周运动中,有哪些数量?圆周运动的这些量之间的关系能用一个函数模型来刻画吗?

二、原有认知结构的改造和重构

问题4：当角clip_image002[1]是锐角时,clip_image004,线段OP的长度clip_image006这几个量之间有何关系?

学生回答，分析结论，指出这种关系就是我们在初中学习过的锐角三角函数

学生阅读教材，并思考:

问题5：锐角三角函数是我们高中意义上的函数吗？如何利用函数的定义来理解它?

学生讨论并回答

三、新概念的形成

问题6：如果我们将角度推广到任意角，我们能得到任意角的三角函数的定义吗？

学生回答,并阅读教材,得到任意角三角函数的定义.并思考：

问题7：任意角三角函数的定义符合我们高中所学的函数定义吗？

展示任意角三角函数的定义，并指出它是如何刻划圆周运动的

并类比函数的研究方法，得出任意角三角函数的定义域和值域。

四、概念的运用

1．基础练习

①口算clip_image008的值.

②分别求clip_image010的值

小结:ⅰ)画终边，求终边与单位圆交点的坐标，算比值

ⅱ)诱导公式(一)

③若clip_image012，试写出角clip_image002[2]的值。

④若clip_image015,不求值，试判断clip_image017的符号

⑤若clip_image019，则clip_image021为第 象限的角.

例1．已知角clip_image002[3]的终边过点clip_image024，求clip_image026之值

若P点的坐标变为clip_image028，求clip_image030的值

小结:任意角三角函数的等价定义(终边定义法)

例2．一物体A从点clip_image032出发，在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，若经过的弧长为clip_image034，试用clip_image034[1]表示物体A所在位置的坐标。若该物体作圆周运动的圆的半径变为clip_image006[1],如何用clip_image034[2]来表示物体A所在位置的坐标？

小结:可以采用三角函数模型来刻画圆周运动

五、拓展探究

问题8：当角clip_image002[4]的终边绕顶点O作圆周运动时，角clip_image002[5]的终边与单位圆的交点clip_image039的坐标clip_image041clip_image043与角clip_image002[6]之间还可以建立其它函数模型吗？

思考：引入平面直角坐标系后，我们可以把圆周运动用数来刻画，这是将“形”转化成为“数”；角clip_image002[7]正弦值是一个数，你能借助平面直角坐标系和单位圆，用“形”来表示这个“数”吗？角clip_image002[8]余弦值、正切值呢？

六、课堂小结

问题9：请你谈谈本节课的收获有哪些？

七、课后作业

教材P21 第6、7、8题

9.板书设计

clip_image046

10．课堂实录

课堂录像（DVD格式）上的实况文本记录（课堂录像光盘刻录完以后再记录）

11．教后反思

包括对教学目标、教学内容、教学过程感悟、教学媒体、教学策略的总结、感悟和反思等等（上完课后再总结）

12．课例点评

工作室指导专家，名师，学员评课记录分类汇集（评课结束后作专题汇总）

说明：以上各项均要求有电子文本和纸质文本。

备注

课型分两类

1按照数学知识内容分 (1)概念类 (2) 定理公式法则类 (3)习题课类 (4) 复习课类 (5)方法类课型 (6) 试卷评讲类 (7)校本课程类

2 按照授课方式分 (1)讲授式 (2)讨论式 (3)探究式 (4)发现式 (5)情景---问题式 (6)其它形式课堂

附录 参考案例

1 .“平面与平面垂直的判定” 金涛 罗增儒，中学数学教学参考2010，1-2

2．“二面角说课稿”

三角函数定义第 4 篇

　　一、基础知识回顾：

　　1、仰角、俯角 2、坡度、坡角

　　二、基础知识回顾：

　　1、在倾斜角为300的山坡上种树，要求相邻两棵数间的水平距离为3米，那么相邻两棵树间的斜坡距离为 米

　　2、升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为300，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为 米（保留根号）

　　3、如图：B、C是河对岸的两点，A是对岸岸边一点，测得∠ACB=450，BC=60米，则点A到BC的距离是 米。

　　3、如图所示：某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度I=1：1.5，

　　则AB= 。

　　三、典型例题：

　　例2、右图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30米，两楼间的距离AC=24米，现需了解甲楼对乙楼采光的影响，当太阳光与水平线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

　　例2、如图所示：在湖边高出水面50米的山顶A处望见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为450，又观其在湖中之像的俯角为600，试求飞艇离湖面的高度h米（观察时湖面处于平静状态）

　　例3、如图所示：某货船以20海里/时的速度将一批重要货物由A处运往正西方的'B处，经过16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西600方向移动，距离台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

　　（1）问B处是否会受到台风的影响？请说明理由。

　　（2）为避免受到台风的影响，该船应该在多少小时内卸完货物？

　　（供选数据：=1.4 =1.7)

　　四、巩固提高：

　　1、 若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米。

　　2、如图：A市东偏北600方向一旅游景点M，在A市东偏北300的公路上向前行800米到达C处，测得M位于C的北偏西150，则景点M到公路AC的距离为 。（结果保留根号）

　　3、同一个圆的内接正方形和它的外切正方形的边长之比为（ ）

　　A、sin450 B、sin600 C、cos300 D、cos600

　　3、如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（ ）（填序号）

　　A、等于1米B、大于1米C、小于1米

　　5、如图所示：某学校的教室A处东240米的O点处有一货物，经过O点沿北偏西600方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响范围在130米以内。

　　（1）通过计算说明，公路上车辆的噪音是否对学校造成影响？

　　（2）为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修一段隔音墙，请你计算隔音墙的长度（只考虑声音的直线传播）