直角三角形

这是直角三角形，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

直角三角形第 1 篇

　　1．知识结构：

　　2．重点和难点分析

　　重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

　　3．教法建议

　　本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

　　1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

　　2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

　　(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的.平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

　　(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

　　在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

　　3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

　　4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

　　一、教学目标

　　1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

　　2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

　　3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1． 重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

　　2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

　　3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

　　4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

　　三、教学过程

　　1．仰角、俯角

　　当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

　　水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

　　教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

　　2．例1

　　如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

　　解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

　　前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

　　不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

　　何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

　　解：在中,

　　∴（米）．

　　答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

　　［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

　　来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

　　3．巩固练习 P．25．

　　如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

　　为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

　　由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

　　为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

　　1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

　　2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

　　答：已知，求AB．

　　这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

　　对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

　　【例2】 如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

　　此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

　　设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

　　解：过A作，于是，

　　在中，

　　∴（米）.

　　.

　　∴（米）.

　　∴（米）.

　　（米）.

　　答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

　　练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

　　要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

　　探究活动

　　一、望海岛

　　如图, 要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线，数学教案－解直角三形应用举例，初中数学教案《数学教案－解直角三形应用举例》。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

　　答案: 4里55步;102里150步.

直角三角形第 2 篇

①把准备好的卡片随机地发给学生、学生按卡片的种类被分成A、B两组、要求拿A类卡片的学生a说出自己卡片上的内容、然后寻找拿B类卡片的与自己的命题相反的同学b。b要自己主动站起来、并说出自己卡片上的命题是什么、由学生a来判断他(她)和自己是否在一组。(注意：A、B类卡片上的内容要出现适量的不能构成互逆命题、互逆定理的例子、但不能太多。这样既有利于学生分析、辨别互逆命题、互逆定理、又有利于他们从正例中归纳、总结出互逆命题、互逆定理的内涵)。

②对学生的表现予以表扬、肯定和鼓励。然后提问拿B卡片的找到组的学生：你是如何判断和谁在一组的

③提取学生回答中的合理性成分、总结归纳、然后提问拿A类卡片的学生：你是如何判断b是否和你在同一组

④肯定学生的认识、提问拿B类卡片的但没找到组的学生：为什么他们的命题和A类同学的命题不能互相构成反面

⑤肯定所有学生的发言和参与、然后让学生试着自己归纳总结概括出什么是互逆命题、互逆定理。

⑥肯定学生的回答、并在此基础上进一步升华、给出严谨的表述。

⑦结合刚刚讲过的勾股定理及其逆定理、应用互逆命题、互逆定理的含义进行分析、加深学生对这一方面的认识。

⑧结合游戏中的命题向学生说明：一个命题是真命题、它的逆命题不一定是真命题。让学生体会命题变换的辩证关系。

⑨让学生回忆自己曾学到的互逆命题和互逆定理、说出教师难备的一些命题的逆命题并判断真假。

　　4、关于互逆命题和互逆定理。

　　（1）在两个命题中、如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件、那么这两个命题称为互逆命题、其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

　　（2）一个命题是真命题、它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题、那么它也是一个定理、这两个定理称为互逆定理、其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

　　（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）

　　(二)

　　提问

　　1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？

　　2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

　　探究

　　启发学生进一步思考、对于直角三角形这样的一类特殊三角形、全等三角形判定四个定理是否可以简化一些？还有没有其他的判定方法

　　思考刚才给出的条件是否可以减少、回答：对于SSS、根据勾股定理、只要有两条直角边或一条直角边和一条斜边对应相等就可以了……类似地考虑其他情况。

　　在这时适时地提出曾经被抛弃的一条假名题：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等在现在成立吗？

　　结合直角三角形的特点、想到：如果这个角是直角、那么命题就是真命题。

　　让学生自己写出条件并给出证明。让先写完的学生到黑板上板演。

　　讲解学生的板演、借此进一步规范学生的书写和表达。分析命题的条件、既然其中一边和它所对的直角对应相等、那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等、于是直角三角形有自己的全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等、可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。

　　5、练习：

　　写出命题“如果有两个有理数相等、那么它们的平方相等”的逆命题、并判断是否是真命题。

　　试着举出一些其它的例子。

　　随堂练习 1

　　判断命题的真假、并说明理由：

　　锐角对应相等的两个直角三角形全等。假命题

　　斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。真命题

　　两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。真命题

　　一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。真命题

　　6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？

直角三角形第 3 篇

温故知新

一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?

解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm， ∴BC=0.5AB=5 cm． ∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90° A 又∵∠A+∠B=90° ∴∠BCBl=∠A=30° 在Rt△ACBl中，BBl=0.5BC=2．5 cm． ∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm． ∴在Rt△ABlC中，∠A=30° ∴B1C1=0.5ABl=3．75cm．

B1 B

C1

C

1.了解了勾股定理及逆定理的证明方法; 2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题， 知道原命题成立，其逆命题不一定成立;

3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆定理.

温故知新

一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢?

你会证明吗?

你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?

勾股定理

在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方.

数方格和割补图形的方法

证明方法:

在 直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方.

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的 平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形” 的结论．你能证明此结论吗?

已知：如图，在△ABC中， AB 求证：△ABC是直角三角形．

2

? AC ? BC

2

2

A

证明：作Rt△DEF，使∠D=90°， DE=AB， DF=AC(如图)， 则 DE 2 ? DF 2 ? EF 2 .(勾股定理)． B ∵ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 , DE=AB，DF=AC ∴ BC 2 ? EF 2 ∴BC= EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． E

C

D

F

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么

这个三角形是直角三角形．

勾股定理

在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方.

逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平 方，那么这个三角形是直角三角形．

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 在前面的学习中还有类似的命题吗?

勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

观察下面三组命题：

?如果两个角是对顶角, 那么它们相等; ? ?如果两个角相等, 那么它们是对顶角. ?如果小明患了肺炎, 那么他一定发烧; ? ?如果小明发烧, 那么他一定患了肺炎. ?三角形中相等的边所对的角相等; ? ?三角形中相等的角所对的边相等.

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流．

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互 逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相 对于逆命题来说，另一个就为原命题．

原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那 么它也是一个定理，那么我们称它们为互逆定 理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理．

举例说出我们已学过的互逆定理.

1.两直线平行，内错角相等. 与 内错角相等，两直线平行.

2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边就等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的锐角等于30°

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:

(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 ，b=0

解： (1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假 命题． (2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为 真命题． (3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆 命题是真命题．

1.了解了勾股定理及逆定理的证明方法; 2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题， 知道原命题成立，其逆命题不一定成立;

3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆定理.

新人教版就年级数学下册解直角三角形同步试题

部分预览 考查目的：从多个直角三角形中抽象出有用的直角三角形，选择适当的条件解直角三角形．

答案：．

解析：在rt△acd中解直角三角形求出ad的长，从而求出bd的长；在rt△bcd中由勾股定理求出bc的长；最后求出．

8．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖地点 在山这一侧的公路 （看成一条直线段）的延长线上，设想过点 作直线 的垂线 ，过点 作一直线（在山的旁边经过），与 相交于点 ，经过测量，，，求在直线 上距离 点多远的 处开挖（，精确到1 m）

直角三角形第 4 篇

教学建议

1．识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法。

2．点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法。

本节的重点和难点是直角三角形的解法。为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系。正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键。

3。 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化。

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中。

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素。

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长。

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

。

即得BC的长为。

又如，已知直角三角形斜边的长为35。42cm，一条直角边的长29。17cm，求另一条边所对的锐角的大小。

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具。

4。 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5。 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述

（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的。值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路。不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决。请看下例。

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好。），问题就转化为两个的问题。

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了。解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形。

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形。

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形。

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一。作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角。

6。 要善于把某些实际问题转化为问题。

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题。

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）。螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1。25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴。

即，螺纹的初始角约为 。

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力。