高中数学不等式讲解

这是高中数学不等式讲解，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中数学不等式讲解第 1 篇

　　教学目标:

　　通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.

　　知识与能力:

　　1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.

　　2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.

　　3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.

　　4.知道什么是不等式的解.

　　过程与方法:

　　1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.

　　2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.

　　3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.

　　4.通过习题巩固和加深对概念的理解.

　　情感、态度与价值观:

　　1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，从而培养其抽象思维能力.

　　2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.

　　3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.

　　4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，体验教学活动充满着探索性和创造性.

　　教学重、难点及教学突破

　　重点:不等式的概念和不等式的解的概念.

　　难点:对文字表述的数量关系能列出不等式.

　　教学突破:由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处.在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.

　　教学过程：

　　一.研究问题：

　　世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?

　　那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢

　　二.新课探究：

　　分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票?②若x<30,则又该如何买票呢?

　　结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?

　　概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,<,≥,≤.

　　2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.

　　3、不等式的分类：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.

　　⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.

　　三.基础训练.

　　例1、用不等式表示：⑴a是正数;⑵b不是负数;⑶c是非负数;⑷x的平方是非负数;⑸x的一半小于-1;⑹y与4的和不小于3.

　　注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;

　　⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.

　　例2、用不等式表示：⑴a与1的`和是正数;⑵x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.

　　例3、当x=2时，不等式x-1<2成立吗?当x=3呢?当x=4呢?

　　注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.

　　学生练习：课本P42练习1、2、3.

　　四.能力拓展

　　学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上(含50人)的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.

　　⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;

　　⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.

　　解：⑴按实际45人购票需付钱_________ 元，如果按50人购买团体票则需付钱50×12×80%=480元，所以购买团体票便宜.

　　⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，

　　由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：

　　x12x比较480与12x的大小48<12x成立吗?

　　30

　　40

　　41

　　42

　　由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.

　　五.小结:

　　⑴不等式的定义，不等式的解.

　　⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.

　　六.作业:课本P42习题8.1第1、2、3题.

　　补充题：

　　1.用不等式表示：

　　(1)与1的和是正数;(2)的与的的差是非负数;

　　(3)的2倍与1的和大于3;(4)的一半与4的差的绝对值不小于.

　　(5)的2倍减去1不小于与3的和;(6)与的平方和是非负数;

　　(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)减去5的差的绝对值不大于

　　2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元，小张存了85元.下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?(试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题1的探索，找出所列不等式的解)

　　3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元，(1)设从乙仓库调往A县农用车辆，用含的代数式表示总运费W元;(2)请你用尝试的方法，探求总运费不超过900元，共有几种调运方案?你能否求出总运费最低的调运方案.

高中数学不等式讲解第 2 篇

　　课标要求

　　知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;

　　过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式;

　　情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣; 识记 理解 应用 综合 知识点一：

　　基本不等式及其推导

　　过程 ∨ 知识点二：

　　基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;

　　2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。 教学情境一：

　　如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

　　会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

　　颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

　　问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 。

　　教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

　　我们考虑4个直角三角形的面积的和是 ，正方形的面积为 。

　　由图可知 ，即 .

　　当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

　　新知：若 ，则

　　教学情境二：

　　先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

　　再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

　　(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠).

　　假设两个正方形的面积分别为 和 ( )

　　问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗?

　　新知：若 ，则

　　问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗?

　　证明：因为 ，即 (当 时取等号)

　　(在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数)

　　证明：(分析法)：由于 ，于是要证明 ，

　　只要证明 ，

　　即证 ，即 ，

　　所以 ，(当 时取等号)

　　【板书】两个重要不等式

　　若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)

　　若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)

高中数学不等式讲解第 3 篇

　　教材分析

　　本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

　　课程目标分析

　　依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

　　1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重、难点分析

　　重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。

　　难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教法分析

　　本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

　　教学准备

　　多媒体课件、板书

　　教学过程

　　教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

　　具体过程安排如下：

　　创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式 。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　二、抽象归纳：

　　一般地，对于任意实数a，b，有 ，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[问] 你能给出它的证明吗?

　　学生在黑板上板书。

　　特别地，当a>0，b>0时，在不等式 中，以 、 分别代替a、b，得到什么?

　　设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

　　答案： 。

　　【归纳总结】

　　如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立。

　　我们称此不等式为基本不等式。 其中 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　若 ，则有 ，当且仅当a=b时， 。

　　[问] 怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

　　“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

高中数学不等式讲解第 4 篇

　　一、教材分析

　　1、本节教材的地位和作用

　　“基本不等式” 是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

　　2、 教学目标

　　(1)知识目标：探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。

　　(2)能力目标：培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?

　　(3)情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

　　3、教学重点、难点

　　根据课程标准制定如下的教学重点、难点

　　重点： 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

　　难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

　　二、教法说明

　　本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子，让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话，使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

　　三、学法指导

　　为更好的贯彻课改精神，合理的对学生进行素质教育，在教学中，始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析，指导学生解决问题，感受知识的形成过程，培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

　　四、教学设计

　　◆运用2002年国际数学家大会会标引入

　　◆运用分析法证明基本不等式

　　◆不等式的几何解释

　　◆基本不等式的应用

　　1、运用2002年国际数学家大会会标引入

　　如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。(展示风车)

　　正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，设AE=a，BE=b，则正方形的面积为S=__，Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=_

　　从图形中易得，s≥s’，即

　　问题1：它们有相等的情况吗?何时相等?

　　问题2：当 a，b为任意实数时，上式还成立吗?(学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解)

　　一般地，对于任意实数a、b，我们有

　　当且仅当(重点强调)a=b时，等号成立(合情推理)

　　问题3：你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)

　　设计意图

　　(1)运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

　　(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

　　(3)三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解.

　　2、运用分析法证明基本不等式

　　如果 a>0，b>0 ，

　　用 和 分别代替a，b。可以得到

　　也可写成

　　(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)

　　问题4：你能用不等式的性质直接推导吗?

　　要证 = 1 GB3 ①

　　只要证 = 2 GB3 ②

　　要证② ，只要证 = 3 GB3 ③

　　要证 = 3 GB3 ③ ，只要证 = 4 GB3 ④

　　显然， ④是成立的.当且仅当a=b时， 不等式中的等号成立.

　　(强调基本不等式取等的条件“等”)

　　设计意图

　　(1)证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神;

　　(2)证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解;

　　(3)此种证明方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

　　3、不等式的几何解释

　　如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a，CB=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连AD，BD，则CD= ，半径为

　　问题5： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解)

　　设计意图

　　几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

　　4、基本不等式的应用

　　例1.证明

　　(学生自己证明)

　　设计意图

　　(1)这道例题很简单，多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明，能够练习“分析法”证明不等式的过程;

　　(2)学生能够加深对基本不等式的理解，a和b不仅仅是一个字母，而是一个符号，它们可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一个多项式;

　　(3)此例不是课本例题，比课本例题简单，这样，循序渐进， 有利于学生理解不等式的内涵。

　　例2：(1)把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小?

　　(2)把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大?

　　(让学生分组合作、探究完成)