日期:2021-12-31
这是三角形全等8个基本图形,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
一、教材分析
本节课的教学内容是人教版数学八年级上册第十一章 《全等三角形》的第一节.这是全章的开篇,也是全等条件的基础.它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知识之后出现的.通过本节的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学习其他图形知识打好基础,具有承上启下的作用.
教材根据初中学生的认知规律和特点,采用由浅入深、由易到难、抓联系、促迁移的方法.通过生活中的实例创设情景,形成概念,再通过平移、翻折、旋转说明变换前后的两个三角形全等,进而得出全等三角形的相关概念及其性质.
二、教学目标分析
知识与技能
1.了解全等三角形的概念,通过动手操作,体会平移、翻折、旋转是考察两三角形全等的主要方法.
2.能准确确定全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的性质.
过程与方法
1.通过找出全等三角形的对应元素,培养学生的识图能力.
2.能利用全等三角形的概念、性质解决简单的数学问题.
情感、态度与价值观
通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,使学生勇于提出问题,乐于探索问题,同时注重培养学生善于合作交流的良好情感和积极向上的学习态度.
三、教学重点、难点
重点:全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.
难点:全等三角形对应元素的确定.
四、学情分析
学生在七年级时已经学过线段、角、相交线与平行线及三角形的有关知识,并学习了一些简单的说理,已初步具有对简单图形的'分析和辨识能力,但八年级的学生仍处于以形象思维为主要思维形式的时期.为了发展学生的空间观念,培养学生的抽象思维能力,本节课将充分利用动画演示,来揭示图形的平移、翻折和旋转等变换过程,以便让学生在观察、分析中获得大量的感性认识,进而达到对全等三角形的理性认识.
五、教法与学法
本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“人人都能获得必需的数学”的原则,博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长,借助多媒体手段引导学生观察、猜想和探究,促进学生自主学习,努力做到教与学的最优组合.
六、教学教程
Ⅰ.课题引入
1.电脑显示
问题:各组图形的形状与大小有什么特点?
一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。
归纳:能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.学生动手操作
⑴在纸板上任意画一个三角形ABC,并剪下,然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。
⑵问题:如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF,使它与△ABC全等?
(学生分组讨论、提出方法、动手操作)
3.板书课题:全等三角形
定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
“全等”用“≌”表示,读着“全等于”
如图中的两个三角形全等,记作:△ABC≌△DEF
Ⅱ.全等三角形中的对应元素
1. 问题:你手中的两个三角形是全等的,但是如果任意摆放能重合吗?该怎样做它们才能重合呢?
2.学生讨论、交流、归纳得出:
⑴.两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合,只有当把相同的角重合到一起(或相同的边重合到一起)时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
⑵.表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,这样便于确定两个三角形的对应关系。
Ⅲ. 全等三角形的性质
1.观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边
有什么关系?对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.
全等三角形的对应角相等.
2.用几何语言表示全等三角形的性质
如图:∵ABC≌ DEF
∴AB=DE,AC=DF,BC=EF
(全等三角形对应边相等)
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
(全等三角形对应角相等)
Ⅳ.探求全等三角形对应元素的找法
1.动画(几何画板)演示
(1).图中的各对三角形是全等三角形,怎样改变其中一个三角形的位置,使它能与另一个三角形完全重合?
归纳:两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻折、旋转的方法.
(2).说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角
归纳:从运动的角度可以很轻松地解决找对应元素的问题.可见图形转换的奇妙.
3. 归纳:找对应元素的常用方法有两种:
(1)从运动角度看
a.翻折法:一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合,从而发现对应元素.
b.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
c.平移法:沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(2)根据位置元素来推理
a.有公共边的,公共边是对应边;
b.有公共角的,公共角是对应角;
c.有对顶角的,对顶角是对应角;
d.两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;
e.两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角;
Ⅴ.课堂练习
练习1.△ABD≌△ACE,若∠B=25°, BD=6㎝,AD=4㎝,
你能得出△ACE中哪些角的大小,哪些边的长度吗?为什么 ?
练习2.△ABC≌△FED
⑴写出图中相等的线段,相等的角;
⑵图中线段除相等外,还有什么关系吗?请与同伴交
流并写出来.
Ⅵ.小结
1.这节课你学会了什么?有哪些收获?有什么感受?
2.通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,并且利用一些方法可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.
Ⅶ.作业
课本第92页1、2、3题
一、教材分析
本节课的教学内容是人教版数学八年级上册第十一章 《全等三角形》的第一节.这是全章的开篇,也是全等条件的基础.它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知识之后出现的.通过本节的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学习其他图形知识打好基础,具有承上启下的作用.
教材根据初中学生的认知规律和特点,采用由浅入深、由易到难、抓联系、促迁移的方法.通过生活中的实例创设情景,形成概念,再通过平移、翻折、旋转说明变换前后的两个三角形全等,进而得出全等三角形的相关概念及其性质.
二、教学目标分析
知识与技能
1.了解全等三角形的概念,通过动手操作,体会平移、翻折、旋转是考察两三角形全等的主要方法.
2.能准确确定全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的性质.
过程与方法
1.通过找出全等三角形的对应元素,培养学生的识图能力.
2.能利用全等三角形的概念、性质解决简单的数学问题.
情感、态度与价值观
通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,使学生勇于提出问题,乐于探索问题,同时注重培养学生善于合作交流的良好情感和积极向上的学习态度.
三、教学重点、难点
重点:全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.
难点:全等三角形对应元素的确定.
四、学情分析
学生在七年级时已经学过线段、角、相交线与平行线及三角形的有关知识,并学习了一些简单的说理,已初步具有对简单图形的'分析和辨识能力,但八年级的学生仍处于以形象思维为主要思维形式的时期.为了发展学生的空间观念,培养学生的抽象思维能力,本节课将充分利用动画演示,来揭示图形的平移、翻折和旋转等变换过程,以便让学生在观察、分析中获得大量的感性认识,进而达到对全等三角形的理性认识.
五、教法与学法
本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“人人都能获得必需的数学”的原则,博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长,借助多媒体手段引导学生观察、猜想和探究,促进学生自主学习,努力做到教与学的最优组合.
六、教学教程
Ⅰ.课题引入
1.电脑显示
问题:各组图形的形状与大小有什么特点?
一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。
归纳:能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.学生动手操作
⑴在纸板上任意画一个三角形ABC,并剪下,然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。
⑵问题:如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF,使它与△ABC全等?
(学生分组讨论、提出方法、动手操作)
3.板书课题:全等三角形
定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
“全等”用“≌”表示,读着“全等于”
如图中的两个三角形全等,记作:△ABC≌△DEF
Ⅱ.全等三角形中的对应元素
1. 问题:你手中的两个三角形是全等的,但是如果任意摆放能重合吗?该怎样做它们才能重合呢?
2.学生讨论、交流、归纳得出:
⑴.两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合,只有当把相同的角重合到一起(或相同的边重合到一起)时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
⑵.表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,这样便于确定两个三角形的对应关系。
Ⅲ. 全等三角形的性质
1.观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边
有什么关系?对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.
全等三角形的对应角相等.
2.用几何语言表示全等三角形的性质
如图:∵ABC≌ DEF
∴AB=DE,AC=DF,BC=EF
(全等三角形对应边相等)
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
(全等三角形对应角相等)
Ⅳ.探求全等三角形对应元素的找法
1.动画(几何画板)演示
(1).图中的各对三角形是全等三角形,怎样改变其中一个三角形的位置,使它能与另一个三角形完全重合?
归纳:两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻折、旋转的方法.
(2).说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角
归纳:从运动的角度可以很轻松地解决找对应元素的问题.可见图形转换的奇妙.
3. 归纳:找对应元素的常用方法有两种:
(1)从运动角度看
a.翻折法:一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合,从而发现对应元素.
b.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
c.平移法:沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(2)根据位置元素来推理
a.有公共边的,公共边是对应边;
b.有公共角的,公共角是对应角;
c.有对顶角的,对顶角是对应角;
d.两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;
e.两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角;
Ⅴ.课堂练习
练习1.△ABD≌△ACE,若∠B=25°, BD=6㎝,AD=4㎝,
你能得出△ACE中哪些角的大小,哪些边的长度吗?为什么 ?
练习2.△ABC≌△FED
⑴写出图中相等的线段,相等的角;
⑵图中线段除相等外,还有什么关系吗?请与同伴交
流并写出来.
Ⅵ.小结
1.这节课你学会了什么?有哪些收获?有什么感受?
2.通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,并且利用一些方法可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.
Ⅶ.作业
课本第92页1、2、3题
全等三角形教案全等三角形教案
1.只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
五、课堂小结
我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
六、布置作业
必做题:课本P44页习题12.2中的第6,选做题:第11题
七、板书设计
课 题 :12.2.4三角形全等的判定《4》
【教学目标】:
知识与技能:直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.
过程与方法:经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
情感态度与价值观:通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法.发展实践能力和创新精神
教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法:采用启发诱导,实例探究,讲练结合,小组合作等方法。
学情分析:这节课是学了全等三角形的边边边.边角边.角边角边后的一节课、根据直角三角形的特点、探讨出 “HL”.学生一定能理解。
课前准备 全等三角形纸片、三角板、
【教学过程】:
一、提出问题,复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法: 、 、 、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是 、 ,斜边是
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )
根据 (用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )
根据 (用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )
根据 (用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF
则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )
根据 (用简写法)
二 、创设情境,导入新课
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(播放)
(1)你能帮他想个办法吗?
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
(1)[生]能有两种方法.
第一种方法:用直尺量出斜边的长度,再用量角器量出其中一个锐角的大小,若它们对应相等,根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的.
第二种方法:用直尺量出不被遮住的直角边长度,再用量角器量出其中一个锐角的大小,若它们对应相等,根据“ASA”或“AAS”,可以证明这两个直角三角形全等.
可是,没有量角器,只有卷尺,那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长,可是它们又不是“两边夹一角的关系”,所以我没法判定它们全等.
[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的`直角边边长,发现它们对应相等,于是他判断这两个三角形全等.你相信吗?
三、探究
做一做:
已知线段AB=5c,BC=4c和一个直角,利用尺规做一个直角三角形,使∠C=90°,AB作为斜边.做好后,将△ABC剪下与同伴比较,看能发现什么规律?
(学生自主完成后,与同伴交流作图心得,然后由一名同学口述作图方法.老师做多媒体演示,激发学习兴趣).
作法:
第一步:作∠MCN=90°.
第二步:在射线CM上截取CB=4c.
第三步:以B为圆心,5c为半径画弧交射线CN于点A.
第四步:连结AB.
就可以得到所想要的Rt△ABC.(如下图所示)
将Rt△ABC剪下,同一组的同学做的三角形叠在一起,发现这些三角形全等.
可以验证,对一般的直角三角形也有这样的规律.
探究结果总结:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”和“HL”).
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢?
[生]直角三角形也是三角形,一般来说,可以用“定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法,但它又具有特殊性,还可以用“HL”的方法判定.
[师]很好,两直角三角形中由于有直角相等的条件,所以判定两直角三角形全等只须找两个条件,但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行.
四、例题:
[例1]如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. 求证:BC=AD.
分析:BC和AD分别在△ABC和△ABD中,所以只须证明△ABC≌△BAD,就可以证明BC=AD了.
证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴BC=AD.
[例2]有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系?
[师生共析]∠ABC和∠DFE分别在Rt△ABC和Rt△DEF中,已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系,所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等,显然,可以看出这两个角不相等,它们又是直角三角形中的锐角,是不是互余呢?我们试试看.
证明:在Rt△ABC和Rt△DEF中 又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90° 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
五、课时小结
至此,我们有六种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS) 3.边角边(SAS)
4.角边角(ASA) 5.角角边(AAS) 6.HL(仅用在直角三角形中)
六、布置作业
必做题: 课本P44页习题12.2中的第7,8,选做题:12,13题
七、板书设计
【课前准备】
1.定义:能够的两个三角形叫全等三角形。
2.全等三角形的性质,全等三角形的判定方法见下表。
【例题讲解】
一.挖掘“隐含条件”判全等
如图,△ABE≌△ACD,由此你能得到什么结论?(越多越好)
1.如图AB=CD,AC=BD,则△ABC≌△DCB吗?说说理由.
变式训练:AC=BD,∠CAB=∠DBA,试说明:BC=AD
2.如图点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O,
且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm,则∠CD的度数与BE的长。
3.如图若OB=OD,∠A=∠C,若AB=3cm,求CD的长。
变式训练2,如图AC=BD,∠C=∠D试说明:(1)AO=BO(2)CO=DO(3)BC=AD
二.添条件判全等
1.如图,已知AD平分∠BAC,要使△ABD≌△ACD,
根据“SAS”需要添加条件;
根据“ASA”需要添加条件;
根据“AAS”需要添加条件.
2.已知AB//DE,且AB=DE,
(1)请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF,
你添加的条件是.
三.熟练转化“间接条件”判全等
1.如图,AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE,△AFD与△CEB全等吗?
为什么?
2.如图,∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?为什么?
3.“三月三,放风筝”,如图是小明同学制作的风筝,他根据AB=AD,CB=CD,不用度量,他就知道∠ABC=∠ADC,请你用学过的知识给予说明.
巩固练习:如图,在中,,沿过点B的一条直线BE
折叠,使点C恰好落在AB变的中点D处,则∠A的度数.
4.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.说明:∠A=∠D
【当堂反馈】
1.(2006攀枝花市)如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为全等三角形是△≌△
2.如图,已知AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2,说明:BC=DE
3.如图,已知AB=DE,∠D=∠B,∠EFD=∠BCA,说明:AF=DC
4.等腰直角△ABC,其中AB=AC,∠BAC=90°,过B、C作经过A点直线L的`垂线,垂足分别为M、N
(1)你能找到一对三角形的全等吗?并说明.
(2)BM,CN,MN之间有何关系?
若将直线l旋转到如下图的位置,其他条件不变,那么上题的结论是否依旧成立?
【课后作业】
1.如图,要用“SAS”说明ΔABC≌ΔADC,若AB=AD,则需要添加的条件是.
要用“ASA”说明ΔABC≌ΔADC,若∠ACB=∠ACD,则需要添加的条件是.
2..如图,在ΔABC中,AD⊥BC,CE⊥AB.垂足分别为D.E,AD.CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使ΔAEH≌ΔCEB.
(第3题)
(第4题)(第5题)(第6题)
3.如图,已知AD平分∠BAC,AB=AC,则此图中全等三角形有()
A..2对B.3对C.4对D.5对
4.如图,ΔABC中,AB=AC,BE=EC,则由“SSS”可判定()
A.ΔABD≌ΔACDB.ΔABE≌ΔACEC.ΔBED≌ΔCEDD.以上答案都不对
5.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且其中一个是等腰三角形.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明).
6.如图,一个六边形钢架ABCDEF,由6条钢管连接而成,为使这一钢架稳固,请你用3条钢管使它不能活动,你能设计两种不同的方案吗?
7:如图11-9在△ABC中.⑴分别以AB、AC为边向形外作正方形ABDE、ACFG.
试说明:①CE=BG;②CE⊥BG;
⑵如图11-10分别以AB、AC为边向形外作正三角形△ABD、△ACE.
试说明:①CD=BE;②求CD和BE所成的锐角的度数.
【拓展延伸】
如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.(1)求证:MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
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