分式方程的应用教案人教版

这是分式方程的应用教案人教版，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

分式方程的应用教案人教版第 1 篇

　　教学目标

　　1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

　　2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法，第三册分式方程的应用。

　　教学重点和难点

　　重点：列分式方程解应用题.

　　难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.

　　教学过程设计

　　一、复习

　　例 解方程：

　　(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;

　　(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

　　解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得

　　2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

　　所以 x=6.

　　检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得

　　15(x+12)=30x.

　　解这个整式方程，得

　　x=12.

　　检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

　　(3)整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

　　即 2x+xx+3=1.

　　方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得

　　2(x+3)+x2=x(x+3),

　　即 2x+6+x2=x2+3x,

　　亦即 2x－3x=－6.

　　解这个整式方程，得 x=6.

　　检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　二、新课

　　例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

　　请同学根据题意，找出题目中的等量关系.

　　答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；

　　骑车的速度=步行速度的2倍；

　　骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.

　　请同学依据上述等量关系列出方程.

　　答案：

　　方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

　　15x=2×15 x+12.

　　方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

　　15x－15 2x=12.

　　解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.

　　方程两边都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15.

　　检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.

　　所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时.

　　答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.

　　指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间.

　　如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

　　速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.

　　例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?

　　分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

　　s=mt,或t=sm，或m=st.

　　请同学根据题中的等量关系列出方程.

　　答案：

　　方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为

　　2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

　　指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.

　　方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

　　2x+xx+3=1.

　　方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3.

　　用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.

　　三、课堂练习

　　1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.

　　2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.

　　答案：

　　1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.

　　2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.

　　四、小结

　　1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的'方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.

　　2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程

　　135 x+5－12：135x=2：5.

　　解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.

　　五、作业

　　1.填空：

　　(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；

　　(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;

　　(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.

　　2.列方程解应用题.

　　(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?

　　(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?

　　(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

　　(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.

　　答案：

　　1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.

　　2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.

　　(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.

　　(3)江水的流速为4千米／时.

分式方程的应用教案人教版第 2 篇

　　教学设计

　　教学目标:

　　1、知识技能目标：理解分式方程的“建模”思想，掌握实际应用的方法。

　　2、过程和方法：经历探索建立分式方程的模型，领会它的解题方法，发展学生的分析问题，解决问题的能力。

　　3、情感态度：培养学生积极的态度，增强他们的应用意识，体会数学建模的实际价值。 教学重点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结论。

　　教学难点：

　　寻求实际问题中的等量关系，正确地“建模”。

　　教学过程：

　　一、课前复习演练：

　　1、分式方程 的最简公分母是______。

　　2、如果 有增根，那么增根为______。

　　3、关于X的方程 的解是X=1/2，则a=______。

　　4、若分式方程 有增根X=2，则a=______。

　　5、解分式方程：（1） （2）

　　二、探索新知，讲授新课

　　（一）例题讲解 【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ 分析：甲队一个月完成总工程的1/3，设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的1/x，那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的____,两队半个月完成总工程的__________. 用式子表示上述的量之后，在考虑如何列出方程 解：设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的.1/x 记总工程量为1，根据题意，得 解之得 x=1 经检验知 x = 1 是原方程的解. 由上可知，乙队单独工作一个月就可以完成全部任务， 所以乙队施工速度快.

　　【例2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？ 思路点拨：明确这里的字母V、S表示已知量，可以根据行驶时间不变直接设提速前列车的平均速度是X千米/小时，列出方程。 解：设提速前着次列车的平均速度为X千米/时、则提速前它行驶S千米所用的时间为S/X小时，提速后列车的平均速度为（X+V）千米/时，提速后它运行（S+50）千米所用的时间为（S+50）/（X+V）小时。 根据题意得 S/X=（S+50）/（X+V） 解之得 X=SV/50 经检验，X=SV/50是原分式方程的解。 答：提速前列车的平均速度为SV/50千米/时

　　（二）师生共同总结用分式方程解应用题的方法和步骤： 方法：与列一元一次方程解应用题一样，着眼于找出应用题中的等量关系进行“建模”。

　　步骤

　　（1）弄清题意；

　　（2）找相等关系，建立模型

　　（3）设元(列出方程）

　　（4）解方程并且验根

　　（5）写出答案。

　　三、课堂演练：

　　[小试牛刀]： 某车间有甲、乙两个小组，家族的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？ [巩固训练]： 某校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程可在下午5点到达，后来由于把速度加快1/5，结果下午4点到达，求原计划行军的速度。 [拓展延伸]： 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队单独做一天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的2/3，求甲、乙两队单独完成各需多少天？

　　四、课时小结 将实际问题转化为数学模型，应把握哪些主要问题？

　　五、课后作业： 课本38页“习题16.3”第 2，5，7，8题。

　　《用分式方程解决实际问题》教学反思

　　1、教学设计中，对于例1、例2引导学生依据题意，找到等量关系，并引导学生依据等量关系列出方程。这样安排，意在启发学生思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供不广阔的空间。

　　2、教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。例1是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率)。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。

　　3、通过列分式方程解应用题教学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到了方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。通过找等量关系列方程，把已知量与假设的未知量平等看待，这就能“以假当真”。通过解方程求得问题的解，被假设的未知量x就变成了确定的量，从而“弄假成真”，使实际问题迎刃而解。

分式方程的实际应用第 3 篇

教学内容：列分式方程解决实际问题 教学目标：

1、会列出分式方程解决简单的实际问题

2、能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.教学重点：列分式方程解决实际问题

教学难点：根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理 教学方法：自主探究，合作交流 教学过程：

一、新课引入

甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？ 引导学生思考：

1、如果设甲一小时做X个零件,那么乙一小时做多少个零件？

2、甲做x个零件需要多少时间？乙做（x+6）个零件需要多少时间？

3、根据什么等量关系列方程呢？

二、新课探究

1、列分式方程解应用题的一般步骤

（1）.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.（2）.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.（3）.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.（4）.解:认真仔细解这个分式方程.（5）.验:检验.（6）.答:注意单位和语言完整.

2、例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 引导学生分析

甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的

,那么甲队 半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程

1的_______ .解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的

x .依题意得

方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，

解得 x=1.检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解

答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,

而甲队1个月完成总工程的

,可知乙队施工速度快.

3、例2 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？

分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，先考虑下面的填空： 提速前列车行驶s km所用的时间为

h，提速后列车的平均速度为

km/h，提速后列111++=1,362x车运行

km 所用时间为

h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程: 去分母得：s(x+v)=x (s+50) 去括号，得

sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得

50x=xv.解得

检验：由于v，s都是正数，

时x（x+v）≠0， 是原分式方程的解.

答：提速前列车的平均速度为

km/h.

4、跟踪训练

农机厂到距工厂15 km的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40 min，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.

三、随堂练习 （1）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10 km/h,张师傅奉命、用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2km所用时间与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相等.则该冲锋舟在静水中的最大航速为____.（2）某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____天(用含a的代数式表示)可完成此项工程; (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?

四、课堂小结

通过本课时的学习，需要我们

1.会列出分式方程解决简单的实际问题 ，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审:分析题意,找出数量关系和相等关系； (2)设:直接设法与间接设法； (3)列:根据等量关系,列出方程; (4)解:解方程,得未知数的值；

(5)检:有两次检验.①是否是所列方程的解;②是否满足实际意义. (6)答:注意单位和答案完整.

五、作业布置

教材P154第

3、

4、5题

分式方程的应用教案人教版第 4 篇

本小节是通过回顾章引言中的实际问题导入分式方程的概念，进而探索分式方程的解法．

由于已经学习过分式概念，教材直接列出方程并据此给出分式方程的概念，同时说明分式方程与整式方程的区别与联系．接着就给出一个“思考”---如何解分式方程？由于学生已经学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉．只需引导学生回顾整式方程的概念及解法，将分式方程转化成整式方程即可顺利求解，分式方程与整式方程的区别在于分式方程的未知数在分母中，而整式方程的未知数不在分母中．需要消除这种不同，可以通过在分式方程的两边乘最简公分母，这也是将分式方程化成整式方程的关键步骤．

通过对章引言问题的顺利解决，教材通过“归纳”栏目，给出解分式方程的基本思路及具体做法．

解分式方程与解整式方程的两个明显的区别就是：（1）一般来说，解分式方程时要通过去分母先转化为整式方程，这里的去分母过程不能保证新方程与原方程同解；（2）通过去分母得出的整式方程的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为0时，它才是分式方程的解．

教材接下来给出一个具体分式方程．在利用前面得出的通过“去分母”将分式方程化为整式方程后，得出的整式方程的解使分式方程中相应的分式无意义，教材适时给出了一个“思考”栏目，这个“思考”栏目提出的问题与检验的必要性以及如何检验有密切的关系．教材对增根的理论并未进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下会产生增根，然后归纳出检验增根的方法，值得注意的是，该方法是在解去分母后的整式方程的过程无误，所得解确实是整式方程的解的情况下适用的方法．

本节中的例1和例2是简单的解分式方程的题，通过它们可以使学生熟练掌握解分式方程的步骤及检验方法．其中例1是有解的情形，例2是无解的情形，由于本节只讨论可以化为一元一次方程（解的个数不超过1）的分式方程的解法，对于将分式方程化为整式方程后有多个解，那么对这些解都应进行检验，可能其中一些解是原分式方程的解，另一些是增根．

教材最后用框图形式给出了解分式方程的一般步骤．

本节课的教学重点是，解分式方程的基本方法和一般步骤．

本节课的教学难点是，了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．