高中数学复数公式

这是高中数学复数公式，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中数学复数公式第 1 篇

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

三、设计思想

1.教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2.学法

引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

五、教学重点与难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程(略)

高中数学复数公式第 2 篇

一． 复数

1.（1）复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.

（2）复数及其相关概念：

复数—>形如a + bi的数（其中a，b?R）；

实数—>当b = 0时的复数a + bi，即a；

虚数—>当b?0时的复数a + bi；

纯虚数—>当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.

复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

2、复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；

（2）减法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；

（3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i；

（4）除法：z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i； ?z2a22?b22

（5）四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况。

3、共轭复数与复数的模的几何意义

（1）若z=a+bi，则?a?bi，z?为实数，z?为纯虚数（b≠0）.

（2）复数z=a+bi的模，|z

且z??|z|2=a2+b2.

注：复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若

b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

二． 数列

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表

示。

用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。

2、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；

3、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A?a?b2

a，A，b成等差数列?A?a?b。 2

4、等差数列的前n和的求和公式：Sn?

5、等差数列的性质： n(a1?an)n(n?1)?na1?d。 22

（1）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d；

（2）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这．．．．．．

个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：an?1：an?q(q?0)

2．等比数列通项公式为：an?a1?qn?1(a1?q?0)。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则am?qm?n。 an

3．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列a1,a2,a3,?,an,?的前n项和是Sn?a1?a2?a3???an，当q?1

a1(1?qn)a?anq时，Sn? 或Sn?1；当q=1时，Sn?na1（错位相减法）。 1?q1?q

n说明：（1）（2）注意求和公式中是q，a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；

通项公式中是q不要混淆；（3）应用求和公式时q?1，必要时应讨论q?1的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果ann项，am是等差数列的第m项，且②对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av;

③若数列?an?Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列。

n?1m?nq，则有an?amqn?m； 三． 立体几何

立体几何公式

柱锥台的表面积计算公式：

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S圆柱侧=2?rl，S圆柱表=2?r(r?l)，其中为r圆柱底面半径，l为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为???3600，S圆锥侧=?rl， S圆锥表=?r(r?l)，其

中为r圆锥底面半径，l为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为??

S圆台表=?(r2?rl?Rl?R2).

rlR?r?3600，Sl圆台侧=?(r?R)l，

柱，锥，台的体积计算公式

1.根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式

柱体体积计算公式：V柱?Sh （S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱?Sh??r2h

2. 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式：给出锥体的体积计算公式：

1V锥?Sh S为底面面积，h为高） 3

3.台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高：给出台体的体积公式

：V台?(S'S)h （S，S分别上、下底面积，h为高）

13'

11V圆台?(S'S)h??(r2?rR?R2)h （r、R分别为圆台上底、下底半径） 33

?球的表面积为4?R2

4V??R3 球的体积为3

四． 统计

样本方差：s2=1/n[(x1-x￣)2+(x2-x￣)2+...+(xn-x￣)2] ；

看例题，理解方差、中位数、众数

例.某生产车间将10个零件的尺寸(单位：cm)用右面的茎叶图的方式记录下来，则它们的平均值和中位数分别是________，________.

解析：10个零件的尺寸数据如下：14,19,21,22,25,37,39,40,41,42，则平均数为30，中位数为31.

答案：30 31

例．(2010·福州模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：

甲 82 82 79 95 87

乙 95 75 80 90 85

(1)用茎叶图表示这两组数据；

(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

(3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．

解：(1)作出茎叶图如下：

(2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，

(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，

(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，

(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，

(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．

基本事件总数n＝25.

记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：

(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．

事件A包含的基本事件数m＝12.

m12所以P(A)＝n25

(3)派甲参赛比较合适．理由如下： x甲＝(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85， x乙＝(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，

222222＝[(79－85)＋(82－85)＋(82－85)＋(87－85)＋(95－85)]＝31.6， S甲515151222222＝－85)＋(80－85)＋(85－85)＋(90－85)＋(95－85)]＝50. S乙51∵x甲＝x乙，S甲＜S乙，（注意：方差计算公式）

∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

22

高中数学复数公式第 3 篇

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、

除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

15. 复 数 知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b?0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1?若z1?z2?0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2?若z1?z2，则z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的（当(a?b)2?i2，

(b?c)2?1,(c?a)2?0时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d?z1?z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.

由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：z?z0?r（r?0）.

⑵曲线方程的复数形式： ①z?z0?r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②z?z1?z?z2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.

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③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a?z1z2，此方程表示线段Z1，Z2）. ④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a?z1z2，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.

左边取等号的条件是z2??z1（??R，且??0），右边取等号的条件是z2??z1（??R，??0）. ②z1?z2?z1?z2?z1?z2.

左边取等号的条件是z2??z1（??R，??0），右边取等号的条件是z2??z1（??R，??0）. 注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.

3. 共轭复数的性质：

z?z z1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] n?z?z?z?z...z(n?N) 4 ⑴①复数的乘方：?????

n

②对任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i2??1,i4?1若由i?21142(i)?12?1就会得到?1?1的错误结论.

②在实数集成立的|x|?x2. 当x为虚数时，|x|?x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

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in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,

若1?i1?i?i,??i 1?i1?i1

1?是的2立n方n?1虚n?2数根，即????,1?????0,??????0(n?Z)则 ? .

5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

①z?R?z?z.

②若z?0，z是纯虚数?z?z?0.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. ?3?1,?2?,??12i2，

注：|z|?|z|.

6. ⑴复数的三角形式：z?r(cos??isin?).

辐角主值：?适合于0≤?＜2?的值，记作argz.

注：①z为零时，argz可取[0,2?)内任意值.

②辐角是多值的，都相差2?的整数倍.

③设a?R?,则arga?0,arg(?a)??,argai?

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos???3,arg(?ai)??. 22ab,sin??. rr

⑶几类三角式的标准形式：

r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]

?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(sin??icos?)?r??)?i??)] 22

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)时，应注意下述问题：

①当a,b,c?R时，若?＞0，则有二不等实数根x1,2?

x1,2???b??；若?=0，则有二相等实数根2a???b??|ib；若?＜0，则有二相等复数根x1,2?（x1,2为共轭复数）. 2a2a

②当a,b,c不全为实数时，不能用?方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

高中数学复数公式第 4 篇

教学目标

(1)把握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;

(2)理解并把握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;

(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;

(4)通过学习平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;

(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不轻易接受。

三、教学建议

(1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.

(2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).

(3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量.

(4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释轻易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.

(5)讲解了教材例2后,应强调 (注重:这里 是起点, 是终点)就是同复数 - 对应的向量.点 , 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 - 的模,即 .

例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 与 ( )点间的距离就是复数 的模,它等于 。

教学设计示例

复数的减法及其几何意义

教学目标

1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义.

2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.

3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).

教学重点和难点

重点:复数减法法则.

难点:对复数减法几何意义理解和应用.

教学过程设计

(一)引入新课

上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)

(二)复数减法

复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( i)( i)=( ) ( )i,

1.复数减法法则

(1)规定:复数减法是加法逆运算;

(2)法则:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈R).

把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推导这个法则.

( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.

推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.

推导:设( i)( i)= i( , ∈R).即复数 i为复数 i减去复数 i的差.由规定,得( i) ( i)= i,依据加法法则,得( ) ( )i= i,依据复数相等定义,得

故( i)( i)=( ) ( )i.这样推导每一步都有合理依据.

我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是确定的复数.

复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.

(三)复数减法几何意义

我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?

设z= i( , ∈R),z1= i( , ∈R),对应向量分别为 , 如图

由于复数减法是加法的逆运算,设z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数zz1的差( ) ( )i对应,如图.

在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量 2吗?

还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与zz1差对应.向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量.

能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

(四)应用举例

在直角坐标系中标Z1(2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).

例2根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.

解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2z1的模.假如用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2z1|.

例3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.

(1)|z1i|=|z 2 i|;

方程左式可以看成|z(1 i)|,是复数Z与复数1 i差的模.

几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z(2i)|,是复数z与复数2i差的模,也就是动点Z与定点(2,1)间距离.这个方程表示的是到两点( 1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点( 1,1),(2,1)为端点的线段的垂直平分线.

(2)|z i| |zi|=4;

方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到两个定点(0,1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.

(3)|z 2||z2|=1.

这个方程可以写成|z(2)||z2|=1,所以表示到两个定点(2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.

由z1z2几何意义,将z1z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.

例4 设动点Z与复数z= i对应,定点P与复数p= i对应.求

(1)复平面内圆的方程;

解:设定点P为圆心,r为半径,如图

由圆的定义,得复平面内圆的方程|zp|=r.

(2)复平面内满足不等式|zp|解:复平面内满足不等式|zp|(五)小结

我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题.

(六)布置作业P193习题二十七:2,3,8,9.

探究活动

复数等式的几何意义

复数等式 在复平面上表示以 为圆心,以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。

分析与解

1. 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。

2. 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。

3. 复数等式 在复平面上表示一条线段。

4. 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。

5. 复数等式 在复平面上表示原点为O、 构成一个矩形。

说明复数与复平面上的点有一一对应的关系,假如我们对复数的代数形式工(几何意义)之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的把握。