高中数学复数的三角表示

这是高中数学复数的三角表示，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

高中数学复数的三角表示第 1 篇

这要归功于欧拉公式：

欧拉公式

当theta = pi时，欧拉公式演变为-1 + 0 = e^{ipi}即e^{ipi}+1=0，被评为“最美数学公式”。

当theta = 2pi时，欧拉公式演变为1 + 0 = e^{2ipi}即(e^{ipi})^2=1。

当theta = frac{pi}{2}时，演变为i = e^{i frac{pi}{2}};

复数的表示

复数的二维解析表达式是z = x + text{i}y，其中x是实部，y是虚部。

如果使用极坐标，模为r幅角为theta的复数可以表示为z=r(cos theta + text{i} sin theta)。

在复平面中绘制单位圆，原点到圆周上的点长度都是1，构成的向量是“单位向量”。圆周上的点对应的复数都叫“单位复数”。

当复数模为1时（即x^2+y^2=1），z=cos theta + text{i} sin theta，就是欧拉公式的一边。

代入欧拉公式，z=r(cos theta + text{i} sin theta) = r e^{itheta}。

我们重新表达一下离散傅里叶变换DFT入门中x^8=1的8个单位复根

高中数学复数的三角表示第 2 篇

知识点：

一、三角运算：

复数除法

复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

一、选择题

1．复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z2z1)的值为(

　　)

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

2．复数－12＋3)2i的三角形式是(

　　)

A．cos 60°＋isin 60° B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60° D．cos 120°＋isin 120°

3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(

　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．形状不能确定

4．复数cos π3＋isin π3经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于(

　　)

A．3 B．12

C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)

5．复数z＝cosπ15＋isinπ15是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为(

　　)

A.3)2＋12i B.12＋3)2i

C．－3)2－12i D．－12－3)2i

6．(探究题)若复数as4alco1((1＋i1－i))n为实数，则正整数n的最小值是(

　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

7．设z＝1＋i，则复数z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．

9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．

课件：

教案：

教学课时：共2课时（第1课时）

教学目标：

1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

教学过程：

一、情境与问题

问题1：

设复数

在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量

？

问题2：

记r为向量

的模，

是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出

的任意一个值．

问题3：

小组讨论r、

与

的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

【学生活动】：

1、阅读教材43页尝试与发现．

2、回答文章中提出的问题．

3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

【设计意图】：

引导学生自主思考复数的r、

与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

二、新知探究

问题1：

是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、

与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、

表示复数？

【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、

与之间的关系．

【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、

与之间的关系，将

推广到z=a+bi．

问题2：

复数三角形式的定义是什么？

【学生活动】

尝试总结复数三角形式的定义．

【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中

，θ为复数z的辐角．

问题3：

辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

以Ox轴正半轴为始边，向量

所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2

的整数倍．[0，2

）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

【学生活动】思考并讨论．

【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

【学生活动】学生思考并总结．

【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

三、例题示范

例1（教材44页例1）

考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

例2：（教材48页习题10-3A第一题）

把下列复数化为代数形式．

考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

思路分析：打开括号，直接整理即可．

解：

解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

四、知能训练

1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

考查意图：复数的辐角

2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

五、归纳总结

1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

5、作业建议：

48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

49页习题10-3B第2题

高中数学复数的三角表示第 3 篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　本单元的知识结构：

　　本单元建议用2课时：第一课时，复数的三角表示式；第二课时，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　2. 内容解析

　　复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续和深化.复数的三角表示沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，同时为学生今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础，可见本单元的内容在高中数学乃至大学数学课程中起着承前启后的作用.

　　复数的三角表示，实际上是用有序数对（r,）来确定一个复数z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.复数的三角形式与代数形式有着紧密联系，可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；基于复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，因此复数的三角表示是本单元的基础.由复数乘法运算的三角表示可以推导出复数除法运算的三角表示.复数乘、除运算的三角表示不仅形式简洁，给复数的乘、除运算带来了便利，而且它们的几何意义明显，实际上，复数乘、除运算三角表示的几何意义就是平面向量的旋转和伸缩.借助复数乘、除运算三角表示的几何意义，可以将一些复数、三角和平面几何问题转化为向量问题去解决. 因此，复数乘、除运算的三角表示式及其几何意义在本单元中具有重要地位.

　　本单元内容突出了复数的三角表示和乘、除运算的几何意义，体现了形与数的融合，如复数的三角表示是从向量出发，借助数形结合，利用三角函数知识推导得出的；复数的乘、除运算可以借助三角表示的几何意义转化为向量的旋转和伸缩变换；等.此外，本单元的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如复数的三角形式和代数形式可以互相转化，复数除法运算的三角表示可以转化为复数乘法运算的三角表示，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决，某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等.再有，本单元在研究过程中也运用了类比的研究方法，如三角表示的两个复数相等的充要条件是类比代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的，等.运用好本单元的相关知识素材，让学生体会这些数学思想和方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.

　　基于以上分析，确定本单元的教学重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，以及这些内容所体现的数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法.

　　二、目标和目标解析

　　1. 目标

　　（1）了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.

　　（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.

　　（3）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　（4）在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

　　2. 目标解析

　　

　　达成目标（2）的标志是：学生能根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化；能够类比复数代数形式表示的两个复数相等的充要条件得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件，并会判断两个用三角形式表示的复数是否相等.

　　达成目标（3）的标志是：学生能根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式推导出复数乘法运算的三角表示式，并能用文字语言阐述其含义；能根据复数乘法运算的三角表示，得出复数乘法的几何意义；会类比复数乘法运算的三角表示及其几何意义得出复数除法运算的三角表示及其几何意义；会依据复数乘、除运算的三角表示及其几何意义进行相关的计算，能解决简单的复数、三角和平面向量问题.

　　达成目标（4）的标志是：在教师的引导下，学生能够运用数形结合的思想，探究复数三角表示式和复数乘、除运算几何意义；在复数除法运算三角表示的推导过程中，能体会化归与转化的思想；能够运用类比的方法，探究两个三角表示的复数相等的充要条件，探究复数除法运算三角表示的几何意义；在复数三角形式和代数形式的互化过程中，能感受事物之间在一定条件下可以互相转化的辩证唯物主义观点.

　　三、教学问题诊断分析

　　在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点z(a,b)以及向量的一一对应关系；掌握了复数乘、除运算的运算法则，为本单元学习复数的三角表示奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，而且有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和余弦函数就是复数的三角表示式.因此，探究和理解复数的三角表示式有一定难度.

　　在能力基础上，学生通过高一上学期的学习，对高中数学学习中常用的基本数学思想方法已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也知道类比是研究数学问题的一种常用的方法，但在实际应用中，学生运用起来还不够熟练，而且往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题，所以在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍.

　　在学习态度上，由于高考不涉及本单元的内容，所以学生在重视程度上可能不够，需要教师设置比较好的问题情境，并指出学习本节内容的重要意义和价值，从而激发学生的学习兴趣和学习主动性.

　　综上所述，本单元的教学难点为：

　　（1）探究、理解复数的三角表示式；

　　（2）对复数乘、除运算三角表示几何意义的理解.

　　对于难点（1），在讲解本单元的第一课时前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量和三角函数的联系性，这是突破难点的一个重要举措；探究出复数的三角表示式后，让学生明晰复数三角表示式的基本结构特征，这样有助于学生理解复数的三角表示式.

　　

　　四、教学支持条件分析

　　利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具有助于帮助学生探究并理解辐角.例如，可以使用信息技术工具画出平面向量表示的复数z=a+bi，让学生通过观察、比较，初步确定可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角刻画平面向量的方向；然后改变复数对应的平面向量的位置（在不同象限或在实轴、虚轴上），进行动态演示，感受选择来刻画平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通过上述图形，让学生直观感受复数a+bi与平面向量的对应关系，体会辐角的多值性和辐角主值的唯一性.

　　在复数乘、除运算的三角表示几何意义的教学中，也可使用几何画板、GeoGebra等信息技术工具，使学生感受两个复数相乘（或相除）时，模和辐角的变化情况，从而加深学生对几何意义的理解.

　　五、教学过程设计

　　第一课时

　　7.3.1 复数的三角表示式

　　（一）课时教学内容

　　复数的三角表示式

　　（二）课时教学目标

　　1. 了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.

　　2. 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.

　　（三）教学重点与难点

　　教学重点：复数的三角表示式

　　教学难点：复数的三角表示式

　　（四）教学过程设计

　　引言：前面我们已经学习了复数及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧.

　　1. 温故知新，奠定基础

　　问题1 前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么.

　　师生活动：学生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)称为复数，以及复数的两种几何意义：复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应；复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应.

　　追问1：你能在复平面内用平面向量表示z=a+bi吗？

　　师生活动：学生回答，教师利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具或在黑板上画出复数z=a+bi对应的平面向量.

　　追问2：已知平面向量=(a,b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？

　　师生活动：学生思考并回答，由于复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应，所以已知平面向量=(a,b)能唯一确定与之对应的复数，其表达式为z=a+bi.教师总结，复数z可以由向量的坐标(a,b)唯一确定.

　　设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础.温故知新，激活学生已有的知识储备，为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础.

　　2. 引导探究，得出概念

　　问题2 我们知道复数z=a+bi可以由向量的坐标(a,b)唯一确定，向量既可以由它的坐标(a,b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？

　　追问1：你认为为了解决问题2，首先应研究什么？

　　师生活动：学生在教师的引导下，观察图形、思考讨论，发现解决问题2的首要环节是，应定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量的大小可以用复数的模来表示，向量的方向可以借助角来表示.

　　追问2：如何用文字语言表述角呢？

　　师生活动：学生思考回答，可能给出的表述不很确切. 教师逐渐引导纠正，逐步得出：角是以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角.

　　设计意图：利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式奠基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节.

　　追问3： 你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？

　　师生活动：让学生分组讨论.学生利用复数的向量表示的图形（图1），容易得出：

　　

　　设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r和角与平面向量的坐标(a,b)的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想. 这是得出复数三角表示式的另一个关键环节.

　　追问4： 刚才我们画的图形，角的终边落在第一象限，得到a+bi=r(cos+isin)，这个式子是否具有一般性呢？即：若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？

　　师生活动：教师借助几何画板、GeoGebra和PPT等软件，改变平面向量的位置，让学生观察分析，得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有a+bi=r().教师指出r()叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称为三角形式，并板书复数的三角表示式，介绍辐角的概念，说明辐角既可以用弧度表示，也可以用角度表示.最后指出为了与三角形式区分开，把叫a+bi做复数的代数表示式，简称代数形式.

　　设计意图：让学生分析角的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力.

　　问题3 一个复数的辐角的值有多少个？

　　师生活动：学生结合图1，观察思考回答.利用终边相同的角的特点，容易得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个.

　　追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？

　　师生活动：学生思考回答，因为任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差的整数倍.

　　追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？

　　师生活动：教师引导学生分析，对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0.

　　设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性.

　　问题4 在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？

　　

　　追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？

　　师生活动：学生思考回答，一个非零复数的辐角主值有且只有一个.教师总结：每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值.

　　设计意图：给出辐角的主值的概念和取值范围.让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利.

　　3. 概念辨析，加深理解

　　

　　设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特征作出判断.

　　例1 判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

　　师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并进行个别指导，学生都完成后进行反馈交流，教师帮助更正错误，指导学生依据复数三角表示式的结构特征进行反思，并总结：熟练应用三角函数的诱导公式进行恒等变换，是将复数的非三角表示式转化为三角表示式的一个关键环节.

　　设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法.

　　4. 概念应用，巩固新知

　　例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

　　师生活动：先由学生思考发言，师生共同总结解题的基本思路，教师板书第1小题，学生书写第2小题完整的解题步骤.

　　教师总结解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要借助数形结合解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cos或sin求辐角.

　　设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；更为重要的是借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法.

　　例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

　　师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生都完成后请学生展示交流. 教师指导学生反思：应注意辐角的值不只一个，写出的辐角可以是辐角的主值，也可以不是，它们相差的整数倍.

　　设计意图：例3主要有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r,的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对(r,)来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法.

　　问题6 两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？

　　师生活动：引导学生利用类比的方法思考、回答.教师可以引导学生按照下面的思路进行探究：两个复数相等两个复数对应的向量相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等.

　　通过推理，顺理成章地得出结论.

　　设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性.

　　5. 课后作业

　　教科书习题7.3 第1，2题.

　　（五） 目标检测设计

　　1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

　　设计意图：考查学生将复数的代数形式化为三角形式的能力．

　　2. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.

　　设计意图：考查学生对复数三角形式的掌握程度．

　　3. 将下列复数表示成代数形式：

　　设计意图：考查学生将复数的三角形式化为代数形式的能力.

　　第二课时

　　7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

　　（一）课时教学内容

　　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　（二）课时教学目标

　　1. 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　2. 在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

　　（三）教学重点与难点

　　教学重点：复数乘、除运算的三角表示

　　教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　（四）教学过程设计

　　引言：在7.2节，我们研究了复数代数形式的四则运算，上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式——三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示？下面我们就一起来研究这个问题.

　　1.知识回顾

　　问题1 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？

　　师生活动：学生回忆后回答：

　　设a，b,c,d∈R，则

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

　　设计意图：复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫.

　　2.复数乘法运算的三角表示及几何意义的探究及应用

　　问题2 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法——三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？

　　师生活动：教师给学生充分的自主活动的时间，学生经过独立思考和演算后，由学生汇报交流，教师及时补充或纠正错误，师生共同完成复数加法和乘法是否能用三角形式表示的探究过程.发现：一般说来复数的加法不便表示成三角形式；复数的乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为：

　　教师板书复数乘法的三角表示公式.

　　追问2：复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法运算是否能用三角形式来表示？

　　师生活动：教师侧重引导学生，将复数的减法运算转化为加法运算，学生类比探究复数的加法是否能用三角形式表示的过程，容易发现：一般说来，复数的减法不便表示成三角形式.

　　设计意图：让学生独立思考、自主探究，经历复数乘法的三角表示公式得出的过程，从中进一步体会复数和三角之间的紧密联系.

　　问题3 你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？

　　师生活动：学生回答，教师补充完善.得出：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.可以简述为“模相乘，辐角相加”.

　　设计意图：培养学生的语言表达能力，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示公式的理解.

　　问题4 我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义.请你利用复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试.

　　师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助几何画板、GeoGebra等软件画出对应的向量，演示乘法运算的过程，学生归纳得出复数乘法运算三角表示的几何意义（图2）.

　　设计意图：让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时也培养学生的自主学习能力和合作意识.

　　师生活动：学生独立做题，教师巡视答疑，学生完成后利用多媒体进行交流展示.教师指导学生反思：运用复数乘法的三角表示式进行运算的前提是，给出的复数必须都是三角形式，然后才能利用“模数相乘，辐角相加”的算法进行运算. 教学中应提醒学生：当不要求把计算结果化为复数的代数形式时，也可以直接用三角形式表示结果.

　　设计意图：让学生运用复数乘法的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义.

　　设计意图：让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法的几何意义解决问题的便捷性.

　　3. 复数除法运算的三角表示及几何意义的探究与应用

　　问题6 除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？

　　师生活动：教师引导，学生讨论，得出将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），学生自己推导得出复数除法运算三角表示公式，教师板书公式：

　　用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

　　追问：你还有其他的推导方法吗？

　　师生活动：教师引导，学生思考回答。也可以通过 “分数”运算直接推导得出：

　　设计意图：在复数乘法运算三角表示的基础上，引导学生借助已有知识和运算技巧推导复数除法运算的三角表示，体会化归与转化和类比的数学思想，提升数学运算素养.

　　追问：若模伸长或缩短倍呢？

　　师生活动：学生思考回答，教师借助几何画板、GeoGebra等软件演示，帮助学生理解. 教师总结：利用复数乘、除运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题，反之亦然.

　　设计意图：让学生思考复数乘、除运算几何意义的反向应用，培养逆向思维能力，进一步感受平面向量和复数之间可以互相转化的关系.

　　4. 课堂练习

　　（1）教科书第89页练习1（1）（3）.

　　（2）教科书第89页练习2（1）（2）.

　　5. 单元小结

　　（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程，并说说研究方法.

　　（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？

　　（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？它是怎么得出的？

　　（4）复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么？它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法.

　　（5）简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有什么优势？分别适合哪些运算？

　　师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.

　　是利用复数的几何意义，借助数形结合进行探究.回顾研究过程和研究方法有利于培养学生思维的严谨性，积累基本的数学活动经验.

　　（2）让学生进一步理解复数三角表示式和辐角、辐角的主值等核心概念.使学生对概念形成清晰的认识，有利于复数三角形式的后续应用.

　　（3）让学生进一步明确两个复数相等的充要条件，体会类比的研究方法.

　　（4）让学生进一步明确复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，进一步体会类比、化归与转化、数形结合等数学思想方法.有利于提升学生直观想象、逻辑推理等素养.

　　（5）通过比较，让学生体会复数代数形式和三角形式各自的特点，体会复数的三角形式给复数的乘、除运算带来的便利，以及复数三角形式与平面向量、三角函数之间的紧密联系.

　　6. 课后作业：

　　习题7.3第3，4，6，7，8题

　　（五）目标检测设计

　　1. 计算下列各式，并做出几何解释：

　　设计意图：考查学生对复数乘除运算的三角表示式及其几何意义的掌握程度．

　　2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）.

　　设计意图：考查学生对复数除法运算几何意义的了解和应用.

高中数学复数的三角表示第 4 篇

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　本单元的知识结构：

　　本单元建议用2课时：第一课时，复数的三角表示式；第二课时，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　2. 内容解析

　　复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续和深化.复数的三角表示沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，同时为学生今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础，可见本单元的内容在高中数学乃至大学数学课程中起着承前启后的作用.

　　复数的三角表示，实际上是用有序数对（r,）来确定一个复数z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.复数的三角形式与代数形式有着紧密联系，可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；基于复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，因此复数的三角表示是本单元的基础.由复数乘法运算的三角表示可以推导出复数除法运算的三角表示.复数乘、除运算的三角表示不仅形式简洁，给复数的乘、除运算带来了便利，而且它们的几何意义明显，实际上，复数乘、除运算三角表示的几何意义就是平面向量的旋转和伸缩.借助复数乘、除运算三角表示的几何意义，可以将一些复数、三角和平面几何问题转化为向量问题去解决. 因此，复数乘、除运算的三角表示式及其几何意义在本单元中具有重要地位.

　　本单元内容突出了复数的三角表示和乘、除运算的几何意义，体现了形与数的融合，如复数的三角表示是从向量出发，借助数形结合，利用三角函数知识推导得出的；复数的乘、除运算可以借助三角表示的几何意义转化为向量的旋转和伸缩变换；等.此外，本单元的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如复数的三角形式和代数形式可以互相转化，复数除法运算的三角表示可以转化为复数乘法运算的三角表示，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决，某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等.再有，本单元在研究过程中也运用了类比的研究方法，如三角表示的两个复数相等的充要条件是类比代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的，等.运用好本单元的相关知识素材，让学生体会这些数学思想和方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.

　　基于以上分析，确定本单元的教学重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，以及这些内容所体现的数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法.

　　二、目标和目标解析

　　1. 目标

　　（1）了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.

　　（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.

　　（3）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　（4）在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

　　2. 目标解析

　　

　　达成目标（2）的标志是：学生能根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化；能够类比复数代数形式表示的两个复数相等的充要条件得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件，并会判断两个用三角形式表示的复数是否相等.

　　达成目标（3）的标志是：学生能根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式推导出复数乘法运算的三角表示式，并能用文字语言阐述其含义；能根据复数乘法运算的三角表示，得出复数乘法的几何意义；会类比复数乘法运算的三角表示及其几何意义得出复数除法运算的三角表示及其几何意义；会依据复数乘、除运算的三角表示及其几何意义进行相关的计算，能解决简单的复数、三角和平面向量问题.

　　达成目标（4）的标志是：在教师的引导下，学生能够运用数形结合的思想，探究复数三角表示式和复数乘、除运算几何意义；在复数除法运算三角表示的推导过程中，能体会化归与转化的思想；能够运用类比的方法，探究两个三角表示的复数相等的充要条件，探究复数除法运算三角表示的几何意义；在复数三角形式和代数形式的互化过程中，能感受事物之间在一定条件下可以互相转化的辩证唯物主义观点.

　　三、教学问题诊断分析

　　在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点z(a,b)以及向量的一一对应关系；掌握了复数乘、除运算的运算法则，为本单元学习复数的三角表示奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，而且有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和余弦函数就是复数的三角表示式.因此，探究和理解复数的三角表示式有一定难度.

　　在能力基础上，学生通过高一上学期的学习，对高中数学学习中常用的基本数学思想方法已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也知道类比是研究数学问题的一种常用的方法，但在实际应用中，学生运用起来还不够熟练，而且往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题，所以在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍.

　　在学习态度上，由于高考不涉及本单元的内容，所以学生在重视程度上可能不够，需要教师设置比较好的问题情境，并指出学习本节内容的重要意义和价值，从而激发学生的学习兴趣和学习主动性.

　　综上所述，本单元的教学难点为：

　　（1）探究、理解复数的三角表示式；

　　（2）对复数乘、除运算三角表示几何意义的理解.

　　对于难点（1），在讲解本单元的第一课时前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量和三角函数的联系性，这是突破难点的一个重要举措；探究出复数的三角表示式后，让学生明晰复数三角表示式的基本结构特征，这样有助于学生理解复数的三角表示式.

　　

　　四、教学支持条件分析

　　利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具有助于帮助学生探究并理解辐角.例如，可以使用信息技术工具画出平面向量表示的复数z=a+bi，让学生通过观察、比较，初步确定可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角刻画平面向量的方向；然后改变复数对应的平面向量的位置（在不同象限或在实轴、虚轴上），进行动态演示，感受选择来刻画平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通过上述图形，让学生直观感受复数a+bi与平面向量的对应关系，体会辐角的多值性和辐角主值的唯一性.

　　在复数乘、除运算的三角表示几何意义的教学中，也可使用几何画板、GeoGebra等信息技术工具，使学生感受两个复数相乘（或相除）时，模和辐角的变化情况，从而加深学生对几何意义的理解.

　　五、教学过程设计

　　第一课时

　　7.3.1 复数的三角表示式

　　（一）课时教学内容

　　复数的三角表示式

　　（二）课时教学目标

　　1. 了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.

　　2. 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.

　　（三）教学重点与难点

　　教学重点：复数的三角表示式

　　教学难点：复数的三角表示式

　　（四）教学过程设计

　　引言：前面我们已经学习了复数及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示.复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧.

　　1. 温故知新，奠定基础

　　问题1 前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么.

　　师生活动：学生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)称为复数，以及复数的两种几何意义：复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应；复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应.

　　追问1：你能在复平面内用平面向量表示z=a+bi吗？

　　师生活动：学生回答，教师利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具或在黑板上画出复数z=a+bi对应的平面向量.

　　追问2：已知平面向量=(a,b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？

　　师生活动：学生思考并回答，由于复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应，所以已知平面向量=(a,b)能唯一确定与之对应的复数，其表达式为z=a+bi.教师总结，复数z可以由向量的坐标(a,b)唯一确定.

　　设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础.温故知新，激活学生已有的知识储备，为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础.

　　2. 引导探究，得出概念

　　问题2 我们知道复数z=a+bi可以由向量的坐标(a,b)唯一确定，向量既可以由它的坐标(a,b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？

　　追问1：你认为为了解决问题2，首先应研究什么？

　　师生活动：学生在教师的引导下，观察图形、思考讨论，发现解决问题2的首要环节是，应定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量的大小可以用复数的模来表示，向量的方向可以借助角来表示.

　　追问2：如何用文字语言表述角呢？

　　师生活动：学生思考回答，可能给出的表述不很确切. 教师逐渐引导纠正，逐步得出：角是以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角.

　　设计意图：利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式奠基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节.

　　追问3： 你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？

　　师生活动：让学生分组讨论.学生利用复数的向量表示的图形（图1），容易得出：

　　

　　设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r和角与平面向量的坐标(a,b)的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想. 这是得出复数三角表示式的另一个关键环节.

　　追问4： 刚才我们画的图形，角的终边落在第一象限，得到a+bi=r(cos+isin)，这个式子是否具有一般性呢？即：若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？

　　师生活动：教师借助几何画板、GeoGebra和PPT等软件，改变平面向量的位置，让学生观察分析，得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有a+bi=r().教师指出r()叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称为三角形式，并板书复数的三角表示式，介绍辐角的概念，说明辐角既可以用弧度表示，也可以用角度表示.最后指出为了与三角形式区分开，把叫a+bi做复数的代数表示式，简称代数形式.

　　设计意图：让学生分析角的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力.

　　问题3 一个复数的辐角的值有多少个？

　　师生活动：学生结合图1，观察思考回答.利用终边相同的角的特点，容易得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个.

　　追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？

　　师生活动：学生思考回答，因为任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差的整数倍.

　　追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？

　　师生活动：教师引导学生分析，对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0.

　　设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性.

　　问题4 在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？

　　

　　追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？

　　师生活动：学生思考回答，一个非零复数的辐角主值有且只有一个.教师总结：每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值.

　　设计意图：给出辐角的主值的概念和取值范围.让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利.

　　3. 概念辨析，加深理解

　　

　　设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特征作出判断.

　　例1 判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

　　师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并进行个别指导，学生都完成后进行反馈交流，教师帮助更正错误，指导学生依据复数三角表示式的结构特征进行反思，并总结：熟练应用三角函数的诱导公式进行恒等变换，是将复数的非三角表示式转化为三角表示式的一个关键环节.

　　设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法.

　　4. 概念应用，巩固新知

　　例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

　　师生活动：先由学生思考发言，师生共同总结解题的基本思路，教师板书第1小题，学生书写第2小题完整的解题步骤.

　　教师总结解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要借助数形结合解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cos或sin求辐角.

　　设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；更为重要的是借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法.

　　例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

　　师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生都完成后请学生展示交流. 教师指导学生反思：应注意辐角的值不只一个，写出的辐角可以是辐角的主值，也可以不是，它们相差的整数倍.

　　设计意图：例3主要有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r,的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对(r,)来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法.

　　问题6 两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？

　　师生活动：引导学生利用类比的方法思考、回答.教师可以引导学生按照下面的思路进行探究：两个复数相等两个复数对应的向量相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等.

　　通过推理，顺理成章地得出结论.

　　设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性.

　　5. 课后作业

　　教科书习题7.3 第1，2题.

　　（五） 目标检测设计

　　1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

　　设计意图：考查学生将复数的代数形式化为三角形式的能力．

　　2. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.

　　设计意图：考查学生对复数三角形式的掌握程度．

　　3. 将下列复数表示成代数形式：

　　设计意图：考查学生将复数的三角形式化为代数形式的能力.

　　第二课时

　　7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

　　（一）课时教学内容

　　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　（二）课时教学目标

　　1. 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　2. 在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

　　（三）教学重点与难点

　　教学重点：复数乘、除运算的三角表示

　　教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　（四）教学过程设计

　　引言：在7.2节，我们研究了复数代数形式的四则运算，上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式——三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示？下面我们就一起来研究这个问题.

　　1.知识回顾

　　问题1 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？

　　师生活动：学生回忆后回答：

　　设a，b,c,d∈R，则

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)

　　设计意图：复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫.

　　2.复数乘法运算的三角表示及几何意义的探究及应用

　　问题2 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法——三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？

　　师生活动：教师给学生充分的自主活动的时间，学生经过独立思考和演算后，由学生汇报交流，教师及时补充或纠正错误，师生共同完成复数加法和乘法是否能用三角形式表示的探究过程.发现：一般说来复数的加法不便表示成三角形式；复数的乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为：

　　教师板书复数乘法的三角表示公式.

　　追问2：复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法运算是否能用三角形式来表示？

　　师生活动：教师侧重引导学生，将复数的减法运算转化为加法运算，学生类比探究复数的加法是否能用三角形式表示的过程，容易发现：一般说来，复数的减法不便表示成三角形式.

　　设计意图：让学生独立思考、自主探究，经历复数乘法的三角表示公式得出的过程，从中进一步体会复数和三角之间的紧密联系.

　　问题3 你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？

　　师生活动：学生回答，教师补充完善.得出：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.可以简述为“模相乘，辐角相加”.

　　设计意图：培养学生的语言表达能力，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示公式的理解.

　　问题4 我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义.请你利用复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试.

　　师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助几何画板、GeoGebra等软件画出对应的向量，演示乘法运算的过程，学生归纳得出复数乘法运算三角表示的几何意义（图2）.

　　设计意图：让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时也培养学生的自主学习能力和合作意识.

　　师生活动：学生独立做题，教师巡视答疑，学生完成后利用多媒体进行交流展示.教师指导学生反思：运用复数乘法的三角表示式进行运算的前提是，给出的复数必须都是三角形式，然后才能利用“模数相乘，辐角相加”的算法进行运算. 教学中应提醒学生：当不要求把计算结果化为复数的代数形式时，也可以直接用三角形式表示结果.

　　设计意图：让学生运用复数乘法的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义.

　　设计意图：让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法的几何意义解决问题的便捷性.

　　3. 复数除法运算的三角表示及几何意义的探究与应用

　　问题6 除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？

　　师生活动：教师引导，学生讨论，得出将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），学生自己推导得出复数除法运算三角表示公式，教师板书公式：

　　用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

　　追问：你还有其他的推导方法吗？

　　师生活动：教师引导，学生思考回答。也可以通过 “分数”运算直接推导得出：

　　设计意图：在复数乘法运算三角表示的基础上，引导学生借助已有知识和运算技巧推导复数除法运算的三角表示，体会化归与转化和类比的数学思想，提升数学运算素养.

　　追问：若模伸长或缩短倍呢？

　　师生活动：学生思考回答，教师借助几何画板、GeoGebra等软件演示，帮助学生理解. 教师总结：利用复数乘、除运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题，反之亦然.

　　设计意图：让学生思考复数乘、除运算几何意义的反向应用，培养逆向思维能力，进一步感受平面向量和复数之间可以互相转化的关系.

　　4. 课堂练习

　　（1）教科书第89页练习1（1）（3）.

　　（2）教科书第89页练习2（1）（2）.

　　5. 单元小结

　　（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程，并说说研究方法.

　　（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？

　　（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？它是怎么得出的？

　　（4）复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么？它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法.

　　（5）简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有什么优势？分别适合哪些运算？

　　师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.

　　是利用复数的几何意义，借助数形结合进行探究.回顾研究过程和研究方法有利于培养学生思维的严谨性，积累基本的数学活动经验.

　　（2）让学生进一步理解复数三角表示式和辐角、辐角的主值等核心概念.使学生对概念形成清晰的认识，有利于复数三角形式的后续应用.

　　（3）让学生进一步明确两个复数相等的充要条件，体会类比的研究方法.

　　（4）让学生进一步明确复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，进一步体会类比、化归与转化、数形结合等数学思想方法.有利于提升学生直观想象、逻辑推理等素养.

　　（5）通过比较，让学生体会复数代数形式和三角形式各自的特点，体会复数的三角形式给复数的乘、除运算带来的便利，以及复数三角形式与平面向量、三角函数之间的紧密联系.

　　6. 课后作业：

　　习题7.3第3，4，6，7，8题

　　（五）目标检测设计

　　1. 计算下列各式，并做出几何解释：

　　设计意图：考查学生对复数乘除运算的三角表示式及其几何意义的掌握程度．

　　2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）.

　　设计意图：考查学生对复数除法运算几何意义的了解和应用.