二次函数内容分析

这是二次函数内容分析，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

二次函数内容分析第 1 篇

　　教学内容：

　　人教版九年义务教育初中第三册第108页

　　教学目标：

　　1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

　　2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

　　3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识，第五册二次函数教学设计。

　　教学重点：

　　二次函数的意义；会画二次函数图象。

　　教学难点：

　　描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

　　教学过程设计：

　　一. 一. 创设情景、建模引入

　　我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

　　1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

　　答：S=πR2. ①

　　2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

　　分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

　　S是否是R、L的一次函数？

　　由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

　　答：二次函数。

　　这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

　　二. 二. 归纳抽象、形成概念

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

　　那么，y叫做x的二次函数.

　　注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

　　练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

　　2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

　　（若学生考虑不全，教师给予补充。如： ； ； ； 的形式。）

　　（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

　　由前面一次函数的`学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

　　（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

　　三. 三. 尝试模仿、巩固提高

　　让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

　　1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

　　请同学们画出函数y=x2的图象。

　　（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

　　2. 2. 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

　　解：一、列表：

　　x

　　-3

　　-2

　　-1

　　1

　　2

　　3

　　Y=x2

　　9

　　4

　　1

　　1

　　4

　　9

　　二、描点、连线： 按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

　　对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意，初中数学教案《第五册二次函数教学设计》。

　　练习：画出函数 ; 的图象（请两个同学板演）

　　X

　　-3

　　-2

　　-1

　　1

　　2

　　3

　　Y=0.5X2

　　4.5

　　2

　　0.5

　　0.5

　　02

　　4.5

　　Y=-X2

　　-9

　　-4

　　-1

　　-1

　　-4

　　-9

　　画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线。

　　（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

　　三. 三. 运用新知、变式探究

　　画出函数 y=5x2图象

　　学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

二次函数内容分析第 2 篇

　　一、教材分析

　　本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。

　　二、学情分析

　　本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。

　　三、教学目标

　　(一)知识与能力目标

　　1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程;

　　2. 能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。

　　(二)过程与方法目标

　　通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。

　　(三)情感态度与价值观目标

　　1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法;

　　2. 在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。

　　四、教学重难点

　　1.重点

　　通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。

　　2.难点

　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。

　　五、教学策略与 设计说明

　　本节课主要渗透类比、化归数学思想。对比一般式和顶点式的区别和联系;体会式子的恒等变形的重要意义。

　　六、教学过程

　　教学环节(注明每个环节预设的时间)

　　(一)提出问题(约1分钟)

　　教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢?图像又如何?

　　学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。

　　目的：由旧有的知识引出新内容，体现复习与求新的关系，暗示了探究新知的方法。

　　(二)探究新知

　　1.探索二次函数y=0.5x2-6x+21的函数图像(约2分钟)

　　教师活动：教师提出思考问题。这里教师适当引导能否将次一般式化成顶点式?然后结合顶点式确定其顶点和对称轴。

　　学生活动：讨论解决

　　目的：激发兴趣

　　2.配方求解顶点坐标和对称轴(约5分钟)

　　教师活动：教师板书配方过程：y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)

　　=0.5(x2-12x+36-36+42)

　　=0.5(x-6)2+3

　　教师还应强调这里的配方法比一元二次方程的配方稍复杂，注意其区别与联系。

　　学生活动：学生关注黑板上的讲解内容，注意自己容易出错的地方。

　　目的：即加深对本课知识的认知有增强了配方法的应用意识。

　　3.画出该二次函数图像(约5分钟)

　　教师活动：提出问题。这里要引导学生是否可以通过y=0.5x2的图像的平移来说明该函数图像。关注学生在连线时是否用平滑的曲线，对称性如何。

　　学生活动：学生通过列表、描点、连线结合二次函数图像的对称性完成作图。

　　目的：强化二次函数图像的画法。即确定开口方向、顶点坐标、对称轴结合图像的对称性完成图像。

　　4.探究y=-2x2-4x+1的函数图像特点(约3分钟)

　　教师活动：教师提出问题。找学生板演抛物线的开口方向、顶点和对称轴内容，教师巡视，学生互相查找问题。这里教师要关注学生是否真正掌握了配方法的步骤及含义。

　　学生活动：学生独立完成。

　　目的：研究a<0时一个具体函数的图像和性质，体会研究二次函数图像的一般方法。

　　5.结合该二次函数图像小结y=ax2+bx+c(a≠0)的性质(约14分钟)

　　教师活动：教师将y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。确定函数顶点、对称轴和开口方向并着重讨论分析a>0和a<0时，y随x的变化情况、抛物线与y的交点以及函数的最值如何。

　　学生活动：仔细理解记忆一般式中的顶点坐标、对称轴和开口方向;理解y随x的变化情况。

　　目的：体会由特殊到一般的过程。体验、观察、分析二次函数图像和性质。

　　6.简单应用(约11分钟)

　　教师活动：教师板书：已知抛物线y=0.5x2-2x+1.5，求这条抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴图像和y轴的交点坐标并确定y随x的变化情况和最值。

　　教师巡视，个别指导。教师在这里可以用两种方法解决该问题：i)用配方法如例题所示;ii)我们可以先求出对称轴，然后将对称轴代入到原函数解析式求其函数值，此时对称轴数值和所求出的函数值即为顶点的横、纵坐标。

　　学生活动：学生先独立完成，约3分钟后讨论交流，最后形成结论。

　　目的：巩固新知

　　课堂小结(2分钟)

　　1. 本节课研究的内容是什么?研究的过程中你遇到了哪些知识上的问题?

　　2. 你对本节课有什么感想或疑惑?

　　布置作业(1分钟)

　　1. 教科书习题22.1第6，7两题;

　　2. 《课时练》本节内容。

　　板书设计

　　提出问题 画函数图像 学生板演练习

　　例题配方过程

　　到顶点式的配方过程 一般式相关知识点

　　教学反思

　　在教学中我采用了合作、体验、探究的教学方式。在我引导下，学生通过观察、归纳出二次函数y=ax2+bx+c的图像性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是知识回顾;第二部分是学习探究;第三部分是课堂练习。从当堂的反馈和第二天的作业情况来看，绝大多数同学能掌握本节课的知识，达到了学习目标中的要求。

　　我认为优点主要包括：

　　1.教态自然，能注重身体语言的作用，声音洪亮，提问具有启发性。

　　2.教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。

　　3.板书字体端正，格式清晰明了，突出重点、难点。

　　4.我觉的精彩之处是求一般式的顶点坐标时的第二种方法，给学生减轻了一些负担，不一定非得配方或运用公式求顶点坐标。

　　所以我对于本节课基本上是满意的。但也有很多需要改进的地方主要表现在：

　　1.知识的生成过程体现的不够具体，有些急于求成。在学生活动中自己引导的较少，时间较短，讨论的不够积极;

　　2.一般式图像的性质自己总结的较多，学生发言较少，有些知识完全可以有学生提出并生成，这样的结论学生理解起来会更深刻;

　　3.学生在回答问题的过程中我老是打断学生。提问一个问题，学生说了一半，我就迫不及待地引导他说出下一半，有的时候是我替学生说了，这样学生的思路就被我打断了。破坏学生的思路是我们教师最大的毛病，此顽疾不除，教学质量难以保证。

　　4.合作学习的有效性不够。正所谓：“水本无波，相荡乃成涟漪;石本无火，相击而生灵光。”只有真正把自主、探究、合作的学习方式落到实处，才能培养学生成为既有创新能力，又能适应现代社会发展的公民。

　　重新去解读这节课的`话我会注意以上一些问题，再多一些时间给学生，让他们去体验，探究而后形成自己的知识。

二次函数内容分析第 3 篇

　　一、教材分析

　　1．教材的地位和作用

　　（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届佛山市中考试题中，二次函数都是必不可少的内容。

　　（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

　　（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。

　　2．课标要求：

　　①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

　　②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

　　③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）。

　　④会根据二次函数的性质解决简单的实际问题。

　　3．学情分析：

　　（1）初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

　　（2）学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。

　　（3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。

　　（4）学生能力差异较大，两极分化明显。

　　4．教学目标

　　◆认知目标

　　(1)掌握二次函数 y=图像与系数符号之间的关系。通过复习，掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路，能够一题多解，发散提高学生的创造思维能力。

　　◆能力目标

　　提高学生对知识的整合能力和分析能力。

　　◆ 情感目标

　　制作动画增加直观效果，激发学生兴趣，感受数学之美。在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会感受探索与创造，体验成功的喜悦。

　　5．教学重点与难点：

　　重点：(１)掌握二次函数y=图像与系数符号之间的关系。

　　(２) 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路。

　　（３）本节课主要目的，对历届中考题中的二次函数题目进行类比分析，达到融会贯通的作用。

　　难点：(1)已知二次函数的解析式说出函数性质

　　(2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决几何问题.

　　二、教学方法：

　　1. 运用多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率。

　　2．将知识点分类，让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。

　　3．师生互动探究式教学，以课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学．形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高。

　　三、学法指导：

　　1．学法引导

　　“授人之鱼，不如授人之渔”在教学过程中，不但要传授学生基本知识，还要培育学生主动思考，亲自动手，自我发现等能力，增强学生的综合素质，从而达到教学终极目标。

　　2．学法分析：新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主学习，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。

　　3、设计理念：《课标》要求，对于课程实施和教学过程，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要．”

　　4、设计思路：不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练，而是通过复习旧知识，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。

　　四、教学过程：

　　1、教学环节设计：

　　根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点．

　　本节课的教学设计环节：

　　◆创设情境，引入新知 ：复习旧知识的目的是对学生新课应具备的“认知前提能力”和“情感前提特征进行检测判断”。学生自主完成，不仅体现学生的自主学习意识，调动学生学习积极性，也能为课堂教学扫清障碍。为了更好地理解、掌握二次函数图像与系数之间的关系，根据不同学生的学习需要，按照分层递进的教学原则，设计安排了6个由浅入深的题型，让每一个学生都能为下一步的探究做好准备。

　　◆自主探究，合作交流：本环节通过开放性题的设置，发散学生思维，学生对二次函数的性质作出全面分析。让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自主探索，合作探究的能力。通过学生观察、思考、交流，经历发现过程，加深对重点知识的理解。

　　◆运用知识，体验成功：根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能。让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦。

　　安排三个层次的练习。

　　(一)从定义出发的简单题目。

　　(二)典型例题分析，通过反馈使学生掌握重点内容。

　　(三)综合应用能力提高。

　　既培养学生运用知识的能力，又培养学生的创新意识。引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化，条理化，网络化，对在获取新知识中体现出来的数学思想、方法、策略进行反思，从而加深对知识的理解。并增强学生分析问题，运用知识的能力。

　　(四)方法与小结

　　由总结、归纳、反思，加深对知识的理解，并且能熟练运用所学知识解决问题。

　　2、作业设计：(见课件)

　　3、板书设计：(见课件)

　　五、评价分析：

　　本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流“的《数学新课标》要求。本设计同时还注重发挥多媒体的辅助作用，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。

二次函数内容分析第 4 篇

知识梳理

1、 二次函数的分类

顶点式：y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，

两点式：y=a(x-x1`)(x-x2)

一般式：y=ax2+bx+c （各式中，a≠0）

2、 二次函数图像的性质

1）二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

（1） 当h>0时，y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，

（2） 当h<0时，则向左平行移动│h│个单位得到．

（3） 当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）2+k的图象；

（4） 当h>0，k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动│k│个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；

（5） 当h<0，k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动│h│个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；

（6） 当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动│h│个，再向下移动│k│个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，

当a<0时，开口向下，

对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-，）．

3）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）：

若a>0，当x≤-时，y随x的增大而减小；当x≥-时，y随x的增大而增大．

若a<0，当x≤-时，y随x的增大而增大；当x≥-时，y随x的增大而减小． 4）抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x1-x2│=．

当△=0，图象与x轴只有一个交点；

当△<0，图象与x轴没有交点．

当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，都有y>0；

当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

3、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）．

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）．

（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）．

例题精讲

【试题来源】2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题

【题目】作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是下列（ ）

（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2;

（C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2

【答案】D

【解析】　解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y=2（x+1）2-1

向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2（x-1）2-2，

而抛物线y=2（x-1）2-2关于x轴对称的抛物线是y=-2（x-1）2+2．

评注：抛物线的平移主要抓住顶点坐标的变化，需要注意的是通常要将二次函数解析式化为顶点式，且平移时二次项系数不变．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）

【题目】根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（ ）

（A）3

（C）3.24

【答案】C

【解析】　解：观察表格知，随x（x>0）的增大，二次函数y=ax2+bx+c的值由负到正．而：

当x取3.24时，ax2+bx+c=-0.02是负数；

当x取3.25时，ax2+bx+c=0.03是正数．

所以可以推知借于3.24和3.25之间的某一x值，必然使ax2+bx+c=0．

评注：本题利用方程的解就是它对应的函数图象与x轴的交点，以此估计一元二次方程的一个解的大致范围．它以表格才形式提出了部分信息，考查了学生合情推理的能力．解题关键是观察表格的对应值．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂练习

【难度系数】3

【试题来源】2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题

【题目】函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如右图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代数式的值中，正数有（ ）

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

【答案】A

【解析】 解：显然，a<0，c<0，b>0，由-<1，

得b<-2a，所以2a+b<0；

由a-b+c<0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）<0；

由a+b+c>0得a+b>-c>0，因此

（a+b）2-c2>0，│b│>│a│，b2-a2>0．

综上所述，仅有（a+b）2-c2，b2-a2为正数．

评注：二次函数y=ax2+bx+c中有关字母系数a、b、c的代数式符号确定，是竞赛热点问题，解题时，要抓住抛物线开口方向、对称轴、与x轴交点情况综合考虑．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题

【题目】若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）则S=a+b+c的值的变化范围是__________．

【答案】0

【解析】　解：将（0，1），（-1，0）代入y=ax2+bx+c得

∴S=a+b+c=2b．

∵二次函数y=ax2+bx+c顶点在第一象限，

∴->0，又a=b-1，

∴->0，即2b（b-1）<0．

∴0

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】1993年江苏初中数学竞赛试题

【题目】已知是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2．

（1）求证：0

（2）求出所有这样的两位数．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A（x1，0），B（x2，0），x1≠x2．

则x1，x2为方程x2+mx+n=0的两个不同实根．

∴x1+x2=-m，x1·x2=n．

又0<│x1-x2│≤2， 即0<（x1+x2）2-4x1x2≤4，

也即0

（2）∵m，n为整数（m≠0），

∴m2-4n=1，2，3，4，而m2被4除余0或1，故m2-4n被4除也余0或1，

从而只能有m2-4n=1或m2-4n=4．

解这两个不定方程，得：

∴所求两位数为10，32，56，20，43，68．

评注：一元二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标即是方程ax2+bx+c=0的两根，利用韦达定理即可求解．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】1997年天津市初中数学竞赛试题

【题目】已知函数y=x2-│x│-12的图象与x轴交于相异两点A，B，另一抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c．

【答案】a=-，b=0，c=4

【解析】　解：考试方程x2-│x│-12=0，

当x>0时，x2-x-12=0，解得x1=4，x2=-3（舍去）；

当x<0时，x2+x-12=0，解得x1=-4，x2=3（舍去）．

∴A、B两点的坐标是（4，0），（-4，0）．

∵y=ax2+bx+c过A、B两点，即过（4，0），（-4，0），

∴可设y=ax2+bx+c为y=a（x-4）（x+4）

∵△APB为等腰直角三角形，而A、B为顶点，

∴AB可为斜边，也可为直角边．

当AB为斜边，求得P点坐标为（0，4）或（0，-4）；当AB为直角边时，这种情况不满足题设条件．

所以将P（0，4）代入①得a=，则①变为

y=-（x2-16）=-x2+4，

故有a=-，b=0，c=4．

将P（0，-4）代入①得a=，则①变为

y=（x2-16）=x2-4，

故有a=，b=0，c=-4．

评注：求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可以求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】4

【试题来源】2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）

【题目】已知A1、A2、A3是抛物线y=x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．

（1）如图（a），若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；

（2）如图（b），若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2-x+1，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；

（3）若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）方法1：

∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，

∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=．

设直线A1A3的解析式为y=kx+b．

∴

∴直线A1A3的解析式为y=2x-．

∴CB2=2×2-=．

∴CA2=CB2-A2B2=-2=．

方法2：

∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，

∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=．

由已知可得A1B1∥A3B3，

∴CB2=（A1B1+A3B3）=（+）=．

∴CA2=CB2-A2B2=-2=．

（2）方法1：

设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．

则A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，

A2B2=n2-n+1，A3B3=（n+1）2-（n+1）+1．

设直线A1A3的解析式为y=kx+b．

∴ 解得

∴直线A1A3的解析式为y=（n-1）x-n2+．

∴CB2=n（n-1）-n2+=n2-n+

∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=．

方法2：

设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．

则A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，

A2B2=n2-n+1，

A3B3=（n+1）2-（n+1）+1

由已知可得A1B1∥A3B3，

∴CB2=（A1B1+A3B3）

= [（n-1）2-（n-1）+1+（n+1）2-（n+1）+1]

= n2-n+．

∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2+n-1）=．

（3）当a>0时，CA2=a；

当a<0时，CA2=-a．

评注：本题强调从“知识立意”向“能力立意”转变的课程理念，重视基础与能力并重，突出了“观察、猜想、探究”等方面的考查，具有明显层次性，渗透了数形结合的思想方法．同时，本题还给擅长不同思维方式的学生提供了不同的解题思路．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+（+k）k，k为实数．

（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；

（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；

（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA

（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）配方，得y=（x-k）2+k，

∴顶点坐标为（k，k），对称轴为x=k．

（2）设顶点为（x，y），则x=k，y=k消去k得直线L的解析式为y=x，

如图（a）所示，令k=1，2，3得三个对应顶点坐标为（1，），（2，2），（3，3）．

（3）在y=x上任取一点（a，a），设直线与x轴成角为a（0°

则tana==，

∴a=60°，由切线长定理可知，OO1平分∠a，

∴∠O1OA=30°，如图（a）所示，

即O1O=2O1A，OO2=2O2B，

又OO2-OO1=O1O2=O1A+O2B=2（O2B-O1A）

∴O1A：O2B=1：3．

又，∴=，即为一定值．

（4）如图（b）要使该直线与抛物线C中任意一条相截且截得线段长都为6，

则该直线必平行于y=x．设其为y=x+b，

考虑其与y=x2相交，则：

即x2-x-b≥0，设此方程两根为xA，xB．

又│BC│=[│AB│]2=32，

9=│xA-xB│2=（xA+xB）2-4xAxB=3+4b，

∴b=，即L1为y=x+．

评注：（2）中消去参数k求x、y的函数关系应掌握；（4）抛物线C的顶点轨迹为直线y=x，若直线L1与抛物线截得的线段等长，则L1必与y=x平行，在利用截线段长为6时，只须考虑一种最简单的解析式y=x2与y=x的联立方程组即可．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）依题意，抛物线的对称轴为y=x-2．

∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），

∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）．

（2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0），

∴a（-1）2+4a（-1）+t=0，∴t=3a．

∴y=ax2+4ax+3a．

∴D（0，3a）．

∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上，

∴C（-4，3a），∴AB=2，CD=4，

∵梯形ABCD的面积为9，

∴（AB+CD）·OD=9．

∴（2+4）│3a│=9，∴a=±1．

∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3．

（3）设点E坐标为（x0，y0），依题意x0<0，y0>0，且=．

∴y=-．

① 点E在抛物线y=x2+4x+3上，∴y0=x02+4x0+3．

② 解方程组∴

∵点E与点A在对称轴x=-2的同侧，

∴点E坐标为（-，），

设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P，使△APE的周长最小．

∵AE长为定值，

∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小．

∵点A关于对称轴x=-2的对称点是B（-3，0），

∴几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=-2的交点．

设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n，

∴

∴直线BE的解析式为y=x+，把x=-2代入上式，得y=，

∴点P坐标为（-2，-）．

③ 点E在抛物线y=-x2-4x-3上，

④ ∴y0=-x02-4x0-3．解方程

消去y0，得x02+x0+3=0，

∴△<0，∴此方程无实数根．

综上．在抛物线的对称轴上存在点P（-2，），使△APE的周长最小．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．

（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．

（3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．

（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）∵O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），

设OC的解析式为y=kx+b，将两点坐标代入得：k=，b=0，

∴y=x．

∵抛物线过O，A，C三点，这三点的坐标为O（0，0），A（18，0），C（8，6）．

∵A，O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为y=a（x-0）（x-18）．

再将C（8，6）代入得：a=-．

∴y=-x2+x．

（2）D（10，6）．

（3）当Q在OC上运动时，可设Q（m，m），

依题意有：m2+（m）2=（2t）2，

∴m=t，∴Q（t，t），（0≤t≤5）．

当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t．

∵OC=10，∴CQ=2t-10，

∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2．

∴Q（2t-2，6），（5

（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上时，P运动的路程为t，

则Q运动的路程为（22-t）．△OPQ中，OP边上的高为：（22-t）×．

∴S△OPQ=t（22-t）×，

S梯形OABC=（18+10）×6=84．

依题意有：t（22-t）×=84×．整理得：t2-22t+140=0．

∵△=222-4×140<0，

∴这样的t不存在．

当Q在BC上时，Q走过的路程为22-t，

∴CQ的长为：22-t-10=12-t，

∴S梯形OCQP=×6（22-t-10+t）=36≠84×．

∴这样的t值也不存在．

综上所述，不存在这样的t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC∥轴交该抛物线于点C.

（1） 求这条抛物线的函数关系式.

（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (0＜＜4)，△PQA的面积记为S.

① 求S与的函数关系式；

② 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

③ 是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】如下解析

【解析】解：（1）∵ 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)，

∴

解得 .

∴ 所求抛物线的函数关系式为.

（2）① 过点B作BE⊥轴于E，

则BE=，AE=1，AB=2.

由tan∠BAE=，得∠BAE =60°.

（ⅰ）当点Q在线段AB上运动，即0＜≤2时，QA=t，PA=4-.

过点Q作QF⊥轴于F，则QF=，

∴ S=PA·QF

.

（ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤＜4时，Q点的纵坐标为，PA=4-.

这时，S=.

②（ⅰ）当0＜≤2时，

.

∵ ，∴ 当=2时，S有最大值，最大值S=.

（ⅱ）当2≤＜4时，

∵ ，

∴ S随着的增大而减小.

∴ 当=2时，S有最大值，最大值.

综合（ⅰ）（ⅱ），当=2时，S有最大值，最大值为.

所以△PQA是等边三角形.

③ 存在.

当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-=2，

∴ .

∴ P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,).

当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-=，

∴

∴ P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,).

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．

（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，

把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：

，

解得．

∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；

（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，

∴E（﹣5，﹣），

设直线CE的函数解析式为y=mx+n，

直线CE与y轴交于点G，则，

解得．

∴y=x+，

在y=x+中，令x=0，y=，

∴G（0，），

如图1，连接AB，AC，AG，

则BG=OB﹣OG=4﹣=，

CG===，

∴BG=CG，AB=AC，

在△ABG与△ACG中，

，

∴△ABG≌△ACG，

∴∠ACG=∠ABG，

∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），

∴∠ABG=90°，

∴∠ACG=∠ABG=90°

∵点C在⊙A上，

∴直线CE与⊙A相切；

（3）存在点F，使△BDF面积最大，

如图2连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），

过F作FN∥y轴交BD于点N，

设直线BD的解析式为y=kx+d，则，

解得．

∴直线BD的解析式为y=x+4，

∴点N的坐标为（t，t+4），

∴FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，

∴S△DBF=S△DNF+S△BNF

=ODFN=（﹣t2﹣2t）

=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，

∴当t=﹣4时，S△BDF最大，最大值是16，

当t=﹣4时，t2+t+4=﹣2，

∴F（﹣4，﹣2）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．

【知识点】二次函数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】5

习题演练

【试题来源】2005年全国初中数学竞赛试题

【题目】Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12

【答案】B

【解析】 解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（│c│<│a│），

则点B的坐标为（-a，a2），由勾股定理，得AC2=（c-a）2+（c2-a2）2．

BC2=（c+a）2+（c2-a2）2，AC2+BC2=AB2，

所以（a2-c2）2=a2-c2．

由于a2>c2，所以a2-c2=1，

故斜边AB上高h=a2-c2=1．

评注：本题渗透数形结合思想，通过将代数与几何有机结合一起，考查学生综合应用数学知识解决问题的能力．

【知识点】二次函数

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题

【题目】通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．

【答案】（1）y=-x2+x+20，0≤x≤10；

（2）师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．

【解析】 分析：①由点（0，20），（5，39），（10，48），可求出抛物线的函数关系式，②分别求出指标数是36的各段函数中的自变量的值．

解：（1）当0≤x≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax+bx+c，

由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），

所以

解得a=-，b=，c=20．

所以y=-x2+x+20，0≤x≤10．

（2）当20≤x≤40时，y=-x+76．

所以，当0≤x≤10时，令y=36，得36=-x2+x+20，

解得x=4，x=20（舍去）；

当20≤x≤40时，令y=36，得36=-x+76，

解得x==28．

因为28-4=24>24，

所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．

评注：本题情景新颖，关注了考生的学习、生活，既考查了学生基础知识和阅读理解能力，又考查了考生利用所学知识解决实际问题能力．

【知识点】二次函数

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】2005年全国初中数学竞赛浙江赛区试题

【题目】直角坐标系中，抛物线y=x2+mx-m2（m>0）与x轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足=，则m的值等于_______．

【答案】2

【解析】 解：设方程x2+mx-m2=0的两根分别x1，x2，且x1

则有x1+x2=-m<0，x1x2=-m2<0，

所以x1<0，x2>0，

由=，可知OA>OB，又m>0，

所以抛物线的对称轴y轴的左侧，于是OA=│x1│=-x1，OB=x2．

所以=，=，

故=，

解得m=2．

【知识点】二次函数

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）将C（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得c=-3，

将c=-3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，得9a+3b+c=0．

∵x=1是对称轴，

∴-=-1．（2）．

将（2）代入（1）得a=1，b=-2．

所以二次函数得解析式是y=x2-2x-3．

（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．

∵ C点的坐标为（0，-3），A点的坐标为（-1，0）．

∴直线AC的解析式是y=-3x-3，又对称轴为x=1，

∴点P的坐标（1，-6）．

（3）设M（x1，y），N（x2，y），所求圆的半径为r，则x2-x1=2r，（1）

∵对称轴为x=1，∴x2+x1=2．（2）

由（1）、（2）得：x2=r+1． （3）

将N（r+1，y）将代入解析式y=x2-2x-3，

得y=（r+1）2-2（r+1）-3，（4）

整理得：y=r2-4．由于r=±y，当y>0时，r2-r-4=0，

解得r1=，r2=（舍去），

当y<0时，r2+r-4=0，解得r1=，r2=（舍去），

所以圆的半径是或．

【知识点】二次函数

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．

（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；

（2）证明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】如下解析

【解析】 解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），

∴点D的纵坐标是4，

又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，

∴4=，

解得x=5，

故点D的坐标是（5，4）．

如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，

在RT△DAE中，DA=5，DE=4，

∴AE==3，

∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，

∴A（2，0），B（8，0），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），

∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+4．

（2）如图2，连接AC，

在RT△AOC中，OA=2，CO=4，

∴tan∠ACO==，

在RT△BOC中，OB=8，CO=4，

∴tan∠CBO==，

∴∠ACO=∠CBO．

（3）∵B（8，0），C（0，4），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，

如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，

设P（t，t2﹣t+4），

①AQ：AP=1：4，则易得Q（，），

∵点Q在直线y=﹣x+4上，

∴﹣+4=，

整理得t2﹣8t﹣36=0，

解得t1=4+2，t2=4﹣2，

∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），

②AQ：AP=2：4，则易得Q（，），

∵点Q在直线y=﹣x+4上，

∴﹣+4=，

整理得t2﹣8t﹣12=0，

解得P3=4+2，P4=4﹣2，

∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；

③AQ：AP=3：4，则易得Q（，），

∵点Q在直线y=﹣x+4上，

∴﹣+4=，

整理得t2﹣8t﹣4=0，

解得t5=4+2，t6=4﹣2，

∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），

综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，

其坐标分别为：P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．

【知识点】二次函数

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】5