平面向量的概念教学设计

这是平面向量的概念教学设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平面向量的概念教学设计第 1 篇

　　目的：

　　通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

　　过程：

　　一、复习：

　　1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)

　　2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）

　　3．向量共线的充要条件

　　4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）

　　二、例题

　　1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ

　　证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立

　　当λ为正整数时，令λ=n,则有：

　　n(+)=(+)+(+)+…+(+)

　　=++…+++++…+=n+n

　　即λ为正整数时，分配律成立

　　当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有：

　　n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn

　　分配律仍成立

　　综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。

　　2．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？

　　解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

　　1(kg)P1OP=60P2OP=30

　　∴cos60=1=0.5(kg)

　　cos30=1=0.87(kg)

　　即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg。

平面向量的概念教学设计第 2 篇

　　本章内容介绍

　　向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

　　向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习这个平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

　　本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的'、全面的了解.）

　　第1课时

　　2.1 平面向量的实际背景及基本概念

　　教学目标：

　　1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

　　2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

　　3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

　　学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　授课类型：新授课

　　教学思路：

　　一、情景设置：

　　如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否

　　追到老鼠？（画图）

　　结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

　　分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、C B D

　　有长短的量.

　　引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

　　二、新课学习：

　　（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

　　（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

　　1、数量与向量有何区别？

　　2、如何表示向量？

　　3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

　　4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

　　5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

　　6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

　　7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

　　（三）探究学习

　　1、数量与向量的区别：

　　数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

　　2.向量的表示方法：

　　①用有向线段表示；

　　②用字母ａ、ｂ

　　（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

　　3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

　　向量与有向线段的区别：

　　（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

　　（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

　　4、零向量、单位向量概念：

　　①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.

　　注意0与0的含义与书写区别.

　　②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. a A(起点) B （终点）

　　说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

　　5、平行向量定义：

　　①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

　　说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

　　6、相等向量定义：

　　长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

　　说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

　　（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．

　　向线段的起点无关。

　　7、共线向量与平行向量关系：

　　平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的。起点无关）。

　　说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

　　（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

　　（四）理解和巩固：

　　例1 书本86页例1.

　　例2判断：

　　（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

　　（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

　　（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

　　（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

　　（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

　　（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

　　（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

　　例3下列命题正确的是（ ）

　　A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

　　B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

　　的四顶点

　　C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

　　D.有相同起点的两个非零向量不平行

　　解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，

　　而由零向量与任一向量都

　　共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.

　　变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

　　变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

　　课堂练习：

　　1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

　　②单位向量都相等；

　　③任一向量与它的相反向量不相等；

　　④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

　　⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

　　⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

　　解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

　　②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

　　③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相

　　2．书本88页练习

　　三、小结 ：

　　1、 描述向量的两个指标：模和方向.

　　2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

　　3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

　　四、课后作业：

　　书本88页习题2.1第3、5题

　　同.

　　第2课时

　　2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

　　教学目标：

　　1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

　　2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

　　3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

　　教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.

　　学法：

　　数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

　　教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　授课类型：新授课

　　教学思路：

　　一、设置情景：

　　1、 复习：向量的定义以及有关概念

　　强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

　　2、 情景设置：

　　（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC AB

　　C

　　（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB?BC?AC

　　二、探索研究：

　　１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C AB C

平面向量的概念教学设计第 3 篇

二、复习要求

平面向量教案

1、 向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法

=

- =

记 =(x1,y1), =(x1,y2)

则 =(x1 x2,y1 y2)

- =(x2-x1,y2-y1) =

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈r 记 第一文库网=(x,y)

则λ =(λx,λy) 两个向量

的数量积

· =| || |

cos

记 =(x1,y1), =(x2,y2)

则 · =x1x2 y1y2

3、 运算律

加法: = ,( ) = ( )

实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

(λμ)

两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

4、 重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ

坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言: ⊥ · =0

坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

(4)线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平面向量的概念教学设计第 4 篇

2.1《平面向量的实际背景及基本概念》

2

学习计划点评

《平面向量的实际背景及基本概念》

重点：向量、相等向量、共线向量的概念

难点：向量的概念理解及向量的几何表示

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．

3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.

4．理解两个向量共线的含义．

知识目标

问题1：现实生活中存在着既有大小又有方向的量，

你能举出一些实例吗？

问题2：这些量在物理中被称为什么量？

位移、力、加速度

矢量

向量概念的形成

定义：既有大小又有方向的量统称为向量

向量的两要素：大小、方向

知识梳理

要点一：向量的物理背景及概念

向量的表示方法：

知识梳理

要点二：向量的表示法

知识梳理

要点三：向量的有关概念

知识梳理

要点三：向量的有关概念

4.平行向量(共线向量)

知识梳理

要点三：向量的有关概念

5.相等向量

知识梳理

要点三：向量的有关概念

题型一：向量的基本概念

√

√

√

XXXXX

XXXXX

XXXXX

XXXXX

√

典型例题

选自:《平面向量的实际背景及基本概念》(提高)例1[变式1]/高清课例2

规定

同(1)

不要求起点相同

反例:零向量

几何:共线与平行，意义不同

向量:共线与平行意义相同

方向不一定相同

P18

典型例题

题型一：向量的基本概念

典型例题

题型二：向量的表示法

选自:《平面向量的实际背景及基本概念》(提高)[巩固练习]第5题

D

典型例题

题型二：向量的表示法

选自:高清课堂《平面向量的实际背景及基本概念》例7

P19

知识小结

《向量的线性运算》

1．能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.

2．能结合图形进行向量的计算．

3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．

知识目标

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

要点三：向量的减法

要点四：向量的三角形不等式

题型一：向量的加法运算

题型二：向量的减法运算

题型三：与向量的模有关的问题

题型四：利用向量解决平面几何问题

知识梳理

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

知识梳理

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

知识梳理

要点三：向量的减法

相反向量

向量a的终点

向量c的终点

简记：共起点，连终点，指向被减

牛刀小试

题型一：向量的加法运算

选自:知识导学《从位移的合成到向量的加法》(提高)例1

典型例题

题型二：向量的减法运算

选自:知识导学《从位移的合成到向量的加法》(提高)例4

典型例题

要点四：向量的三角形不等式

选自:高清课堂《向量的线性运算》例4

向量的三角形不等式：

三角形的三边关系

注意：不等式取“=”时,两个向量是共线向量

P21

典型例题

要点三：向量的三角形不等式

4

典型例题

选自:知识导学《从位移的合成到向量的加法》(提高)例5

题型三：与向量的模有关的问题

典型例题

题型四：利用向量解决平面几何问题

典型例题

选自:高清课堂《向量的线性运算》例5

题型四：利用向量解决平面几何问题

选“基点”O

转化

P21

?

课堂总结

①班级QQ群下载课件复习，整理笔记，有疑问及时私信老师

②听高清课复习，补充题型及方法

③课前必预习：高清课知识梳理或微课

必预习，勤思考，善总结，

当日疑问当日清

任务布置