平面向量的坐标表示及坐标运算

这是平面向量的坐标表示及坐标运算，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平面向量的坐标表示及坐标运算第 1 篇

　　（一）教学目标

　　1．知识与技能：通过实例理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用，体会等比数列与指数函数的关系．

　　２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与与指数函数的关系。通过例题体会通项公式与方程、方程组之间的联系。

　　３．情态与价值：感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．

　　（二）教学重、难点

　　重点：等比数列的定义和通项公式

　　难点：等比数列通项公式的推导过程

　　（三）学法与教学用具

　　学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式，通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数的关系。

　　教学用具：投影仪

　　（四）教学设想

　　首先先创设情境，从具体四个实例引入新课，得到四组数列；通过类比等差数列得出等比数列的`定义；类比等差中项得出等比中项；探究首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；类比等差数列的通项公式得出等比数列通项公式；例题巩固；等比数列的对称性；探究等比数列与指数函数的关系，小结。

　　（五）教学过程

　　Ⅰ.课题导入

　　1、复习：等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差；公差通常用字母d表示

　　－=d，（n2，nN）

　　等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

　　2、[创设情景]解答下列问题（课本P41页的4个例子）：【多媒体展示4个问题】

　　①观察图书P542.4-1，细胞的分裂有什么规律，你能写出一个数列来表示细胞的分裂的个数吗？

　　【1，2，4，8，16，】

　　②《庄子》中有这样的论述一尺之锤，日取其半，万世不竭。你能用现代语言叙述这段话吗？若把一尺之锤看成单位1，那么日取其半会得到一个怎样的数列？

　　【1，，，，，】

　　③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依次类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，你能写出一个数列描述这种病毒每一轮感染的计算机数吗？

　　【1，20，，，，】

　　④我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式除了单利，还有一种支付利息的方式――复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的利滚利。

　　学生观察书上的表格，列出5年内各年末本利和，说说它们是怎样得到的？

　　【，，，，，】

　　3、[探索研究]问题：【多媒体展示问题】

　　（1）、请同学们回忆数列的等差关系和等差数列的定义，并仔细观察一下，以上①、②、③、④四个数列是等差数列吗？若不是，看看它们有什么共同特征？该叫什么数列呢？

　　【共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。即具有等比关系】

　　（2）、如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给出等比数列一个什么样的定义？可类比等差数列完成。

　　Ⅱ.讲授新课

　　1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）。

　　与等差数列定义区别在哪里？

　　1从第二项起与前一项之比为常数(q)

　　｛｝成等比数列=q（,q0）

　　2隐含：任一项

　　3q=1时，{an}为常数。

　　2、类比等差中项的定义【多媒体展示定义】，得等比中项

　　若三个数a，A，b组成的等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且，或A-=-A由此可可得：成等差数列

　　类比等差中项的概念，请学生自己给出等比中项的概念。

　　如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项。

　　这时a、b的符号有什么特点？你能用a与b表示G吗？

　　这时,a,b一定同号,G2=ab

　　与等差数列等差中项区别在哪里？

　　3、探究【多媒体展示问题】：决定一个等比数列的必要条件

　　（1）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？

　　（2）写出一个首项为1的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？

　　写出一个公比为2的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？

　　（3）两个数列的任一项｛an｝及公比q相同，则这两个数列相同吗？

　　（4）若两个等比数列相同，需要什么条件？

　　【学生先完成，讨论交流，解答完成】

　　探究目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件，为等比数列的通项公式的推导做准备。

　　4.问题：回顾等差数列的通项公式的推导过程【多媒体展示推导过程】，你能推导等比数列的通项公式吗？【学生分三组分别就三种方法完成，学生上台板书过程】

　　等比数列的通项公式1:

　　方法1：

　　由等比数列的定义，有：

　　；；；

　　方法2：由=====q,

　　得

　　观察上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现什么共同的特征吗？

　　【项的下标与q的指数的和都是n】

　　等比数列的通项公式2:

　　方法3：由=====q,

　　得：=q，=q,=q,==q

　　=qn-1

　　等差数列与等比数列的通项公式区别在哪里？

　　5、[范例讲解]

　　例1P58例3【多媒体展示例题】一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。

　　解：设这个等比数列的第一项是a1，公比q，

　　那么a1q2=12,a1q3=18

　　解得：a1=q=

　　a2=8

　　例2、课本P57例1、【多媒体展示例题】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％。这种物质的的半衰期为多少（精确到1年）？

　　解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是。由条件可得，数列｛｝是一个等比数列，其中：a1=0.84,q=0.84.

　　设an=0.5,则0.84n=0.5.

　　两边取对数，得nlg0.84=lg0.5.n4.

　　答：这种物质的的半衰期为4年。

平面向量的坐标表示及坐标运算第 2 篇

教学目标

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；

（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；

（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.

2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.

3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.

（2）重点、难点分析

教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.

①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.

②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.

③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.

教学建议

（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.

（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.

（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.

（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.

（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.

（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.

教学设计示例

课题：等比数列的概念

教学目标

1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.

2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.

3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.

教学重点，难点

重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.

教学用具

投影仪，多媒体软件，电脑.

教学方法

讨论、谈话法.

教学过程

一、提出问题

给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1，，，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.

二、讲解新课

请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）

等比数列（板书）

1.等比数列的定义（板书）

根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.

请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：

2.对定义的认识（板书）

（1）等比数列的首项不为0；

（2）等比数列的每一项都不为0，即；

问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？

（3）公比不为0.

用数学式子表示等比数列的定义.

是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？

式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.

3.等比数列的通项公式（板书）

问题：用和表示第项.

①不完全归纳法

.

②叠乘法

，…，，这个式子相乘得，所以.

（板书）（1）等比数列的通项公式

得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.

（板书）（2）对公式的认识

由学生来说，最后归结：

①函数观点；

②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.

这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）

如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.

三、小结

1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；

2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；

3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.

平面向量的坐标表示及坐标运算第 3 篇

　　教学目标

　　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.

　　(1)正确理解等比数列的定义，解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，解等比中项的概念;

　　(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;

　　(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.

　　2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.

　　3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.

　　教学建议

　　教材分析

　　(1)知识结构

　　等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.

　　(2)重点、难点分析

　　教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.

　　①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.

　　②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.

　　③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.

　　教学建议

　　(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的'概念，一节课为等比数列通项公式的应用.

　　(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.

　　(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.

　　(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.

　　(5)由于有等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.

　　(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.

　　教学设计示例

　　课题：等比数列的概念

　　教学目标

　　1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.

　　2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.

　　3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.

　　教学重点，难点

　　重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.

　　教学用具

　　投影仪，多媒体软件，电脑.

　　教学方法

　　讨论、谈话法.

　　教学过程

　　一、提出问题

　　给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)

　　①-2，1，4，7，10，13，16，19，

　　②8，16，32，64，128，256，

　　③1，1，1，1，1，1，1，

　　④243，81，27，9，3，1，

　　⑤31，29，27，25，23，21，19，

　　⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，

　　⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，

　　⑧0，0，0，0，0，0，0，

　　由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).

　　二、讲解新课 请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题

　　假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)

　　等比数列(板书)

　　1.等比数列的定义(板书)

　　根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.

　　请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识。

平面向量的坐标表示及坐标运算第 4 篇

　　教学目标

　　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.

　　（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；

　　（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；

　　（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.

　　2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.

　　3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）知识结构

　　等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.

　　（2）重点、难点分析

　　教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.

　　①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.

　　②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.

　　③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.

　　教学建议

　　（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.

　　（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.

　　（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.

　　（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.

　　（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.

　　（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.

　　教学设计示例

　　课题：等比数列的概念

　　教学目标

　　1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.

　　2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.

　　3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.

　　教学重点，难点

　　重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.

　　教学用具

　　投影仪，多媒体软件，电脑.

　　教学方法

　　讨论、谈话法.

　　教学过程

　　一、提出问题

　　给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）

　　①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

　　②8，16，32，64，128，256，…

　　③1，1，1，1，1，1，1，…