二元一次方程组消元的方法

这是二元一次方程组消元的方法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

二元一次方程组消元的方法第 1 篇

　　教学目标：

　　1.会用加减消元法解二元一次方程组.

　　2.能根据方程组的特点，适当选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.

　　3.了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法.

　　教学重点：

　　加减消元法的理解与掌握

　　教学难点：

　　加减消元法的灵活运用

　　教学方法：

　　引导探索法，学生讨论交流

　　教学过程：

　　一、情境创设

　　买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需要23元，买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元，每瓶苹果汁和每瓶橙汁售价各是多少?

　　设苹果汁、橙汁单价为x元，y元.

　　我们可以列出方程3x+2y=23

　　5x+2y=33

　　问：如何解这个方程组?

　　二、探索活动

　　活动一：1、上面“情境创设”中的'方程，除了用代入消元法解以外，还有其他方法求解吗?

　　2、这些方法与代入消元法有何异同?

　　3、这个方程组有何特点?

　　解法一：3x+2y=23①

　　5x+2y=33②

　　由①式得③

　　把③式代入②式

　　33

　　解这个方程得：y=4

　　把y=4代入③式

　　则

　　所以原方程组的解是x=5

　　y=4

　　解法二：3x+2y=23①

　　5x+2y=33②

　　由①—②式：

　　3x+2y-(5x+2y)=23-33

　　3x-5x=-10

　　解这个方程得：x=5

　　把x=5代入①式，

　　3×5+2y=23

　　解这个方程得y=4

　　所以原方程组的解是x=5

　　y=4

　　把方程组的两个方程(或先作适当变形)相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法(eliminationbyadditionorsubtraction)，简称加减法.

　　三、例题教学：

　　例1.解方程组x+2y=1①

　　3x-2y=5②

　　解：①+②得，4x=6

　　将代入①，得

　　解这个方程得：

　　所以原方程组的解是

　　巩固练习(一)：练一练1.(1)

　　例2.解方程组5x-2y=4①

　　2x-3y=-5②

　　解：①×3，得

　　15x-6y=12③

　　②×3，得

　　4x-6y=-10④

　　③—④，得：

　　11x=22

　　解这个方程得x=2

　　将x=2代入①，得

　　5×2-2y=4

　　解这个方程得：y=3

　　所以原方程组的解是x=2

　　y=3

　　巩固练习(二)：练一练1.(2)(3)(4)2.

　　四、思维拓展：

　　解方程组：

　　五、小结：

　　1、掌握加减消元法解二元一次方程组

　　2、灵活选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组

　　六、作业

　　习题10.31.(3)(4)2.

二元一次方程组消元的方法第 2 篇

教学建议

　　1．教材分析

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　重点：本小节的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.

　　难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.

　　2．教法建议

　　（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.

　　（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.

　　（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：

　　这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法. 教学设计示例 （第一课时）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤．

　　2．能运用加减法解二元一次方程组．

　　（二）能力训练点

　　1．培养学生分析问题、解决问题的能力．

　　2．训练学生的运算技巧．

　　（三）德育渗透点

　　消元，化未知为已知的转化思想．

　　（四）美育渗透点

　　渗透化归的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：谈话法、讨论法．

　　2．学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法．

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　（－）重点

　　使学生学会用加减法解二元一次方程组．

　　（二）难点

　　灵活运用加减消元法的技巧．

　　（三）疑点

　　如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．

　　（四）解决办法

　　只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入新课即加减法解二元一次方程组．

　　2．通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性．

　　3．通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组．

　　（二）整体感知

　　加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题．

　　（三）教学过程

　　1．创设情境，复习导入

　　（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？

　　（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确． 　

　　学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果．

　　上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容．

　　【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题．

　　2．探索新知，讲授新课

　　第（2）题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的'性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．

　　解：①＋②，得

　　把 代入①，得

　　∴

　　∴

　　学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同．（相同）

　　上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 ．观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）

　　学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．（相同）

　　我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”．

　　提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）

　　②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）

　　③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）

　　【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．

　　例1解方程组

　　哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）

　　学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演．

　　解：①－②，得

　　∴

　　把 代入②，得

　　∴

　　∴

　　∴

　　（1）检验一下，所得结果是否正确？

　　（2）用②－①可以消掉 吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）

　　（3）把 代入①， 的值是多少？（ ），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）

　　练习：P23l．（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示．

　　小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等．

　　例2解方程组

　　（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）

　　（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）

　　归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．

　　学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示．

　　

　　学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤．

　　①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．

　　②加减消元．

　　③解一元一次方程．

　　④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　练习：P231．（4）（5）．

　　【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．

　　4．变式训练，培养能力

　　（1）选择：二元一次方程组 的解是（　）

　　A． 　B． 　C． 　D．

　　（2）已知 ，求 、 的值．

　　学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．

　　【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组 从而求得 、 的值．此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力．

　　（四）总结、扩展

　　1．用加减法解二元一次方程组的思想：

　　2．用加减法解二元一次方程组的条件：某一未知数系数绝对值相等．

　　3．用加减法解二元一次方程组的步骤：

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P24　1．

　　（二）选做题：P25　B组1．

　　（三）预习：下节课内容．

二元一次方程组消元的方法第 3 篇

学习目标：会运用代入消元法解二元一次方程组.

学习重难点：

1、会用代入法解二元一次方程组。

2、灵活运用代入法的技巧.

学习过程：

一、基本概念

1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做____________。

2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做________，简称_____。

3、代入消元法的步骤：

二、自学、合作、探究

1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______;若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________。

2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x=____________。

3、若的解，则a=______，b=_______。

4、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。

5、用代人法解方程组①②，把____代人____，可以消去未知数______。

6、已知方程组的解也是方程组的解，则a=_______，b=________,3a+2b=___________。

7、已知x=1和x=2都满足关于x的方程x2+px+q=0，则p=_____，q=________。

8、当k=______时，方程组的解中x与y的值相等。

9、用代入法解下列方程组:

⑴⑵⑶

二、训练

1、方程组的解是()

a.b.c.d.

2、已知二元一次方程3x+4y=6，当x、y互为相反数时，x=_____，y=______;当x、y相等时，x=______，y=_______。

3、若2ay+5b3x与-4a2xb2-4y是同类项，则a=______，b=_______。

4、对于关于x、y的方程y=kx+b，k比b大1，且当x=时，y=，则k、b的值分别是()

a.b.2,1c.-2,1d.-1,0

5、用代入法解下列方程组

⑴⑵

6、如果(5a-7b+3)2+=0，求a与b的值。

7、已知2x2m-3n-7-3ym+3n+6=8是关于x,y的二元一次方程，求n2m

8、若方程组与有公共的解，求a，b.

二元一次方程组消元的方法第 4 篇

教学目标：

１、会用代入法解二元一次方程组

２、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

引导*材料：

本节课，我们以上节课讨论的求*、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“*、乙骑自行车从相距６０千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是*的速度的２倍，求*、乙两人的速度。”设*的速度为Ｘ千米／小时，由题意可得一元一次方程２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０；设*的速度为Ｘ千米／小时，乙的速度为Ｙ千米／小时，由题意可得二元一次方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０

y=2x观察

２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０与２（Ｘ＋Ｙ）=６０①

y=2x②有没有内在联系？有什么内在联系？

（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换就可得到一元一次方程。）

知识产生和发展过程的教学设计

问题１：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

解方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０①

y=2x②

解：把②代入①得：

２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０，

６Ｘ＝６０，

Ｘ＝１０

把Ｘ＝１０代入②，得

Ｙ＝２０

因此：Ｘ＝１０

Ｙ＝２０

问题２：你认为解方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０①

y=2x②的关键是什么？那么解方程组

Ｘ＝２Ｙ＋１

２Ｘ—３Ｙ＝４的关键是什么？求出这个方程组的解。

上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

问题３：对于方程组２Ｘ＋５Ｙ＝－２１①

Ｘ＋３Ｙ＝８②能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）

例题解析

例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

（１）Ｘ＝１－Ｙ①

３Ｘ＋２Ｙ＝５②

将①代入②（消去Ｘ）得：

３（１－Ｙ）＋２Ｙ＝５

（２）５Ｘ＋２Ｙ－２５.２＝０①

３Ｘ－５＝Ｙ②

将②代入①（消去Ｙ）得：

５Ｘ＋２（３Ｘ－５）－２５.２＝０

（３）２Ｘ＋Ｙ＝５①

３Ｘ＋４Ｙ＝２②

由①得Ｙ＝５－２Ｘ，将Ｙ＝５－２Ｘ代入②消去Ｙ得：

３Ｘ＋４（５－２Ｘ）＝２

（４）２Ｓ－Ｔ＝３①

３Ｓ＋２Ｔ＝８②

由①得Ｔ＝２Ｓ－３，将Ｔ＝２Ｓ－３代入②消去Ｔ得：

３Ｓ＋２（２Ｓ－３）＝８

课内练习：

解下列方程组。

（１）２Ｘ＋５Ｙ＝－２１（２）３Ｘ－Ｙ＝２

Ｘ＋３Ｙ＝８３Ｘ＝１１－２Ｙ

小结：

１、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

２、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

３、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（１）中，把①代入②，就是把方程②中的元“Ｘ”用“１－Ｙ”去替换，使方程②中只含有一个未知数Ｙ。

课后作业：

教科书第１４页练习题２（１）、（２）题，第１５页习题５.2a组２（１）、（２）、（４）题。