向量公式

这是向量公式，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

向量公式第 1 篇

一、教学目标：

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.

三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合

五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对

的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数

，使

.

2.基底：

(1) 不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底：不共线，不唯一，非零

(3) 基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4) 基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.作业

向量公式第 2 篇

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教学过程：

一、 复习引入：

rr1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

rr（1）|λa|=|λ||a|；

rrrrr（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

rr结合律：λ(μa)=(λμ)a ；

rrrrrrr分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb

rr3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零rr实数λ，使b=λa.

二、讲解新课：

1．提出问题：由平行四边形想到：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

2．设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，

e1 a

MC

N B e2

O OA=e1 ，OM=λ

1e2； OB=e2 ，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，

2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

rr于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2. 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

r(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

3、两个非零向量的夹角：

rruuurruuurr 如图所示，已知两个非零向量a,b，在平面上任取一点O，作OA=aO ,B=b，

rr则ÐAOB=q(0£q£p)叫做向量a与b的夹角，

ba BAO θbθ bAOB aa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的[0,p]范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。 （2）只有非零向量之间才存在夹角；

rr （3）如果∠AOB=0°a与b同向；

rrrr （4）如果∠AOB=90°，我们就说向量a与b垂直，记作：a^b；

rr（5）如果∠AOB=180°a与b反向。

三、讲解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量-2.5e1+3e2.

作法：见教材

四、课堂练习：

1.设e

1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e

1、e2一定平行

e2e1B.e

1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e

1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e

1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e

1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

六、课后作业：课本：101页1,2 板书设计：略

向量公式第 3 篇

复习要求

、向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运算图形语言符号语言坐标语言

加法与减法

=

-=

记=,=

则=

-==

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈R记=

则λ=两个向量

的数量积

·=||||

cos<,>

记=,=

则·=x1x2y1y2

3、运算律

加法:=,=

实数与向量的乘积:λ=λλ;=λμ,λ=

两个向量的数量积:·=·;·=·=λ,·=··

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=

两个向量平行的充要条件

符号语言:若∥,≠,则=λ

坐标语言为:设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

两个向量垂直的充要条件

符号语言:⊥·=0

坐标语言:设=,=,则⊥x1x2y1y2=0

线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设P,P1,P2

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平移公式:

①点平移公式,如果点P按=平移至P',则

分别称,为旧、新坐标,为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

②图形平移:设曲线c:y=f按=平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f

当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理变形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的"程序性"特点。

四、典型例题

例

1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。

分析:

以,为邻边,为对角线构造平行四边形

把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0

则=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。

分析:

用解方程组思想

设D,则=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求与向量=,-1)和=夹角相等,且模为的向量的坐标。

分析:

用解方程组思想

法一:设=,则·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:从分析形的特征着手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB为等腰直角三角形,如图

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c为AB中点

∴c

说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。

例

4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共线

∴记=s

∴①

同理,记

∴=②

∵,不共线

∴由①②得解之得:

∴

说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。

例

5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点

利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;

若∠PED=450,求证:P、D、c、E四点共圆。

分析:

利用坐标系可以确定点P位置

如图,建立平面直角坐标系

则c,D,E

设P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴点P为靠近点A的AB三等分处

当∠PED=450时,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四点共圆

说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。

同步练习

选择题

、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:

A、B、c、D、或

2、点沿向量平移到,则点沿平移到:

3、A、B、c、D、

4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能

5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

①-=0

②||-||<|-|

③-不与垂直

④·=9||2-4|2中,

真命题是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在

A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上

c、AB边所在直线上D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=

A、B、c、D、

填空题

9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。

1、设,是两个单位向量,它们夹角为600,

则·=____________。

2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。

解答题

3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。

参考答案

1、c

2、B

3、D

4、B

5、D

6、B

7、A

8、

9、

10、

11、

12、y=sinx1

13、

4、=,=,

5、λ<,或λ>且λ≠ 课

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A

向量公式第 4 篇

平面向量

一、知识梳理：

（1）本章要点梳理：

1.向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，1®®

特别注意：(AB+AC) 表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适

2用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、-（或-）.2.理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。 与非零向量同向的单位向量a0=，叫做的单位向量。而±a0都与共线（与反向

的单位向量为-a0=.3.两向量所成的角指的是两向量方向所成的角;两向量数量积×=||||cos<,>；其中|b|cos可视为向量在向量上的投影.

4.向量运算中特别注意a=|a|的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解.

5.向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式x×+y×的“简记”.其中i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.

6.利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,p].特别注意：×>0不能等同于,所成角是锐角，因为当,同向时也满足×>0;同样的道理，×á0不能等同于,所成角是钝角，因为当a,b反向时也满足×á0

［例］l是过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关. 22®®®

ìy2=2pxppï分析：由直线l过焦点F(,0)，设其方程为x=my+，联立得：í，即：p22ïx=my+2î

y1y2p2=.则y-2pmy-p=0，则y1×y2=-p，又x1×x2=×2p2p4222223p

2OA×OB=x1x2+y1y2=-<0，则ÐAOB一定是钝角.选C.

47.直线l的向量参数方程式：A、P、B三点共线 则OP=(1-t)OA+tOB

8.关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型.［例］已知向量a={2cosx,1},b={cosx,3sin2x},xÎR.设f(x)=a×b.

（1）若f(x)=1-3且xÎ[-pp,]，求x的值； （2）若函数y=2sin2x的图像按向量3

3c={m,n}(|m|

2)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m,n的值.

2解析：（1）f(x)=2cosx+3sin2x=cos2x+1+3sin2x=2sin(2x+p

6)+1，

易得x=-p

4.（2）函数y=2sin(2x+p

6)+1是由函数y=2sin2x的图像向左平移p，再把1

2所得图像向上平移1个单位而得，所以m=-

二、易错、易混、易忘点梳理： p12,n=1.

【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。

例1.下列命题：①()2×()2=||4 ②(×)×=(×)× ③ |²|=||²||④若∥b,b∥c,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使=l ⑥若×=×，且≠，则=⑦设e1,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使=xe1+ye2成立。⑧若|+|=|－|则²=0。⑨²=0，则=或=。其中真命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．3个以上 rrr2解析：①正确。根据向量模的计算a·a=a判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,rrrrrrr这是因为根据数量积和数乘的定义(a×c)×b表示和向量b共线的向量，同理(a×b)×c表示和向量rrrrrrrrrc共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(a×b)×c¹(a×c)×b不一定成立。③rrrr错误。应为a·b£ab④错误。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。r⑤错误。应加条件“非零向量a”。⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向rrr量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故²=0。⑨错误。只需两向量垂

直即可。答案：B 【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ²ｂ＝ｂ²ａ(交换律)②（λａ）²ｂ＝λ（ａ²ｂ）＝ａ²（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)²с＝ａ²с＋ｂ²с(分配律)说明：（1）一般地，(ａ²ｂ)с≠ａ（ｂ²с）（2）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ²с＋ａ²ｄ＋ｂ²с＋ｂ²ｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ²ｂ＋ｂ

【练习】设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a²b）c－（c²a）b=0②|a|－|b|<|a－b|③（b²c）a－（c²a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|－4|b|中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案： D

【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。

例2.四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ²ｂ＝ｂ²с＝с²ｄ＝ｄ²ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC

，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。

解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）即｜ａ｜＋２ａ²ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с²ｄ＋｜ｄ｜由于ａ²ｂ＝с²ｄ，∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜①同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD２２２２２22２2２２２２２２２２２２２２

形ABCD是平行四边形.另一方面，由ａ²ｂ＝ｂ²с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ²(2ａ)＝０即ａ²ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜+｜b｜）=｜a－b｜+｜222a+b｜2（2）向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)等有用的结论。

【练习】（1）点O是DABC所在平面内的一点，满足OA×OB=OB×OC=OC×OA，则点O是DABC的（）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

（2）DABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH=m(OA+OB+OC)，则实数m =

答案：（1）D（2）m=

1【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 uuuruuur例3.已知DABC中,a=5,b=8,c=7,求BC·CA.(答案:-20)

【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如

°°°°éù0,1800,180直线的倾斜角的取值范围是é，两向量的夹角的范围是ëëû，注意向量的夹角是

否为三角形内角。 )

【易错点4】向量数积性质的应用。

例4.已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。

解析：本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。答案： 60°。

【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂÛａ²ｂ＝０③ａ²ａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝a×a=a④ｃｏｓθ＝２2a×b a×b

⑤｜ａ²ｂ｜≤｜ａ｜²｜ｂ｜

rrrrr5【练习】（1）已知向量a=(1,2),b=(-2,-4=5,若(a+b)×c=,则a与c的夹角为（）

2C．120°D．150°答案：C（注意b=-2a） rrrrrrr（2已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（） rrrrrrrrrrrr(A) a⊥e(B) a⊥(a－e)(C) e⊥(a－e)(D) (a＋e)⊥(a－e)答案：C A．30°B．60°

【易错点5】向量与三角函数求值、运算的交汇 rrrrr例

5、a=(1+cosa,sina),b=(1-cosb,sinb),c=(1,0),aÎ(0,p),bÎ(p,2p)，a与c的夹

rrpa-b角为θ1， b与c的夹角为θ2，且q1-q2=,求sin的值.

32【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。

解析：rbbba=(2cos,2sincos)=2cos(cos,sin),b=(2sin2,2sincos)2222222222aaaaaa=2sinb

2(sinb

2,cosb

2)QaÎ(0,p),bÎ(p,2p),aÎ(0,),Î(,p),故有2222pbp

2arr2cosrarba×c2=cosa,q=a,|a|=2cos|b|=2sincosq1=rr=12222|a|×|c|2cosa

2brr2sin2

b×c2=sinb,0

2abpa-bpa-bp1q1-q2=-+,=-，从而sin=-sin=-. 22226262

【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。

【易错点6】向量与解三角形的交汇

→→→→例6.ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC=0 。

→→→→→→①求数量积，OA²OB ，OB²OC ，OC²OA ；②求ΔABC的面积。

→→→【思维分析】第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一

向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。

→→→→→→→→→→→2解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0 得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋

→→→2→2→→→→→→→4→→→24OA²OB＋16OB=25OC∴OA²OB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OB²OC=－ 由3OA＋5OC=－4OB

5→→3求得OA²OC=－5

1→→1443→→→→②由OA²OB=0,故sD0AB= |OA||OB|= 由OB²OC=－ 得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－ ∴22555

1→→33341→→→由OC²OA=－ 得cos∠COA=－ ∴sin∠COA= ∴sD0AC= |OCsD0BC= |OB||OC|sin∠BOC= ，210555

221326→||OA|sin∠COA= 即sABC=sD0AB＋sD0AC＋sD0BC= ＋ ＋ =521055

【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。