空间向量与立体几何教学设计

这是空间向量与立体几何教学设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

空间向量与立体几何教学设计第 1 篇

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

a 注意：当我们说、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

a我们说、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝?a （1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a同向，

当?<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ② 当t?

12

时，点P是线段AB的中点，则 OP

12

(OA?OB). ③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就???

说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数

对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

a说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}?p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R?，

叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA

叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

a

，OB

b

，则角∠AOB

说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=?OA,OB?，

（1）

B

重合，注意图

图（2）中∠AOB=???AO,OB?,

从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量a、b的数量积，记作a?b。

即a?b=abcos?a,b?，

向量AB在e方向上的正射影

:

a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性质与运算率

⑴a?e?cos?a,e?。⑴(?a)?b??(a?b)

⑵a⊥b?a?b⑵a?b=b?a

⑶|a|?a?a.⑶a?(b?c)?a?b?a?c

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共

线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；????????

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是

2

（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M

C1

为

A1C1

与

B1D1的交点。若AB?a，AD?b，AA1?c，则

BM相等的向量是（ ）

A

下列向量中与

1?1??1?1??1?1??11?a?b?ca?b?c?a?b?ca?b?c (A)(B)(C)(D)

222222221?1??

解析：显然BM?BB1?B1M?(AD?AB)?AA1??a?b?c；答案为A。

222

1

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空

间想象能力。

例3、已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求x,y的值.

解：?a∥b,,且a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p. 又?m,n,p不共面,?

x?13

8?2

2y?4

,?x??13,y?8.

点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明：记AB?a,

空间向量与立体几何教学设计第 2 篇

一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点

间的距离公式．

三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）

(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)

(1) a±b＝ 。 (2) ?a＝ ．(3) a2b＝ ． (4) a∥b? ；a?b?．

（5）模长公式：若a?(a1,a2,a3)， 则|a|?? A?(x1,y1,z1),B

(x2,y2,z2)

则AB＝ ，AB? ． AB的中点M的坐标为 ．

4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标

例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a：|a|=b：|b| B.a12b1=a22b2=a32b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb

（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）

A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）

A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；

2??4?16?x?36?x?4,

4?4y?2x?0??y??3?点拨：由题知

（2）A

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）.

1?0?0

x??4,

或?y?1.；

(1)cos?2?

5?

－

10

，∴a和b的夹角为－

10

。

(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），

ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），

2

∴（k－1，k，2）2（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k－8=2k2+k－10=0。

5

则k=－2或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=k2a2－ka2b－2b2=2k2+k－

5

10=0，解得k=－2，或k=2。 题型2：数量积

a=_____. 例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）2

（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。

4

。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2a－b）2a=2a－b2a=2|a|－|a|2|b|2cos120°=224

22

－225（－

12

）=13。（2）解：(1)∵|a|=|b|=1，∴x+y=1，∴x=y=1.

2

6

1?1?1

2

2

2

2

1212222

又∵a与c的夹角为4，∴a2c=|a||c|cos

62

4=2=2.

又∵a2c=x1+y1，∴x1+y1=

21

21

。

6

11

另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=((2)cos

2

)2－1=2.∴x1y1=4。

6

1

1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=

1

2，x1y1=4.

∴x1，y1是方程x2－

x1????

y1???

6?46?4

22,,

2

x+4=0的解.

6?46?46?46?4

22,,22,.

x2????

y2???

6?46?4

26?46?42,.22,,

x2????

y2???

6?46?4

22,.

∴或

x1????

y1???

同理可得或

∵a≠b，∴

x1?y2????

x2?y1???

或

2

x1?y2????

x2?y1???

1

1

1

6?26?6?26?2

∴cos=

4

2

4

+

3

4

2

4

=4+4=2.

∵0≤≤π，∴=

题型3：空间向量的应用

。评述：本题考查向量数量积的运算法则。

例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：a?1+b?1+c?1≤43。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设m=(a?1，b?1，c?1)，n=(1，1，1)， 则|m|=4，|n|=3. ∵m2n≤|m|2|n|，

∴m2n=a?1+b?1+c?1≤|m|2|n|=43.

1

11

1

当

a?1

=

b?1

=

c?1

时，即a=b=c=3时，取“=”号。

2

（2）解：W=F2s=(F1+F2+F3)2M1M

=14。

2

2

2

2

2

2

2

n=(a，n≤|m|2|n|，点评：若m=(x，y，z)，b，c)，则由m2得(ax+by+cz)≤(a+b+c)(x+y+z).

此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a|2|b|≥a2b的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

（三）、强化巩固训练

1、(07天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a2b）c－（c2a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b2c）a－（c2a）b不与（3a－2b）=9|a|－4|b|中，是真命题的有（ ） c垂直 ④（3a+2b）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D

②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为［（b2c）a－（c2a）b］2c=（b2c）a2c－（c2a）b2c=0，所以垂直.故③假； ④（3a+2b）（3a－2b）=92a2a－4b2b=9|a|－4|b|成立.故④真.

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

2、已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，求AC． ????????

解：设OC??x,y,z?,BC??x?1,y?1,z?2?，

∵OC?OA,BC∥OA，∴OC?OA?0，BC??OA???R?， ?3x?z?0,?

x?1?3?,?3x?z?0,∴?，即?

x?1,y?1,z?2??3,0,1y?1?0,???????

z?2??.

2

2

2

2

解此方程组，得x??

710

,y?1,z?

2110

,??

110

。

（四）、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，

本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． （五）、作业布置：课本P56页A组中6、11、12、19

课外练习：限时训练53中2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思：

第三课时 空间向量及其运算强化训练

一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程

（一）、基础自测（分组训练、共同交流） 1.有4个命题：

①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；

③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是（ B ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（ C ）。 A.x=1,y=1

空间向量与立体几何教学设计第 3 篇

(1) 学生的参与

　　这节课的主讲不是我，是学生我要做的是设置问题和激发兴趣。至于整个分析过程和解决过程都是由学生来完成的。这节课二班学生积极参与，注意力集中。课堂气氛活跃学生兴趣浓厚，求知欲强，参与面大，在课堂中能够进行有效的合作与平等的交流。

　　(2) 学生的创新

　　这一点是我这节课的意外收获。在求一点坐标时，我用的是投影而该班周英杰同学却利用的是共线，方法简洁，给人以耳目一新的感觉。另外该班的徐汉宇同学在两道中都提出了不同的做法。有其独特的见解。可见学生真的是思考了，我也从中获益不少。真的是给学生以展示的舞台。他回报你以惊喜。

　　(3) 学生的置疑

　　林森同学能直截了当的指出黑板上的`错误而且是一个我没发现的错误这一点是我没想到的.这说明了学生的注意力高度集中.善于观察也说明了我们的课堂比较民主,学生敢于置疑.这种大胆质疑的精神值得表扬.

　　我不满意的地方有以下几点

　　(1) 题量的安排

　　5道题虽然代表不同的类型. 但从效果上看显得很匆忙.每道题思考和总结的时间不是很长,我觉得要是改成4道题.时间就会充裕效果就会更好些.

　　(2) 课件的制作

　　立体几何着重强调的是空间想象力,如果能从多个角度观察图形学生会有不同发现.比如徐汉宇同学的不同做法.需要对图形旋转.如果让他上黑板做图时间又不够.我想不妨让他画好图后用投影仪投到大屏幕上,效果会更好.

　　(3) 总结时间短

　　这节课的主题是两种方法的比较和不同方法的适用题型,后来的小结时间不够.这和我设置的容量大.有直接关系.没有突出主题.我想不如直接删掉一道题.空出时间让学生自己谈谈心得体会.自己找找解题规律应该会更好.

　　以上就是我对这节课的反思.其实我最想说的是我的心路历程.每次上公开课都能发现新问题.正是这些问题使我变得成熟,完善,我很珍惜每一次上公开课的机会.它使我理智的看待自己的教学活动中熟悉的习惯性的行为.使自己的教育教学理念和教学能力与时俱进.

空间向量与立体几何教学设计第 4 篇

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

a 注意：当我们说、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

a我们说、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝?a （1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a同向，

当?<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ② 当t?

12

时，点P是线段AB的中点，则 OP

12

(OA?OB). ③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就???

说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数

对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

a说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}?p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R?，

叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA

叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

a

，OB

b

，则角∠AOB

说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=?OA,OB?，

（1）

B

重合，注意图

图（2）中∠AOB=???AO,OB?,

从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量a、b的数量积，记作a?b。

即a?b=abcos?a,b?，

向量AB在e方向上的正射影

:

a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性质与运算率

⑴a?e?cos?a,e?。⑴(?a)?b??(a?b)

⑵a⊥b?a?b⑵a?b=b?a

⑶|a|?a?a.⑶a?(b?c)?a?b?a?c

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共

线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；????????

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是

2

（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M

C1

为

A1C1

与

B1D1的交点。若AB?a，AD?b，AA1?c，则

BM相等的向量是（ ）

A

下列向量中与

1?1??1?1??1?1??11?a?b?ca?b?c?a?b?ca?b?c (A)(B)(C)(D)

222222221?1??

解析：显然BM?BB1?B1M?(AD?AB)?AA1??a?b?c；答案为A。

222

1

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空

间想象能力。

例3、已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求x,y的值.

解：?a∥b,,且a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p. 又?m,n,p不共面,?

x?13

8?2

2y?4

,?x??13,y?8.

点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明：记AB?a,

AC?b,AA1?c,

则

12b?c

AB1?a?c,DB?AB?AD?a?

12

b,DC1?DC?CC1?

∴DB

DC1?a?c?AB1

,∴AB1,

DB,DC1

共面.∵B1?平面C1BD, AB1//平面C1BD.（四）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF解：易求得x?

y?

12

,?x?y?0

AD?xAB?yAA1

，求x－y的值.为AC与BD的交点，若A1B1

2、

在平行六面体ABCD

A1B1C1D1中，Ma，A1D1

b，A1A?c，则下列向量

中与B1M相等的向量是