《因式分解》课题教案

这是《因式分解》课题教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等.

　　⑴提公因式法

　　①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

　　②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

　　am+bm+cm=m(a+b+c)

　　③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.

　　⑵运用公式法

　　①平方差公式：. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

　　②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

　　※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

　　③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

　　立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

　　④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

　　⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

　　a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

　　⑶分组分解法

　　分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

　　分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

　　⑷拆项、补项法

　　拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

　　⑸十字相乘法

　　①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么

　　kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

　　a -----/b ac=k bd=n

　　c /-----d ad+bc=m

　　※ 多项式因式分解的一般步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

　　(6)应用因式定理：如果f(a)=0，则f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式。

　　经典例题：

　　1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

　　2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33

　　x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

　　当y=0时，原式=x^5不等于33;当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立

　　因式分解的十二种方法

　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

　　1、 提公因法

　　如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

　　例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

　　x -2x -x=x(x -2x-1)

　　2、 应用公式法

　　由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

　　例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

　　解：a +4ab+4b =(a+2b)

　　3、 分组分解法

　　要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

　　例3、分解因式m +5n-mn-5m

　　解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

　　= (m -5m )+(-mn+5n)

　　=m(m-5)-n(m-5)

　　=(m-5)(m-n)

　　4、 十字相乘法

　　对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

　　例4、分解因式7x -19x-6

　　分析： 1 -3

　　7 2

　　2-21=-19

　　解：7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

　　5、配方法

　　对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

　　例5、分解因式x +3x-40

　　解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

　　=(x+ ) -( )

　　=(x+ + )(x+ - )

　　=(x+8)(x-5)

　　6、拆、添项法

　　可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)

　　7、 换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

　　例7、分解因式2x -x -6x -x+2

　　解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

　　=x [2(x + )-(x+ )-6

　　令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

　　= x [2(y -2)-y-6]

　　= x (2y -y-10)

　　=x (y+2)(2y-5)

　　=x (x+ +2)(2x+ -5)

　　= (x +2x+1) (2x -5x+2)

　　=(x+1) (2x-1)(x-2)

　　8、 求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

　　例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

　　解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

　　通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1

　　则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

　　9、 图象法

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

　　例9、因式分解x +2x -5x-6

　　解：令y= x +2x -5x-6

　　作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

　　则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

　　10、 主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

　　例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

　　分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

　　解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

　　=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

　　=(b-c)(a-b)(a-c)

　　11、 利用特殊值法

　　将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　例11、分解因式x +9x +23x+15

　　解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

　　则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

　　12、待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例12、分解因式x -x -5x -6x-4

　　分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

　　= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

　　所以 解得

　　则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)