二次函数图象平移的优秀教学案例

这是二次函数图象平移的优秀教学案例，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　一、背景介绍

　　中国数学教师采取哪些有效的教学策略开展课堂实践?这个问题引起了研究者的兴趣，许多优秀的数学观摩课(或称公开课，示范课)首先进入了他们的视野[1～7].这些研究的基本出发点是：通过对优秀数学课堂的研究，一方面可以了解课程改革理念在课堂教学中的实施情况，指出存在的不足，总结成功的经验;另一方面也可以给更多的教师提供反思自身教学的机会——所谓“知人者智，自知者明”，有利于促进教师的专业发展[8～9].然而，对于观摩课的批评之辞，历来是不绝于耳——多了一分“表演”，少了一分“朴实”，不能真实反映课堂教学[10].不少人认为，常态下的课堂也许更能反映教师真实朴素的教学特征.为此，以下研究的是常态下的数学课堂.

　　根据教师专业发展的历程，教师的成长可以分成3个阶段：新手教师、经验教师(熟手教师)和专家教师[11].从教师成长的时间跨度以及条件来看[12]，不难推断经验教师是教师群体的中坚力量.从这一角度来说，选择经验教师作为研究对象，具有重要的现实意义.同时，经验教师又是教师专业发展中的一个重要阶段，是从新手教师成长为专家教师的必由之路.研究经验教师的教学策略还可以为教师的培养，提供有价值的建议.

　　已有研究表明，对于中学生而言，函数是一个较难理解的数学概念[13～15].7～9年级学段的课程所介绍的具体函数一共有3类：一次函数、反比例函数和二次函数[16].教科书也往往把这部分的内容作为这个学段最后介绍的代数知识.在二次函数这部分内容中，二次函数图象的平移是一个重要的组成部分，包括对y=a图象的上下平移、左右平移，以及平移的复合.研究表明，学生在学习二次函数时会遭遇到许多认知障碍[17～18].首先，平移变换是对二次函数的运算，因此学生必须认识到二次函数是一个可操作的对象.其次，图象的上下平移是符合学生直觉的，而图象的左右平移恰巧是反直觉的.图象上下平移和左右平移之间的不一致，往往会造成学生理解平移概念的困难.再者，Eisenberg和Dreyfus[19]的研究表明，学生理解二次函数图象左右平移的困难要大于上下平移.Baker、Hemenway和Trigueros[20]借助APOS(Action-Process-Object-Schema)理论[21]解释说“上下平移的动作是直接操作在函数上，而左右平移包含的动作首先操作在自变量上，进而再操作到函数上”，这是产生困难的原因之一.

　　二、研究问题

　　许多研究者对中国的数学课堂进行了细致的观察，试图通过对数学课堂的精细分析来解读中国数学课堂的特点[22].下面将聚焦一位数学经验教师的日常课堂教学，以此作为个案，研究数学教师的课堂教学策略.并把研究的重点集中在教师关于“二次函数图象平移”的课堂教学上.

　　三、研究过程

　　1.研究对象

　　申老师是中学一级教师，1999年本科毕业于某大学数学系师范专业，到目前为止已经从事初中数学教学10年.当前，他正在攻读教育硕士学位，并已经开始准备学位论文答辩了.申老师任教的琴川初级中学，坐落于苏南虞城西侧，学校占地66亩，教学设施先进，一共有48个班级.这所学校是近年从琴川中学的初中部分离出来的，并与邻近的另一所初级中学合并，形成现在独立的规模.

　　邀请申老师参与此项研究的原因，一方面他符合这里所定义的经验教师，更重要的是他与研究者十分熟悉，有助于研究的顺利展开.

　　2.数据收集与分析

　　在2009年10月到11月，对申老师所任教的九年级数学课堂进行了连续的观察，教学的内容是二次函数，一共12节课，每节课的教学时间为40分钟左右.在数学课上，一位研究者拍摄教学录像，另一位研究者做实地笔记，并用照相机拍摄学生课堂上完成教师布置练习的书面解答.在每节课结束后，复印教师教学准备的教案，由记录实地笔记的研究者对教师进行半结构的深度访谈，同时另一位研究者拍摄下访谈的全过程.数学课堂及访谈录像中的对话都被研究助手逐字逐句地转化成了文本.

　　讲授“二次函数图象平移”的次序是：第4节(二次函数图象的上下平移)，第5节(二次函数图象的左右平移)，第6节(两种平移的综合复习).在反复观看课堂录像和研读课堂文本的基础上，研究者对课堂的教学策略进行了编码，初步得到11个码号.经过码号的归档，发现了经验教师采用的是“先整体、后细节”的教学策略，促进了学生理解和掌握二次函数图象平移的性质.

　　四、研究结果与分析

　　1.舒缓的长镜头——二次函数图象的上下平移

　　(1)类比直线的平移

　　在这个环节中，教师首先试图给予学生抛物线平移的整体印象，希望学生在进入细节之前对抛物线的平移产生初步的认识，这符合格式塔理论的观点，可以促使学生利用认知结构中已有的观念(直线的平移)，形成初步的整体性印象，建立起进一步吸收具体知识的框架[23].

　　(2)描点画图

　　第二步，描点画图.还是有个别学生画出了有趣的函数图象：①3个函数的图象顶点重合在原点;②图象在离开y轴较远的地方相交;③图象在离开y轴较远的地方向不同的方向延伸，但不相交.

　　特别是对于图象顶点重合的情况，他觉得有些不可思议.“如果这样的话，这些学生头脑里还没有平移的观念.按照道理，我已经让学生先猜了，我这样做也是让他们先有这样的印象.而且列表的时候，反复提醒学生注意函数值的变化.也许前面y=a图象在他们头脑中的印象太深了——顶点一定要过原点.”

　　学生在这个阶段转入了细节操作.描点画图可以看成是布鲁纳所说的学习第一阶段——动作操作(enactive)[24].通过具体的操作，由此可以达到对二次函数对象化的理解，进而形成平移的概念.然而，当学生尚未形成函数图象平移的整体印象时，他们的细节操作仍然会产生错误.换言之，在转入细节操作之前，学生是否能形成概念的整体印象是十分关键和必要的.

　　(3)脑中想图

　　申老师接下来要求学生，不用描点直接画出草图.对于画草图的意义，教师还有更深的认识，他认为“画草图是要想出来的，想出来 比描点画出来更重要”.教师所说的“想出来”，事实上，就是布鲁纳所说的进入学习的第二阶段——表象操作(iconic).在头脑中对二次函数图象进行操作，在半具体半抽象的环境中理解抛物线平移的概念，这是促进学生理解抽象概念(布鲁纳所说的学习第三阶段——符号操作(symbolic)的重要中介.

　　(4)概括二次函数图象上下平移的性质

　　教师通过与学生对话的方式，引导学生概括了二次函数y=a与y=a+c图象之间的关系，引导学生观察平移前后图象性质的异同，帮助学生理解图象平移与解析式系数之间的抽象关系，完成学习的第三阶段——符号操作.

　　从整节课的教学来看，教师通过问题的驱动，让学生经历了“整体印象，细节操作，形成表象，概括性质”的认知过程.首先，通过类比给予学生y=a与y=a+c图象关系的整体印象，这符合格式塔的观点：研究一个对象，不能从各个部分去理解，必须把握其整体.在此基础上，教师通过描点画图、画草图、概括总结3个教学环节，让学生经历了布鲁纳所说的抽象概念依次发展的3个阶段：动作操作、表象操作、符号操作，强调了学习经验的积累，体现了教师建构主义的教学观.

　　2.失去意义的桥梁——二次函数图象的左右平移

　　在上课之前，申老师对学生学习左右平移的困难就有了充分的认识，他说：“左右平移本身不难，主要难在函数式子和图象的对应，其实就是数形结合……左右平移不直观，是反的规律……而且受前面上下平移的影响.”

　　(1)求平移图象的解析式

　　申老师启发学生，说：“y=图象可以上下平移，当然也可以左右平移，如果把它向左平移1个单位，能否求出此时抛物线的解析式?”通过师生互动，函数解析式被设为y=+bx+c，并利用待定系数法，求出了抛物线的解析式y=.教师接着让学生猜y=图象向右平移1个单位的图象解析式，然后要求学生利用类似的方法验证.申老师在课后的访谈中，对此进行了阐述：“待定系数抓住了平移的本质，看点嘛!从一开始奠定了要看点，就是一个铺设.所以后面讲到平移为什么要看顶点?其实任何一个点都可以，只不过顶点特殊一些……最后是有趣.直接画图多没劲!这样验证起来蛮有意思的，画图的时候，他们脑中已经有图了，描点画图也不会描错.描错了，他也应当心中有数.我觉得心里先有一个预设，再去验证，是一个发现的过程，这很有趣.”

　　从教师的言谈，可以了解他的教学意图.他认为这个过程实际上是让学生经历了“猜想—验证”的发现过程.一方面，可以先给予学生左右平移抛物线的整体印象，有利于他们进入细节的学习，不至于一叶障目，不见森林.另一方面，突出从点坐标的变化去理解图象的平移、解析式的变化，为后面的教学作好铺垫.

　　(2)描点画图

　　接下来，申老师请学生完成任务：在同一坐标系中，描点画图象，并讨论图象特点.和前一节课一样，教师示范了列表取点的过程，突出了对应函数值的变化，希望学生通过表中坐标特点，理解函数图象平移与解析式之间的关系.学生利用几何方格纸，在同一坐标系内画出了函数图象.所有的学生都画出了正确的图象.这就出现了一个有趣的问题，为什么采用相似的数学策略而产生了不同的效果呢?申老师作了如下解释：“前一节课是学生首次接触二次函数平移，可能比较陌生.”

　　研究者认为还可能有一个原因：在前一节课中，一开始教师让学生猜测y=a与y=a+c图象关系时，只是符号的解释，并没有画图让学生“亲眼看到”平移的图象.因此，一些学生在描点画图时，头脑中其实不存在平移的“整体印象”.而在这节课中，在描点画图之前，学生已经看到了平移的图象，在脑中自然也就有了清晰的整体印象，进而指导他们的细节操作.这就好像即使是最好的作家来描述一个人的外表特征，也不如直接拿出一张照片那么一目了然.

　　(3)直接概括二次函数图象左右平移的性质

　　不过接下来，申老师并没有像前一节课一样让学生利用表象画草图，而是直接让学生概括二次函数图象左右平移的性质.这又是为什么呢?

　　在时隔课堂教学一个月之后，研究者再次邀请申老师接受了访谈.很明显，他已经忘记了当时课堂教学的情景.研究者先给他播放了上下平移课中这一环节的教学片段，他说：“我肯定在后一节课中，也是这样教的.”但当他被告知在左右平移的教学中，缺少“画草图”这一环节时，他不信，要求看当时的课堂录像.观看录像引起了他对当时的记忆.“我想起来了，你看，当时课堂十分顺，学生反应太好了，我就跳过了这一步，直接让学生归纳左右平移的规律.其实，学生想草图是为他们归纳结论作铺垫的，既然学生能够得出结论，那么这一步也就没有必要了.”

　　教师把形成表象的环节看成了联结具体到抽象两端的桥梁.当学生有能力直接从细节操作过渡到概括性质时，中间的桥梁也就失去了意义.从他的角度上来看，教学的方法不该是一成不变的，要根据具体的情境，进行适当的调整，有些教学环节只是一个铺垫和过渡，如果学生自己能过去，那么这些环节就可以压缩或者省略，这样可以保证课堂教学的连贯和流畅.

　　3.美好愿望的破灭——两种平移的综合复习

　　(1)求两种平移复合的解析式

　　申老师认为这节课的主要任务是复习前面的两种平移，并综合运用.他觉得两种平移的复合对学生不会造成困难.他说：“这节课根本没有新内容，只是综合，很简单.”于是他请学生根据前面两节课概括的平移法则，直接口答“抛物线y=x2向上平移1个单位的解析式”，以及“向左平移1个单位的解析式”.

　　不过，课堂中学生的表现出乎了他的意料.尽管学生流利地回答了“向上平移1个单位的抛物线解析式(y=+1)”，但是在回答“向左平移1个单位的解析式”时，他们开始犹豫括号里面x是加1还是减1.教师根据平移前后抛物线顶点坐标的变化，再次解释了左右平移解析式的变化规律.最后，申老师从图象的角度，引导学生利用待定系数法，验证结论：y=向上平移1个单位，再左平移1个单位的抛物线是y=+1.在这里，研究者看到教师先让学生通过平移法则，直接求出抛物线的解析式.然后利用图象，通过待定系数法，验证抛物 线的解析式，促进学生对两种平移的复合，形成整体印象.

　　(2)概括二次函数图象平移的性质

　　在解决了类似的一个问题之后，教师开始引导学生概括抛物线平移的性质(图1).但是，在概括左右平移性质的时候，学生还是出现了困难，看来学生真的很难理解二次函数图象的左右平移法则.

　　现在问题是，为什么在上一节课中，学生却能如此顺利地概括二次函数图象左右平移的法则?以至于教师跳过了一步(画草图铺垫，帮助学生形成表象)，直接让学生归纳一般结论.原因可能有两个方面：一方面，正如前面提到的那样，二次函数图象左右平移与其解析式的变化是反直觉的，而且受到了二次函数图象上下平移规律的影响.另一个方面，也许是由于前一节课堂过于连贯.连贯的情境减少了学生理解概念的模糊性[25]，从而使他们能迅速地概括出二次函数图象左右平移的规律.然而，当改变或者脱离这种特定的情境之后，学生理解概念的模糊性又开始增加.也许，此时此刻，课堂还得提供学生学习二次函数图象左右平移的“细节操作”和“形成表象”的机会.教师应当鼓励学生返回去，再次操作细节，形成表象，获得进一步概括抽象性质的力量.

　　事实上，数学概念的理解不是一个线性的过程，并不是单向式向前发展的过程，可能会在某处徘徊或停顿.当学生不能前进时，除了停留下来回忆思考外，还得随时返回到前面的阶段作弥补[26].但是，申老师似乎没有认识到这一点，他把主要原因归结到了其他方面.“今天的内容并不难……可能和我心情有关，没劲.可能是我犯了一个错误，我先发了作业，他们就先做作业了，不听我讲了.学生的表现出乎我的意料，他们反应不过来……对于左右平移我已经重复了好多遍，很清楚了，我也不想讲了.”

　　五、研究结论

　　研究中发现对于二次函数的平移，教师已经形成了“先整体，后细节”的教学策略.

　　本案例中，教师首先采用类比、求解析式的教学策略，给予学生整体的印象，初步形成一个结论或者猜想，然后引导学生深入细节进行验证.在细节的教学中，教师先让学生经历了“描点画图、脑中想图、概括性质”的过程，形成了从具体到抽象逐步上升的教学策略，这符合学生的认知规律.顾泠沅等也曾经使用“带余除法”为案例，解释了这种教学策略的重要价值，他们认为这是让学生经历数学化的完整过程[27].教师在教学中表现出来的教学策略，表明了他注重学生建构知识的过程，鼓励学生在过程中积累经验，在经验的基础上达到抽象知识的理解.这恰恰是当今数学课程改革所提倡的教学理念.

　　而后，在课堂教学中，教师又不断压缩“描点画图、脑中想图、概括性质”的过程.比如，在抛物线左右平移的课堂中，压缩了“脑中想图lunwen.1Kejian.com 第一论文网”的过程.在两种平移复合的课堂中，进而压缩了“描点画图”和“脑中想图”两个过程.在教师看来，教学最终的教学目标是学生理解抽象的数学概念.为了达到这一教学目标，教学中的铺垫和过渡是十分关键的，但是这仅仅是达到彼岸的中介桥梁.一旦，学生可以直接跨越，桥梁也就失去了价值和意义.

　　不过在研究中发现，教师只是把学生的理解片面地看成是线性的过程，这是不符合学生认知规律的.事实上，学生对数学的理解是一个反复组织的建构过程.当学生遇到困难的时候，就要停下来，折返回去，将尚薄弱的认识再作建构，满足进一步发展的需要.因此，对于申老师而言，当发现学生在学习的过程中出现困难时，要调整教学策略，及时给学生提供操作细节和形成表象的机会.优秀的教师不仅要掌握熟练的技能，同时还要掌握学生学习数学的特点，这样才能不断优化教学策略，形成个人的教学风格.