三角函数入门

这是三角函数入门，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

三角函数入门第 1 篇

　　1、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式:

　　即:一角的正弦大于另一个角的余弦。

　　2、若 ,则 ,

　　3、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。

　　4、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。

　　5、 及 的图象的对称中心为 ( )。

　　6、常用三角公式:

　　有理公式: ;

　　降次公式: , ;

　　万能公式: , , (其中 )。

　　7、辅助角公式: ,其中 。辅助角 的位置由坐标 决定,即角 的终边过点 。

　　8、 时, 。

　　9、 。

　　其中 为内切圆半径, 为外接圆半径。

　　特别地:直角 中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径 。

　　10、 的图象 的图象( 时,向左平移 个单位, 时,向右平移 个单位)。

　　11、解题时,条件中若有 出现,则可设 ,

　　则 。

　　12、等腰三角形 中,若 且 ,则 。

　　13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为 。

　　14、 ;

三角函数入门第 2 篇

三角函数（trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

三角函数计算软件

功能

1.计算输入的三角函数值，注：正弦值等于角对边除以角斜边

2.余弦值等于角邻边除以角斜边；正切值等于角对边除以角邻边

3.根据已知数据角度、对边长度、斜边长度、邻边长度计算相应边长

4.可计算正弦,余弦,正切函数.已知,两边求角度或者已知一角一边求另两边

更新内容

1.修复了部分漏洞

2.修复了部分机型不支持的问题

三角函数入门第 3 篇

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式大学网的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点

1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．

这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？

提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin?

?2???2??2???2?

?sin?cos??cos?sin?．

sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?

让

学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

tan??????

sin?????sin?cos??cos?sin?

． ?

cos???cos?cos??sin?sin?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos?cos?，得到tan??????注意：????

?

2

?k?,??

tan??tan?

．

1?tan?tan?

?

2

?k?,??

?

2

?k?(k?z)

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

tan??????tan???????????

tan??tan????tan??tan?

?

1?tan?tan??1?tan?tan?

?k?,??

注意：????

?

2

?k?,??

?

2

?

2

?k?(k?z)．

（二）例题讲解

例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

27iss2o4c2s7onc24is（1）、n

?

s2oc07socn02ni07sis；（2）、0

?

；（3）、

1n51a?t

1n51a?t

．

解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is（1）、

???

??

??

??

?

?

??

1

； 2

27socn07n02iisssoc020709soc0?（2）、0；

?

（3）、

151na?tn54at51nat151na?t151n54at

?

??1

5

?n4a5t51?

0n6at?335

??

．

cos(???)?，求tan??tan?的值. 例2 已知cos(???)?，

例3

xx

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

1?

x

?x?2cosxx???

sin30cosx?cos30sinx???30?x??

思考：?正、余弦分别等于和

1

2

的. 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：

32??1???

1、 已知tan??????,tan?求的值．（） ???,tan??????

5

?

4?

4

?

4?

22

2、 已知0???

值．

?

4

?????

3????3?3??5

求sin?????的,cos?????,sin?????，

4?4?5?4?13

二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

sin??????sin?cos??cos?sin?；

cos??????cos?cos??sin?sin?；

tan??????

tan??tan?

．

1?tan?tan?

我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中?看成?即可）， （二）公式推导：

sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；

cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?；

思考：把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢？cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；

cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．

tan2??tan??????

tan??tan?2tan?

?．

1?tan?tan?1?tan2?

注意：2??

?

2

?k?,??

?

2

?k? ?k?z?

（三）例题讲解 例4、已知sin2??

?

?

4

2

5??

,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 1342

解：由???,得?2???．

2

512

??又因为sin2?

?,cos2???． 1313?

于是sin4??2sin2?cos2??2?

5?12?120

； ??????

13?13?169

2

120

sin4?120?5?119

；tan4??． ???cos4??1?2sin22??1?2????

cos4?119?13?169

169

?

例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??

2tan?12

?tan??6tan??1?0

，由此得2

1?tan?3

13

解得tan???2

tan???2

（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2

2

2

???

2

．

?1和cos??1?2sin2

解：我们可以通过二倍角cos??2cos2因为cos??1?2sin2因为cos??2cos2

?

2

?

2

?

2

来做此题．

?

2

，可以得到sin2

?

2

?

1?cos?

； 21?cos?

． 2

?

2

?1，可以得到cos2

?

2

?

又因为tan2

?

?1?cos?． 1?cos?cos2

2

sin2

?

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例7、求证：

sin??????sin??????（１）、sin?cos???； ??2

1

（２）、sin??sin??2sin

???

2

cos

???

2

．

证明：（１）因为sin?????和sin?????是我们所学习过的'知识，因此我们从等式右边着手．

sin??????sin?cos??cos?sin?；sin??????sin?cos??cos?sin?．

两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????；

sin??????sin??????即sin?cos???； ??2

1

（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；设?????,?????，

那么??

???

2

,??

???

2

．

???

2cos

把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin

???

2

．

思考：在例２证明中用到哪些数学思想？

证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例8

、求函数y?sinxx的周期，最大值和最小值．

解：y?sinx

x这种形式我们在前面见过，

?1????y?sinx?x?2?sinxx?2sinx????， ?2?3????

所以，所求的周期T?

2?

?

?2?，最大值为２，最小值为?2．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

y?Asin??x???的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式

中的作用．

小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 总结： 1．

公式的变形

（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α

（3） 正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) （4） 万能公式（用tanα表示其他三角函数值）

2．

插入辅助角公式

3．

熟悉形式的变形（如何变形）

1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1

＋tanα

1＋tanα1－tanα

π

若A、B是锐角，A+B＝ ，则（1＋tanA）(1+tanB)=2

4

4． 在三角形中的结论（如何证明） A+B+Cπ

若：A＋B＋C=π =

22tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC ABBCCA

tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222

9．求值问题

（1）已知角求值题 如：sin555° （2）已知值求值问题 常用拼角、凑角

π3π35

如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝

45413 π3ππ

又

34

2）已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α－β)的值。

55（3）已知值求角问题

必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。 π11

如：．已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是锐角，求证：α＋2β＝

7341.（2010全国卷1理）(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

2. 已知0?x?

?

2

，化简：

x?

lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).

22

解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0． 3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）

在?ABC中，

ACcosB

?。 ABcosC

（Ⅰ）证明B=C：

1??

（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。

3

?

3?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.

（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinBcosB

=.于是sinCcosC

sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.

（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=.

又0

= 从而

sin4B=2sin2Bcos2B=

?

?

. 3

13

7，cos4B=cos22B?sin22B??.

99

所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin

3

3

?

3

?

4.（2010湖北理） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x?

3

3

??

1

214

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。

5.（2009江苏，15）设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;

（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.

分析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能

力

。

6.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=. （I）求sinA的值；

(II)设

?ABC的面积.

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运

1

3

算求解能力。

?B，（Ⅰ）由C?A?，且C?A??∴A??，

∴sniAsni?(11∴sin2A?(1?sinB)?，又sinA?

0，∴sinA?

233

?

2?4B2?BB(cos)422

C

B2

，

ACBC

?（Ⅱ）如图，由正弦定理得

sinBsinA

A B

∴BC?

ACsinA

?

sinB

3

?sinC?sin(A?B)?sinAcosB?

cosAsinB

?

1

??

33333

1

2

12

?3

∴S?ABC?AC?BC?sinC?7.（2009湖南卷文）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2). （Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。 解：（Ⅰ） 因为a//b，所以2sin??cos??2sin?, 于是4sin??cos?，故tan??.

（Ⅱ）由|a|?|b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5, 所以1?2sin2??4sin2??5.

从而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，

于是sin(2??)?4

1

4

?

??9?又由0????知，?2???，

4445??7?

，或2???. 4444

3??

因此??，或??.

42

所以2??

?

?

8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，

AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：

??

(II) 求sin?2A???的值

?

4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。

（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=sinCBC?2BC?2

sinA

5

ABBC

?

sinCsinA

AB2?AC2?BD225

?

2AB?AC5

（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是 sinA=从而

?cos2A?

5

sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3

55

4

4

4

所以 sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?=

?

2

10

??

???

9.（2007安徽）已知0???，?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，

?

2cos2??sin2(???)??1??

·b?m．求2)，且a b?(cos?，的值． a??tan?????，?1?，

cos??sin?4????

π?

解：因为?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，故??π．

?

8?

??·b?m，又a因a·b?cos?·tan??????2．

4

?

?

??

故cos?·tan??????m?2．

4

?

?1

1

由于0???，所以

π4

2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)

?

cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin?

?2cos?

1?tan?π??

?2cos?·tan?????2(2?m)

1?tan?4??

m??,n??cosA,sinA?

三角函数入门第 4 篇

第一課时：正弦和余弦（1）

教学目的

1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

重点、难点、关键

1，重点：正弦的概念。

2，难点：正弦的概念。

3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。

教学过程

一、复习提问

1、什么叫直角三角形？

2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？

二、新授

1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：

（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）

（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）

（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。）

（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。）

但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。

2，在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边／斜边＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 这就是说，当∠A＝450时，∠A的对边与斜边的比值等于／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？

（引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A的.对边与斜边的比值仍是一个固定值。）

三、巩固练习：

在△ABC中，∠C为直角。

1，如果∠A＝600，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

2，如果∠A＝600，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？

3，如果∠A＝300，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

4，如果∠A＝450，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

四、小结

五、作业

1，复习教科书第1－3页的全部内容。

2，选用課时作业 设计。