掌握与三角形有关的角

这是掌握与三角形有关的角，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

掌握与三角形有关的角第 1 篇

　　知识点总结

　　一、三角形的有关概念

　　1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

　　三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

　　2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高

　　(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的`对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;

　　②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

　　二、三角形的边和角

　　三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

　　由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

　　三、三角形内、外角的关系

　　1.三角形的内角和等于180°。

　　2.直角三角形的两个锐角互余。

　　3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

　　4.三角形的外角和为360°。

　　四、等腰三角形与直角三角形:

　　1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。

　　说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。

　　2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。

　　五、三角形的分类：

　　2.性质：等底等高的三角形面积相等。

掌握与三角形有关的角第 2 篇

一、三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°这里常见的考法就是，进行与角有关的计算。一般题型为：已知一个三角形中某些角的度数，求其他角的度数，或证明与角有关的等式成立。这类题目的解题思路：在三角形中，求角的度数问题是非常常见的问题，计算时主要利用三角形的内角和定理、三角形的外角性质及直角三角形中两锐角互余的性质。解决形如“已知三角形中某些角的度数或数量关系，求未知角的问题基本步骤是：①将未知角放入三角形中，利用内角和定理用其他角表示未知量；②利用条件，将其他角用已知角表示，直到所有表达式中的角的度数已知；③代入已知角的度数求出未知角。

例题1：（1）、在∆ABC中，若∠A=70°，∠C=30°,则∠B=

（2）、若∠A=70°，∠B=∠C,则∠C=

分析：本题就是利用三角形内角和求解其他角的度数。（1）中，180°-70°-30°=80°；（2）中，已知∠B=∠C，则∠B=∠C=（180°-70°）/2 = 55°

这里除了求角的度数，考试中还经常考证明三角形内角和定理，定理证明的一般思路是，要证明三角形的内角和为180°就是要把三角形的三个内角转化成满足大小为180°的情况，满足大小为180°的情况有：①平角，②一组邻补角的和，③平行线间一对同旁内角的和，而在证明的过程中，构建平行线是问题转化的桥梁。

二、直角三角形的性质和判定

性质：直角三角形的两个锐角互余。判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。对于直角三角形同学们一定掌握，是后面学习的重点。而与直角三角形有三个重要的结论，大家也一定要牢记。

三、三角形的外角

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。①三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角。因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三个外角和是360°。②三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据。外角定理常用的四个用途：(1)已知外角与和它不相邻的两个内角中的任意两个可求“另一个”(2)利用推论可证一个角为另两个角的和(3)利用三角形内角和定理作为中间关系式证明两个角相等.(4)可以证明两角的不等关系.

利用三角形的外角性质，求角的度数或相互关系的解题步骤：1、确定三角形的内角及相关的外角；2、利用三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角比较角的大小；3、利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及外角和求解角的大小。

四、平行线与三角形外角定理

本节中除了单独考察以外，还会结合之前学的平行线进行综合考察。而利用平行线的性质与三角形外角定理的解题步骤一般是：1、认真审题，看图、结合图形理顺已知条件和求解结论。2、根据平行线的性质和三角形内（外）角定理，把分散的角聚在一起。常用的方法是：寻找桥梁，即某一个角可能是平行线中的某一个已知的同位角，内错角或同旁内角，同时这个角也可能是某一个三角形中的外角或内角。3.结合桥梁和条件，求出所需结论。

三角形这一部分，考试题的难度还是比较大的，因此同学们在掌握解题方法思路之后，一定要多做练习，才能够真正掌握这部分的内容，加油

掌握与三角形有关的角第 3 篇

1教学目标

【知识与技能】掌握三角形的外角概念和性质，学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。

【过程与方法】采取探索、交流的方式掌握三角形外角的性质。

【情感态度与价值观】培养学生的观察总结能力，体验主动探究的成功和快乐。

2学情分析

本班学生基础知识较低，平面几何的分析、观察能力较欠缺。对于推理、论证掌握较差，因此在学习这节内容时，可能会出现找不到外角的情况。另外，也会出现知道是什么道理，但是说不清楚写不出来的情况。

3重点难点

【教学重点】三角形外角的性质。

【教学难点】运用三角形的性质进行有关计算，能表达推理的过程和方法。

4教学过程 4.1第一学时 教学活动 活动1【导入】复习

1.三角形有几个内角？三角形的内角和是多少？（有三个内角，内角和是180°）

2.在△ABC中，

（1）∠C=90°，∠A=30 °，则∠B=____；

（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=_____.

3.在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ ，∠Ｃ＝ 。

活动2【讲授】感受新知

1.画图把△ＡＢＣ的一边BC延长到D,得到∠ACD,它是三角形的内角吗？（图形见素材1）

2.观察∠ACD的特征：（1）∠ACD的顶点是 ，（2）一边AC是 ，（3）另一边DC是 ，（4）它在△ＡＢＣ的 。

3.归纳定义：

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。

4、思考：画一个△ABC，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试．同时，想一想△ABC的外角一共有几个？（6个，而且相同顶点的两个外角相等）（图形见素材2）

活动3【讲授】探究新知

1.如图（图形见素材3）在△ＡＢＣ中，外角∠ACD与内角∠ACB在位置上有什么关系？度数呢？（是相邻的，和为180°）请同学们再任意画一个△ＡＢＣ的外角，看看它与相邻的内角是不是还存在这样的关系？你能用一句话概括吗？（三角形的一个外角与它相邻的内角互补）

2.如图（图形见素材3），在△ＡＢＣ中，∠A=70°, ∠B=60°, ∠ACD是△ＡＢＣ的一个外角，你能求出∠ACD的大小吗？如果∠A=110°, ∠B=40°呢？你能看出∠ACD与∠A，∠B的关系吗？（∠ACD等于∠A于∠B的和）

3.任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？你能证明吗？（提示：回忆证明三角形内角和的方法）（图形见素材4）

已知：如图，在△ＡＢＣ中，∠ACD是一个外角。

求证：∠ACD=∠A+∠B

证明1：∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠ACB=180°–（∠A+∠B）

∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°–∠ACD

∴∠ACD=∠A+∠B

证明2：过点C作CE//AB,则

∠A=∠ACE, ∠B=∠ECD

∵∠ACD=∠ACE+∠ECD

∴∠ACD=∠A+∠B

4.用>、<填空。（图形见素材5）

∠ACD ∠A ∠ACD ∠B

5.归纳结论

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

6.议一议：如图（图形见素材6），∠1,∠2,∠3是△ＡＢＣ的三个外角，它们的和是多少？

解：∠1＋ ∠BAC=180°

∠2＋ ∠ABC=180°

∠3＋ ∠ACB=180°

三个式子相加得到

∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°

而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°

∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°

7、三角形的内角和等于360°。

活动4【练习】练习

1.判断题(见课件第11页)

（1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）

（2）三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）

（3）三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）

（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）

（5）三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）

（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）

2.说出下列图形中∠1与∠2的度数。(见课件第12页)

3.把图中的∠1、∠2、∠3按从大到小的顺序排列。(见课件第13页)

4.已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°， 20° ， 30° ，求∠1的度数.(见课件第14页)

5.求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。(见课件第15页)

6.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.(见课件第16页)

活动5【讲授】小结

今天你学到了什么？

1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；

2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

4.三角形的外角和等于360º。

活动6【作业】作业

必做：课本第76页习题11.2第4、5、6、8、9题。

选做：课本第77页习题11.2第10题.

【板书设计】

7.2.2三角形的外角

1.三角形外角的定义

2.三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角与它相邻的内角互补

∠ACD+∠ACB=180º

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

∠ACD=∠BAC+∠ABC

（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

∠ACD＞∠BAC, ∠ACD＞∠ABC

（4）三角形的外角和等于360º

∠ACD+∠BAE+∠CBF=360º

11.2　与三角形有关的角

课时设计 课堂实录

11.2　与三角形有关的角

1第一学时 教学活动 活动1【导入】复习

1.三角形有几个内角？三角形的内角和是多少？（有三个内角，内角和是180°）

2.在△ABC中，

（1）∠C=90°，∠A=30 °，则∠B=____；

（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=_____.

3.在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝ ，∠Ｂ＝ ，∠Ｃ＝ 。

活动2【讲授】感受新知

1.画图把△ＡＢＣ的一边BC延长到D,得到∠ACD,它是三角形的内角吗？（图形见素材1）

2.观察∠ACD的特征：（1）∠ACD的顶点是 ，（2）一边AC是 ，（3）另一边DC是 ，（4）它在△ＡＢＣ的 。

3.归纳定义：

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。

4、思考：画一个△ABC，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试．同时，想一想△ABC的外角一共有几个？（6个，而且相同顶点的两个外角相等）（图形见素材2）

活动3【讲授】探究新知

1.如图（图形见素材3）在△ＡＢＣ中，外角∠ACD与内角∠ACB在位置上有什么关系？度数呢？（是相邻的，和为180°）请同学们再任意画一个△ＡＢＣ的外角，看看它与相邻的内角是不是还存在这样的关系？你能用一句话概括吗？（三角形的一个外角与它相邻的内角互补）

2.如图（图形见素材3），在△ＡＢＣ中，∠A=70°, ∠B=60°, ∠ACD是△ＡＢＣ的一个外角，你能求出∠ACD的大小吗？如果∠A=110°, ∠B=40°呢？你能看出∠ACD与∠A，∠B的关系吗？（∠ACD等于∠A于∠B的和）

3.任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？你能证明吗？（提示：回忆证明三角形内角和的方法）（图形见素材4）

已知：如图，在△ＡＢＣ中，∠ACD是一个外角。

求证：∠ACD=∠A+∠B

证明1：∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠ACB=180°–（∠A+∠B）

∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°–∠ACD

∴∠ACD=∠A+∠B

证明2：过点C作CE//AB,则

∠A=∠ACE, ∠B=∠ECD

∵∠ACD=∠ACE+∠ECD

∴∠ACD=∠A+∠B

4.用>、<填空。（图形见素材5）

∠ACD ∠A ∠ACD ∠B

5.归纳结论

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

6.议一议：如图（图形见素材6），∠1,∠2,∠3是△ＡＢＣ的三个外角，它们的和是多少？

解：∠1＋ ∠BAC=180°

∠2＋ ∠ABC=180°

∠3＋ ∠ACB=180°

三个式子相加得到

∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°

而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°

∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°

7、三角形的内角和等于360°。

活动4【练习】练习

1.判断题(见课件第11页)

（1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）

（2）三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）

（3）三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）

（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）

（5）三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）

（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）

2.说出下列图形中∠1与∠2的度数。(见课件第12页)

3.把图中的∠1、∠2、∠3按从大到小的顺序排列。(见课件第13页)

4.已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°， 20° ， 30° ，求∠1的度数.(见课件第14页)

5.求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。(见课件第15页)

6.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.(见课件第16页)

活动5【讲授】小结

今天你学到了什么？

1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；

2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

4.三角形的外角和等于360º。

活动6【作业】作业

必做：课本第76页习题11.2第4、5、6、8、9题。

选做：课本第77页习题11.2第10题.

【板书设计】

7.2.2三角形的外角

1.三角形外角的定义

2.三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角与它相邻的内角互补

∠ACD+∠ACB=180º

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

∠ACD=∠BAC+∠ABC

（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

∠ACD＞∠BAC, ∠ACD＞∠ABC

（4）三角形的外角和等于360º

∠ACD+∠BAE+∠CBF=360º

掌握与三角形有关的角第 4 篇

　　教学目标：

　　1、知识与技能：

　　(1)掌握三角形内角和定理证明及其简单应用;

　　(2)掌握三角形的外角的定义、三角形外角性质定理及其推论的证明和灵活运用。

　　2、过程与方法：通过动手操作探索三角形三个内角的和，运用三角形内角和定理解决实际问题;探究三角形外角的性质定理，能够运用三角形的外角性质定理解决实际问题;经历小组协作讨论，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力。

　　3、情感、态度与价值观：养成独立观察思考的习惯，感受数学学习中转化的巧妙。

　　教学重点：

　　(1)三角形内角和定理;

　　(2)三角形的外角的定义，三角形外角的性质定理及其推论。

　　教学难点：

　　(1)三角形内角和定理的证明;

　　(2)三角形外角性质定理和推论及其应用。

　　教学方法：引导发现法、尝试探究法。

　　教学过程：

　　一、创设情境，导入新课：

　　前面我们学习了三角形的边，今天这节课我们将学习与三角形有关的角。 我们已经知道，任意一个三角形的三个内角和等于180°。虽然度量的方法可以验证一些具体的`三角形的内角和等于180°，但是形状不同的三角形有无数个，我们不可能用度量的方法一一验证。接下来我们将一起探索并证明三角形的三个内角和是180°。

　　二、合作交流，解读探究：

　　1、拼图实验：

　　(1)教师展示图(1)的拼法，并利用此拼图证明三角形内角和定理。

　　(2)分析拼图：在图(1)中，由内错角相等可得，移动后∠B的一条边平行于边BC;同理，移动后∠C的一条边平行于边BC。由“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”可得，移动后∠B的一条边和移动后∠C的一条边在同一条直线上，并且这条直线平行于边BC。

　　(3)提问：通过上面的分析，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗?

　　由上面的分析，启发学生过△ABC的顶点A作直线?∥BC,即可实现“角的拼合”，再利用平行线的性质与平角的定义进行证明。

　　(4)指导学生写出已知、求证、证明过程，规范证明格式。

　　已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过A点作直线DE∥BC ∵DE∥BC

　　∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C(两直线平行，内错角相等) ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(平角的定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)

　　应指出辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明。

　　(5)每个学生把课前准备好的三角形纸片的两个内角剪下，和第三个内角拼在一起。

　　让学生展示自己的拼法。

　　(6)学生口述利用图(2)证明的过程。

　　已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°

　　证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA ∵CE∥BA

　　∴∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等) ∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等) ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)

　　C

　　D

　　C

　　D

　　A

　　E

　　2、小结证明思路：通过作平行线“搬两个角”，运用平行线的性质和平角的定义证明。

　　3、发散思考：在证明三角形内角和定理时，可以“搬两个角”来说理。如果只“搬一个角”行吗? “搬三个角”呢?这个问题留给同学们在课后研讨。

　　4、三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。

　　5、巩固练习：

　　说出下列图形中∠1的度数：

　　(2)

　　6、外角：

　　(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

　　如图，∠ACD是△ABC的一个外角。

　　问题：①一个三角形一共有几个外角?

　　②判断下面图形中∠1是不是三角形的外角?

　　(2)性质定理及其推论：

　　(1)

　　B

　　(2)

　　推导：由∠A+∠B+∠ACB=180°，可得∠ACB=180°-∠A-∠B 由∠ACB+∠ACD=180°，可得∠ACD=180°-∠ACB

　　所以 ∠ACD=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B 性质定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 (3)巩固练习：说出下列图形中∠1和∠2的度数：

　　D

　　北

　　(2)

　　(1)

　　三、应用举例：

　　例1 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度?

　　解：由题意可知 ∠1=50°，∠1+∠2=80°，∠4=40°

　　所以 ∠2=30°

　　由AD∥BE，可得∠1 +∠2+∠3+∠4=180°。

　　所以∠3=180°-∠1-∠2-∠4=180°-50°-30°-40°=60°

　　在⊿ABC中，∠ACB=180°-∠2-∠3=180°-60°-30 °=90° 答：从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°。 提问：你还能想出其他的解法吗?其他解题思路：

　　(1)如图1，过点C作AD的垂线，交直线AD于点M，交直线BE于点N。 (2)如图2，过点C作CF∥AD。

　　图1

　　北

　　F

　　D

　　北例2 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少?

　　解：如图，因为∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，

　　(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) 所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)， 因为 ∠1+∠2+∠3=180°，

　　所以 ∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°。

　　提问：你还能想出其他的解法吗?(利用平角的定义) 归纳结论：三角形的外角和等于360°。

　　四、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获?

　　五、布置作业：1、必做题：教材P76 习题7.2 第1、4、7题。 2、选做题：

　　(1)已知：P是△ABC内一点。

　　求证：∠BPC>∠BAC

　　(2)已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，E

　　是AC边上一点，BE与AD交于点F，∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠AFB=120°。

　　求证：BE⊥AC

　　B