二次函数解题技巧

日期：2021-12-27

这是二次函数解题技巧，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

二次函数解题技巧

二次函数解题技巧第 1 篇

　　画出图示教形结合。

　　函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。函数自产生就和图形结下了不解之缘。其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作

　　通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。

　　关注函数模型解题。

　　在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。

　　当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。同时通过对知识的再组织，不断提高教师对教育的认识，这本身也是不断发展、螺旋式上升的过程。

二次函数解题技巧第 2 篇

　　数形结合

　　数形结合的方法，就是将数字与图形二者进行相互变换，不仅可以把问题变得更加简单，而且可以把抽象的问题变得更加具体，这种方法在数学的学习过程中经常用到. 通过对二次函数的定义以及性质进行学习，我们了解到它的图像是一个抛物线，并且它的图像还具有非常多的特殊性

　　例如，它具有对称性、单调性等等，我们在对二次函数求解的过程中，可以充分地利用它的图像所具有的这些性质，它不仅可以把复杂的二次函数变得更加的简单，而且可以把二次函数变得更加直观. 抛物线具有的对称性是一个非常重要的解题思路. 二次函数图像的对称轴一般与y轴平行或者重合;它的另一大特性是连续性，并且与其对应的方程最多只能够有两个实根，因此就会产生一个区间，这可以为我们的解题带来很多方便. 在解题的过程中还可以利用二次函数的单调性，这也是经常用到的方法.

　　代数推理

　　众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形，例如，在其中会有一般式、顶点式以及零点式等等，因此，在解决二次函数问题的过程中，其函数式会得到非常广泛的应用. 在二次函数的函数式y = ax2 + bx + c中，具有三个变量a，b，c，在确定这三个变量时一定要给出三个相互独立的条件，有一些时候将所给出的条件全部应用完成之后还不能够得出三个变量的值，这时我们就要使用逆向思维，看给出的条件中是否含有隐含条件，我们不能够被其中的假象迷惑;

　　我们还应该学会利用二次函数与方程根之间具有的关系，写出它的顶点式，我们可以对二次函数进行假设，对其图像进行描绘;然后使用函数所具有的一些性质对其进行限制，并且在对顶点式进行运用的过程中要非常的灵活. 顶点式看着比较复杂，而其中最简单的就是它，在此过程中充分的利用顶点式，最后一定会找到答案.

二次函数解题技巧第 3 篇

　　初中数学二次函数知识点及解题一般技巧。

　　I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h，k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的.一元二次方程(以下称方程)，即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

　　二次函数解析式的几种形式

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

　　(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

　　(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.

　　说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^

　　2;如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数

　　二次函数的三种表达式

　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

　　②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

　　③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)

　　以上3种形式可进行如下转化：

　　①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a

　　②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函数解题技巧第 4 篇

解读课标

明确目标

知识与技能：理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象与性质；

过程与方法：通过对二次函数知识的梳理，回顾二次函数的基础知识；通过对典型例题的解答，培养分析问题和解决问题的能力；通过具体练习，训练学生综合运用知识的能力；

情感、态度和价值观：通过本节课的学习，让学生学会系统地整理所学知识，并建立相关知识之间的联系，分析问题和解决问题的能力得到提高。

教学重点

二次函数的概念，二次函数的图象和性质。

教学难点

二次函数图象和性质的应用。

教具

多媒体

教学流程

问题与情景

师生活动

设计意图

一.情境引入：由一首《人生是一条曲线》的诗，引出本节课。（伴随着优美的中国古风背景音乐，诗歌文字徐徐呈现）

二.知识结构知识体系梳理：

梳理提示：

1.以表格或思维导图的形式梳理；

2.从本体知识或相关联知识进行梳理；

3.从解题技巧解题方法疑难错题方面梳理；

4.从数学思想方面梳理。

（一）概念：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。

y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式：

(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0)

(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0)

(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0)

二次函数一般式与顶点式的关系：

将二次函数y=ax2+bx+c通过配方化成顶点式。

学生欣赏诗歌《人生是一条曲线》，引入课题。

学生小组讨论，以自己喜欢的形式，对本章知识进行知识结构知识体系的自我梳理。

教师巡视，指导。

通过应用信息技术，让学生在优雅的中国风背景音乐和清雅的水墨山水画中，欣赏诗歌，调动学生复习本章的积极性。

引导学生对本章所学知识加深理解的同时，更有整体的认识，并建立与相关联知识的联系。

问题与情景

师生活动

设计意图

图像画法：

画出二次函数的图象。

方法：列表、描点、连线

XXXXXXXXXXXXXXX

－3

－2

－1

XXXXXXXXXXXXXXX

? y

XXXXXXXXXXXXXXX

（四）二次函数y==ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质：

1.位置与形状：

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况：

（1）有两个交点 b2 4ac > 0

（2）有一个交点 b2 4ac = 0

（3）没有交点 b2 4ac < 0

抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）

若抛物线与x轴有交点，则交点横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。

巩固练习：

（一）辨一辨：

1.下列函数中哪些是二次函数，哪些不是二次函数？

算一算：

2.将下列二次函数一般式化为顶点式:（按ppt回答问题）

（三）看一看:

3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a___0, b____0, c_____0, abc____0，b___2a, 2a-b_____0, 2a+b______0， b2-4ac_____0，a+b+c_____0, a-b+c____0，4a-2b+c_____0.

试一试:

由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为____________.

抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2),则平移后的解析式为______________.

二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图像大致是（）

7.设A、B、C 是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（）

A. B. >>

C. >> D. >>

（五）想一想:

8.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）,求a、b、c。

（六）搏一搏

9.如图，抛物线经过点A（4，-5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D.

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接AB、BC、CD、DA，

求四边形ABCD的面积；

（3）如果点E在y轴的正半轴

上，且∠BEO=∠ABC,

求点E的坐标.

四.小结：

通过本节课的复习，你有什么收获？

通过应用动画技术，动态演示，帮助学生回忆二次函数图象画法。

学生汇报展示，同学补充，教师给予评价，补充强调，总结提升。

通过表格形式梳理二次函数基本性质。

学生口答完成二次函数基础题，教师评价，补充强调，总结提升。

学生口答完成相应题组，教师强调补充，总结提升。

学生完成二次函数与相关联知识的综合题目，并展示讲解。

学生交流感受，体会收获，教师根据学生的交流做适当归纳，并对学生自主学习过程进行评价。

应用信息技术，以链接的方式，对学生从不同角度梳理的二次函数相关知识进行相应的展示。

培养学生学会总结归纳知识，提高数学语言表达能力。

考查学生基础，总结规律，为日后解决问题做铺垫。通过基础题目的训练，让学生学得更扎实，突出数学课程的基础性和普及性。

通过信息技术，学生互动合作，高效完成二次函数相关练习。

通过形式多样的练习，学生练得扎实有效，课堂效率得以提高

培养学生综合灵活运用二次函数及其相关联知识去分析问题和解决问题的能力。

学生谈感受，教师做补充，培养学生的数学语言表达能力和自我整理的学习习惯。

五.作业：完成二次函数余下知识的梳理。

学生课后完成对余下二次函数知识的梳理。

培养学生自主学习能力，并掌握有效的数学知识复习方法。

板书设计

教学反思：本节课遵循尊重学生，相信学生，以学生为主体的教学思想，运用助思、助学、助练的启发式教学方法，启动师生交流的闸门，让教学过程成为师生间的双向互动。通过组织引导学生对二次函数有关知识从不同角度的自我梳理，使学生对于本章的知识有了整体系统的认识，并通过精心设计的基础性和综合性练习题，使学生进一步加深了对于二次函数图象和性质的理解，能更好地运用数形结合等数学思想。在教学过程中，注重二次函数和相关知识的联系，让学生在有效复习二次函数有关知识的同时，学会如何高效进行数学知识的复习，即学知识，要建立联系，构建系统，更需要打好基础，这样才能让思维更灵活和深刻。