函数怎么学最简单方法

这是函数怎么学最简单方法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

函数怎么学最简单方法第 1 篇

从容说课

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念的过程.同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程.

初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于以后的教学过程中.本课还介绍了分段函数，在实际问题中，有很多函数是用分段函数来表示的，所以探讨分段函数是很有必要的，在教学中结合教材内容向学生渗透分类思想方法，对培养学生全面分析问题、解决问题的能力是很有帮助的.应该说这是知识螺旋化的一种体现，教学时要让学生体会到函数三种表示法具有内在的联系，它们在一定条件下是可以相互转化的.对函数的解析式和图象表示应重点研究.

三维目标

一、知识与技能

1.能熟练掌握函数的三种不同表示.

2.了解函数不同表示法的优缺点.

3.了解分段函数及其表示.

4.会求某些函数的解析式.

二、过程与方法

1.自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法.

2.探究与活动，明白何时的函数用何种方法表示适宜.

3.增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力.

三、情感态度与价值观

培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.

教学重点

函数的三种不同表示的相互间转化.

教学难点

函数的解析式的表示，理解和表示分段函数.

教具准备

多媒体课件、投影仪、打印好的材料.

教学过程

一、创设情景，引入新课

师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法.今天我们再专门研究函数的表示方法.

（板书：函数的表示方法）

师：请考察下面三个函数：

投影胶片1（或多媒体制作镜头1）：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从至人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？

1949～我国人口数据表

年 份

人口数/百万

1949

542

1954

603

1959

672

1964

705

1969

807

1974

909

1979

975

1984

1035

1989

1107

1994

1177

1999

1246

师：该题是用的什么方法来表示函数的？

生：这是一份表格.

师：这位同学说得很好.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.

投影胶片2（或多媒体制作镜头2）：一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？

师：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析式法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.

投影胶片3（或多媒体制作镜头3）：

上图为某市一天24小时内的气温变化图.

请问：

（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

（2）在什么时刻，气温为0℃？

师：这个问题我们用图象表示了时刻与气温的关系，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.

二、讲解新课

1.函数的表示法

（1）解析法

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的解析式，简称为解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c（a≠0）等等，都是用解析式法表示的函数关系.

解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数.

（2）图象法

图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质.图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股市走势图等.

（3）列表法

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用.如银行利率表、列车时刻表等.

2.例题讲解

【例1】 教科书P22例3.

本例介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数.通过这个例子可以达到以下目的：

（1）让学生体会到三种表示方法各自的优点.并且，本例后的“思考”为学生比较三种表示方法提供了机会，教学时教师应注意不要让学生错过这个机会.对于“所有的函数是否能用解析法表示”，学生比较难以回答，教学时不妨先举一些例子启发学生，然后再由学生试着举一些例子.

（2）使学生看到函数的图象可以是一些离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别，教学时要考虑到学生的认知基础，强调y=5x（x∈R）是连续的直线，但y=5x（x∈{1，2，3，4，5}）却是5个离散的点，由此又让学生看到，函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.本例边框中的问题“判断一个图形是不是函数图象的依据是什么”，应在组织学生讨论后获得结论“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”.

【例2】 教科书P23例4.

本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级平均分.由表格区分三位同学的成绩高低不直观，所以教科书选择了图象法表示.教学时要培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力.要注意的是，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，并且让三个函数的图象具有整体性，以方便比较.教学时应引导学生观察图象，学习如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据.

【例3】 教科书P24例5.

本例的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备.

【例4】 教科书P24例6.

本例的主要目的有以下几点：

（1）让学生尝试用数学表达式去表达实际问题；

（2）学习分段函数及其表示；

（3）注意在数学模型中全面反映问题的实际意义；

（4）让学生根据这个例题的边框要求，自行设计任意两站之间的票价表以方便售票员与乘客，体会在不同情境中使用恰当的函数表示法.

由上述例3和例4归纳出分段函数的概念如下：

2.分段函数

有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数.

实际生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.

【例5】 求下列函数的解析式：

（1）已知f（x）是二次函数，且f

（0）=2，f（x+1）－f（x）=x－1，求f（x）；

（2）已知f（+1）=x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；

（3）已知f（）=+，求f（x）；

（4）已知3f（x）+2f（－x）=x+3，求f（x）.

方法引导：

（1）由已知f（x）是二次函数，所以可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）设法求出a、b、c即可.

（2）若能将x+2适当变形，用+1的式子表示就好办了.

（3）视为一整体不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解.

（4）x、－x同时使得f（x）有意义，用－x代x建立关于f（x）、f（－x）的两个方程就好了.

解：

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f

（0）=2，得c=2.

由f（x+1）－f（x）=x－1，得恒等式2ax+a+b=x－1，得a=，b=－.故所求函数的表达式为f（x）=x2－x+2.

（2）∵f（+1）=x+2=（）2+2+1－1=（+1）2－1，

又∵≥0，+1≥1，

∴f（x）=x2－1（x≥1）.

（3）设=t，则x=，t≠1.

则f（t）=f（）=+=1++=1+（t－1）2+（t－1）=t2－t+1.

∴f（x）=x2－x+1（x≠1）.

（4）∵3f（x）+2f（－x）=x+3， ①

x用－x代得3f（－x）+2f（x）=－x+3. ②

解①②得f（x）=x+.

方法技巧：求函数解析式常见的题型有：

（1）解析式类型已知的，如本例

（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意一般式〔y=ax2+bx+c（a≠0）〕，顶点式〔y=a（x－h）2+k〕和标根式〔y=a（x－x1）（x－x2）〕的选择.

（2）已知f［g（x）］求f（x）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法.如本例

（2）、

（3）.

（3）函数方程问题，需建立关于f（x）的方程组，如本例

（4）.若函数方程中同时出现f（x）、f（），则一般x用代之，构造另一方程.

特别要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域.

三、课堂练习

教科书P27练习题1，2，3.

答案：1.y=x（0＜x＜50)，图象如下.

2.（1）题与D图，

（2）题与A图，

（3）题与B图吻合得最好，剩下与C图相符的一件事可能为：

我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度.

3.四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：

函数的表示法、分段函数、函数解析式的求法.

2.本节学习的数学方法：

定义法、换元法、待定系数法、数形结合与分类讨论的思想方法.

五、布置作业

教科书P28习题1.2 A组5，7，9，10，11，12，13.

板书设计

例1

例2

例3

例4

例5

课堂练习

课堂小结

函数怎么学最简单方法第 2 篇

教学目标： 1、通过实例，了解函数的概念．（重难点） 2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法． 3、理解函数值的概念，并会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值． 教学过程： 一、课前准备 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为y元，填写下表： 工作时间t（时） 1 5 10 15 20 … … 报酬y（元） 然后回答下列问题： （1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？ （2）能用x的代数式来表示y的值吗？ 二、 课上探究 1、自主学习 （1） 自学课本P116并回答： ---------------------------------------------------------函数，------叫做自变量． 例如，上面的问题中，----是----的函数，----是自变量； （2）函数的表示法 ①解析法：问题中，y =16x，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的'方法也叫解析法． ②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温（℃） 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 ③图象法: 我们还可以用图象法来表示函数，例如课本P113图5-5表示的是温度T关于时间t的函数关系． 解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法． （3）函数值概念 ---------------------------------叫做函数值，它与------的取值有关，通常函数值随着-------的变化而变化． 若函数用解析法表示， ---------------------------就能得到相应的函数值． 若函数用列表法表示．----------------------------就能得到相应的函数值． 若函数用图象法表示．----------------------------就能得到相应的函数值． 2、合作探究 （1）什么叫函数，你能从生活中举出几个函数的例子吗？ （2）你是如何理解函数的值与代数式的值的？ 3、有效训练 （1）课本P117练习1、2、3 （2） 等腰△ABC的周长为20，底边BC长为x，腰AB长为y，求： ①y关于x的函数解析式； ②当腰长AB=7时，底边的长； ③当x=11和x=4时，函数值是多少？ 三、课后延伸：必做题： 1、某城市共有绿化面积108m2，这个城市人均占有绿化面积y(m2)与人数a的函数关系是__________· 2．地面气温是25℃，如果每升高1千米，气温下降5℃．则气温t℃与高度h千米的函数关系式是________，其中自变量是___________。 3、已知函数 ，当x=1时，y= ________ ，当y=0时，x= ________ ； 4．一个蓄水池储水20 m3，用每分钟抽水0．5 m3的水泵抽水，则 蓄水池的余水量y(m3)与抽水时间t(分)之间的函数关系式是__________。 5．根据图18-1-3所示的程序计算y值，若输入的x的值为 时，则输出的结果为 ( ) A． B． C． D． 6．圆柱的底面半径为2 cm，当圆柱的高由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化． （1）如果圆柱的高为x (cm)，圆柱的体积V (cm3)与x的关系式为_______； （2）当圆柱的高由2cm变化到4 cm时，圆柱的体积由______cm3变化到________cm3； （3）当圆柱的高每增加1 cm时，它的体积增加_________cm3． 选做题： 1、烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧水时每分钟可使水温 提高8℃，烧了x分钟后水壶的水温为y℃，当水开时就不再烧了． （1）y与x的关系式为_________； （2）x=1时，y＝________；x=5时，y＝__________； （3）x＝_________时，y=48；x＝_________时，y=80 2、下表是某市2006年一月份部分居民用电度数x以及所要缴纳的电费y(元)的明细表： （1）从表中你能知道该市民用电费标准是每度多少元? （2）y与x之间有什么关系? （3）若一居民用94度电，应付电费多少元?

函数怎么学最简单方法第 3 篇

各位领导老师大家好，今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

学法：四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

二.新课讲授：

（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

（2）巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

三.讲解例题

例1.问y=1（x∈A）是不是函数？

解：y=1可以化为y=0*X+1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。四.课时小结：

1.映射的定义。

2.函数的近代定义。

3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4.函数近代定义的五大注意点。

五.课后作业及板书设计

书本P51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

函数怎么学最简单方法第 4 篇

1教学目标

教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

2学情分析 3重点难点

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

4教学过程 4.1第一学时评论(0) 教学目标 评论(0) 学时重点 评论(0) 学时难点 教学活动 活动1【导入】【知识回顾】

1、初中学习的函数概念是什么？

设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应，则称 是自变量， 是 的函数.

2、我们在初中学过哪些函数？

一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数

活动2【活动】讲授

函数的概念：

设 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的 ，在集合 中都有 和它对应，那么就称 为从集合 到 的一个函数，记作： ，其中 叫 ， 的取值范围 叫做函数的 ，与 的值相对应的 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的 。

活动3【活动】讲授

例如：

函数类型

对应关系

定义域

值 域

一次函数

反比例函数

二次函数

【注释】

（1）函数的本质：建立在两个非空数集之间的一种对应关系

（2）重视函数定义中的关键词： ， ，

※ “ 非空数集”说明：函数的定义域和函数值的所在的集合不会是空集

活动4【活动】讲授

如：对应关系： 是函数关系吗？若是，定义域，值域分别是什么？

※“任意”指的是x在其允许的取值范围内取的每一个确定值，这个允许取值范围就是函数的定义域（即：使函数有意义的自变量 的取值范围）；如：函数 要使函数有意义，则 ，对于在 范围内的每一个x的值，y都有唯一确定的值与之对应。

※“唯一”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，并且 ，否则y不是x的函数；x取不同的值，y的取值可以相同；

如：函数 中，尽管 与 之间有关系式，但是由于 在 的范围内每取一个值， 都有两个确定的值与它对应，所以 不是 的函数。

如：函数 中，

（3）函数符号 的含义：它表示 是 的函数，而不是 和 的乘积.其中 表示对应法则，小括号表示把对应法则 施加于 这个变量之上，而等号表示施加之后对应于 。对应关系可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述。

如： ,这里是用一个代数式把 所表示的对应法则具体化了，就是说“把自变量 先平方再二倍再加3”即得 对应的函数值，而 就表示了这一套运算手续.

（4）要注意 与 的联系与区别： 表示当自变量 时函数 的值，它是一个常量；而 是自变量 的函数，在一般情况下，它是一个变量， 是 的一个特殊值. 如果由解析式表达，则可算出 ，若 由图表给出，那么就可以通过点的坐标或查表找出 .例如： 在 时的函数值分别为

；

（5）函数的三要素：由函数的定义可知，函数由定义域、值域和对应法则三部分组成，这三部分就叫做函数的三要素,而确定函数的要素是定义域和对应法则.当定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随着确定了,至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的，如： 与 表示的是同一函数.另外，在同时研究两个或多个函数时，要用不同的符号来表示它们.除了 外还常用 等符号.

（6）若函数的值域为 ,则

如：判断下列对应是不是从A到B的函数?如果是,求出函数的定义域和值域.

（1）

（2）

（7）函数图像与 轴的垂线 公共点。

如：（1）下列能表示函数的图像的是：

（2）设集合 那么下面 的4个图形中，能表示集合 到集合 的函数关系的有

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②

思考：（1）对应关系： 是函数吗？

（2）对应关系：“ ”是函数吗？

【典型例题选讲】

例1、已知函数 ，

（1）求函数的定义域（2）求 的值；

（3）当a>0时，求 的值。

例2、下例函数中哪个与函数 相等

（1） （2） （3） (4)

例3、（1）函数 ，则

（2）已知函数 ，则

课后思考：

1、已知函数 满足对于任意实数a,b都有 成立

（1）求 和 （2）若 ，求

2、函数 对于任意 满足条件 成立，若 求

3、已知函数 满足： ，

则

4.2第二学时评论(0) 教学目标 评论(0) 学时重点 评论(0) 学时难点 教学活动

1.2.1　函数的概念

课时设计 课堂实录

1.2.1　函数的概念

1第一学时 教学目标 学时重点 学时难点 教学活动 活动1【导入】【知识回顾】

1、初中学习的函数概念是什么？

设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应，则称 是自变量， 是 的函数.

2、我们在初中学过哪些函数？

一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数

活动2【活动】讲授

函数的概念：

设 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的 ，在集合 中都有 和它对应，那么就称 为从集合 到 的一个函数，记作： ，其中 叫 ， 的取值范围 叫做函数的 ，与 的值相对应的 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的 。

活动3【活动】讲授

例如：

函数类型

对应关系

定义域

值 域

一次函数

反比例函数

二次函数

【注释】

（1）函数的本质：建立在两个非空数集之间的一种对应关系

（2）重视函数定义中的关键词： ， ，

※ “ 非空数集”说明：函数的定义域和函数值的所在的集合不会是空集

活动4【活动】讲授

如：对应关系： 是函数关系吗？若是，定义域，值域分别是什么？

※“任意”指的是x在其允许的取值范围内取的每一个确定值，这个允许取值范围就是函数的定义域（即：使函数有意义的自变量 的取值范围）；如：函数 要使函数有意义，则 ，对于在 范围内的每一个x的值，y都有唯一确定的值与之对应。

※“唯一”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，并且 ，否则y不是x的函数；x取不同的值，y的取值可以相同；

如：函数 中，尽管 与 之间有关系式，但是由于 在 的范围内每取一个值， 都有两个确定的值与它对应，所以 不是 的函数。

如：函数 中，

（3）函数符号 的含义：它表示 是 的函数，而不是 和 的乘积.其中 表示对应法则，小括号表示把对应法则 施加于 这个变量之上，而等号表示施加之后对应于 。对应关系可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述。

如： ,这里是用一个代数式把 所表示的对应法则具体化了，就是说“把自变量 先平方再二倍再加3”即得 对应的函数值，而 就表示了这一套运算手续.

（4）要注意 与 的联系与区别： 表示当自变量 时函数 的值，它是一个常量；而 是自变量 的函数，在一般情况下，它是一个变量， 是 的一个特殊值. 如果由解析式表达，则可算出 ，若 由图表给出，那么就可以通过点的坐标或查表找出 .例如： 在 时的函数值分别为

；

（5）函数的三要素：由函数的定义可知，函数由定义域、值域和对应法则三部分组成，这三部分就叫做函数的三要素,而确定函数的要素是定义域和对应法则.当定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随着确定了,至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的，如： 与 表示的是同一函数.另外，在同时研究两个或多个函数时，要用不同的符号来表示它们.除了 外还常用 等符号.

（6）若函数的值域为 ,则

如：判断下列对应是不是从A到B的函数?如果是,求出函数的定义域和值域.

（1）

（2）

（7）函数图像与 轴的垂线 公共点。

如：（1）下列能表示函数的图像的是：

（2）设集合 那么下面 的4个图形中，能表示集合 到集合 的函数关系的有

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②

思考：（1）对应关系： 是函数吗？

（2）对应关系：“ ”是函数吗？

【典型例题选讲】

例1、已知函数 ，

（1）求函数的定义域（2）求 的值；

（3）当a>0时，求 的值。

例2、下例函数中哪个与函数 相等

（1） （2） （3） (4)

例3、（1）函数 ，则

（2）已知函数 ，则

课后思考：

1、已知函数 满足对于任意实数a,b都有 成立

（1）求 和 （2）若 ，求

2、函数 对于任意 满足条件 成立，若 求

3、已知函数 满足： ，

则