垂直于弦的直径知二推三

这是垂直于弦的直径知二推三，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

垂直于弦的直径知二推三第 1 篇

学科：数学

册次：初三上

主讲人：辛琦 简介：北京市鲁迅中学数学教师，一级教师，教龄16年，曾被评为西城区优秀青年教师，优秀班主任，获得我心目中好老师等荣誉称号。

指导教师：马靖 雷文虹 简介：马靖老师是北京教育学院附属中学数学教师，高级教师，教龄26年，曾被评为西城区先进教育工作者，西城区数学学科带头人。雷文虹老师是北京市西城区教育研修学院数学研修员，北京市骨干教师。

垂直于弦的直径知二推三第 2 篇

垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四章第二节的教学内容，简称为垂径定理，它是在学生学习了轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的. 垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性质，利用垂径定理可以简化线段的计算、线段相等的证明以及弧相等的证明，等等.

垂径定理的内容是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，其中主要涉及三个量，分别为：直径、弦和弦心距. 根据这个定理，我们可以得到两个推论，推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧；推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.

有关垂径定理的应用，主要有以下几个方面：

一、利用定理求解圆的半径

例1 如图1所示，在圆O中，圆心到弦AB的距离OD为4 cm，且弦AB = 10 cm，求圆O的半径.

解 如图所示：在圆O中连接OA，所以，AOD为直角三角形. 又因为弦AB = 10，所以，根据垂径定理可得：AD = BD = 5 cm .

即在RtAOD中，由勾股定理可得：

OA2 = OD2 + AD2 = 42 + 52 = 41，

可得OA = ■（cm）.

即求得圆O的半径r = ■（cm）.

评注：在利用垂径定理解题时，主要有三种类型的题目：

① 已知弦长和弦心距，求圆的半径，正如例1所示.

② 已知弦长和圆的半径，求弦心距的长度.

③ 已知圆的半径和弦心距，求圆的弦长.

在这三种情况下，无论出现哪种题型，我们主要是首先利用垂径定理，得到平分弦，然后再利用在直角三角形中地勾股定理，即可求解问题. 在某些情况下，有的问题是这三种情况的综合，所以，在求解这类题目的时候，一定要严格细心地观察题目，最后利用所学知识进行求解.

二、利用定理求解面积

例2 如图2所示，在圆O和圆Q中，其中圆Q中长为16 cm的弦AB平行于直径CD且与圆O相切，求圆Q的面积减去圆O的面积.

解 观察题目可知，连接QB = R，分别从点O和点Q向弦AB作垂线，垂足分别为点P和点M，又因为AB∥CD，所以，r = OP = QM.

根据垂径定理可知，AM = BM = ■AB = 8 cm，在RtQBM中，根据勾股定理可得MB2 = QB2 - QM2 = QB2 - OP2.

又因为所求的面积S为：

S = π（R2 - r2） = π（QB2 - OP2） = π（QB2 - QM2）

=πMB2 = 82π = 64π，

故所求的面积S为64π.

评注：本题主要是借助切线与半径的垂直关系以及垂径与弦的垂直关系，把两个圆的半径转化到同一个直角三角形中，然后简洁地求出所要求得面积. 以此题为例，讲了一种利用垂径定理求解其他关于面积、周长等问题，解决这类问题的前提是熟练地掌握垂径定理以及和本题有关的知识，然后综合两者清晰分析出解决此问题的方法，最后进行求解.

三、利用垂径定理进行探究性研究

例3 如图3所示，AB是圆O的弦，其中OC，OD为它的弦，并且它们分别交弦AB于E，F两点，有AE = BF. 现在请你找出线段OE与OF 的数量关系，并给出证明.

解 OE和OF的关系为：OE = OF，

具体证明过程如下：

过圆心O向弦AB作垂线，垂足为点M，则由垂径定理可知AM = MB，又因为题目中所给条件AE = BF，所以有

EM = AM - AE = MB - BF = MF （1）

成立.

又因为EMO和FMO都为直角三角形，所以，根据勾股定理可知，在RtEMO中，OE2 = OM2 + EM2.

同理可得OF2 = OM2 + FM2.

根据（1）式可得OE = OF. 故结论得证.

评注：在本例中，题目中所给的条件是线段间的等量关系，以及相关的图形信息，最终要求我们去探究线段之间的数量关系. 在求解这样的问题时，我们往往需要作辅助线，然后构造出垂径定理的相关条件及结果，最后利用勾股定理等等理论探究出OF和OE之间的数量关系. 这种类型的题目充分地展现了垂径定理在解决探究性问题中的作用，这应该引起我们重视及关注.

四、利用垂径定理确定圆心

例4 如图4所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A，B，C.

（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）设ABC为等腰三角形，底边BC = 10 cm，腰AB = 6 cm，求圆片的半径R；（结果保留根号）

（3）若在（2）题中的R满足n < R < m（m，n为正整数），试估算m和n的值.

解 （1）作法：作AB，AC的垂直平分线，标出圆心O.

如图（5）所示.

（2）（3）略.

综上可知，垂径定理在初中阶段的用处是十分广泛的，其地位也是十分重要的，它的重要性不仅仅表现在圆的领域中求解半径、弦心距和弦的长，更重要的是在于和其他知识相结合，以及和现实生活相结合，这样更能够体现出“学以致用”的教学理念.

垂直于弦的直径知二推三第 3 篇

一、知识点回顾：

1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。

2．如右图，____________是直径，___________是弦，

____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。

3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。

4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。

5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。

二、新知学习：

（一）．学习目标：

1-知识目标：掌握垂径定理

2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题

（二）．自学要求：P80—P81

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.

符号语言：∵ 是⊙ 的直径 又∵

∴

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧

符号语言：∵ 是⊙ 的直径 又∵

∴

三、典型拓展例题：

1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

2．如图，在⊙ 中，弦 的长为8 ，圆心 到 的距离为3 .求⊙ 的半径。

3．如图，在⊙ 中， 、 为互相垂直且相等的两条弦， 于 ， 于 .

求证：四边形 为正方形。

4．如图所示，两个同心圆 ，大圆的弦 交小圆于 、 。求证：

5．如图所示，在⊙ 中， 、 是弦 上的两点，且 . 求证：

四、检测与反馈：

1．如图，在⊙ 中， 是弦， 于 .

⑴若 ， ，求 的长； ⑵若 ， ，求 的长；

⑶若 ， ，求⊙ 的半径； ⑷若 ， OA =10，求 的长。

2．如图所示，在⊙ 中， 、 是弦 延长线的两点，且 .求证：

3．如图，在⊙ 中， 是弦， 为 的中点，若 ， 到 的距离为1.求⊙ 的半径.

4．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度 为10米，拱高 为1米.求桥拱的半径.

5．⊙ 的半径为5 ，弦 ，弦 ，且 .求两弦之间的距离。

五、畅所欲言

对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________

垂直于弦的直径知二推三第 4 篇

1、说教材的地位和作用：

本节内容结合研究圆的轴对称性，得到了垂径定理及有关的结论，其定理及其推论反映了圆的重要性质，是今后证明线段、角相等，以及垂直关系的重要依据，同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据。又为以后学习解决实际问题奠定了基础，所以它在教材中处于非常重要的地位。同时这节课还培养了学生的运算能力，逻辑推理能力、抽象思维能力，创造能力，对培养学生探索精神和创新意识都有非常重要意义。

二、说教学目标

1、知识与技能目标

（1）、经历探索圆的轴对称性及相关的性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法：

（2）、理解并撑握垂经定理，并能利用它解决一些实际问题；

2、过程与方法

（1）、通过对垂径定理的证明，使学生了解分步骤，由浅入深的证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题，解决问题的能力。

（2）、通过把实际问题抽象成数学问题，培养学生的数学建模能力，同时也培养了学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观

（1）、通过实际问题转化为数学问题，培养学生勇于探索，锲而不舍的精神。

(2)、通过对赵州桥的介绍，培养学生的自豪感。

(3)、把解圆中的有关弦的半径，弓高等计算问题转化为解直角三角形，渗透了辩证唯物主义思想。

三，说重难点

（1）、教学重点

a、理解圆的轴对称性并掌握垂径定律。

b、学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算等问题。 （2）、教学难点

首先垂径定理及其推论的理解和掌握是本节的一个难点，特别是其推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的弦不是直径这一条件的理解，其次这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以它也是本章节的另一个难点。

三、说教学过程

1、创设情境 知识的引入 （1）、介绍赵州桥：

赵州桥是世界著名的古代石拱桥，到现在已经是1300多年了，还保持着它原来的雄姿，它那高度的技术水平和不朽的艺术价值，充分显示了我国古代劳动人民的智慧和力量。

2、温故知新

回忆轴对称图形从而对比圆，得出相关性质 a、圆是轴对称图形；

b、经过圆心的每条直线（注：提醒学生说不能说直径）都是它的对称轴； c、圆的对称轴有无数条。

3、深入探讨知识的形成通过探究，小组讨论找出相等的弦，弧和线段从而推出垂径定理及其他们之间的关系

首先让学生分组进行实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证。为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果，最后师生共同演示、验证猜想的正确性，此时再板书垂径定理的内容。得到定理后，再进一步帮助学生分析定理的题设和结论.

这样可以加深学生对定理的理解，同时也为学生学习进一步的结论作好准备。再道出以这5个论断中的任意两个论断作题设，其它的三个论断作为结论，看能得出哪些结论？得出结论后另外应特别强调“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，这一推论中对于弦不是直径的这个条件。

4、巩固概念 , 知识的应用

出示例题，解决如何求圆的半径问题，主要是根据所学知识，先把图形问题转化为数学问题，根据图形进行解答，充分体现了学以致用，尝试让学生自己解决，然后师生共同订正步骤，加以规范，使学生凌乱的思维得以梳理，完成本节课的教学。

5、培养创新 , 知识的延伸

为了检测学生对本节课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练。设计了练习，帮助学生加深对所学圆的轴对称性、垂线定理及其推论的理解，针对学生解答情况，及时查漏补缺。学生可以选做、

6、反馈释疑

(1)、首先，小组讨论利用本节知识解决赵州桥的半径问题，从而达到前后呼应 (2)，通过练习巩固知识加深印象 (3)、布置作业：82页课后练习题 目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质；同时让学有余力的学生进一步的得到提高。

四、说教法

1、这节课我充分利用了观察、猜想、合作交 流等教学方法，突出重点，突出难点，以科学设计问题为出发点，采用引导探索讨论教学方法，面向全体学生层层设问，充分的体现了以教师为主导，以学生为主体的教学思想。

2、采用了启发式，谈话式等教学方法， 鼓励学生积极发言，活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。

五、知识小结