垂直于弦的直径性质

这是垂直于弦的直径性质，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

垂直于弦的直径性质第 1 篇

一、设计初衷

数学教学应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，采取不同的内容呈现方式，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。

数学知识离我们很近，学生解决实际问题的过程中，主要问题有两点：一是学生一见到实际问题就畏惧，根本不去读题；二是学生对实际问题不熟悉。为此本节课设计了一个实际问题，这样做的好处：一是具有非常实际的用处；二是与本节课的内容具有直接关系。这个问题解决了，以后见到类似的实际问题就不会感到陌生。

本节课是在学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。本节课有两个方面的内容：一是圆的轴对称性；二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是学生通过动手操作，得出结论。圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦、弧，学生总结出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥的问题。

二、目标预设

1. 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。2. 理解并运用垂径定理进行有关计算。3. 学会运用垂径定理解决一些有关证明计算和作图问题。

三、教学过程展示

1. 创设情景，提出问题

问题：观察网络或者教材上赵州桥图片并思考问题，它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离为7.2m），你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

2. 新课流程

（1）圆的对称性

互动探究：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折。

问题1：你发现了什么？

问题2：你能得出什么结论？

（2）垂径定理及其推论

如右图AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E。

问题1：该图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（学生对折、探究）

问题2：你能发现图中相等的线段和弧吗？为什么？（小组合作交流，教师指导）

讨论与归纳：①在上图中连接OA、OB，垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是O的对称轴。②把圆沿着直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与AD分别与BC与BD重合。因此AE=BE，AC=BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及弧ACB。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。

问题3：一条直线若满足：①过圆心；②垂直于弦；又可得到什么结论？

学生：平分弦、平分优弧、平分劣弧。

问题4：已知直径AB，弦CD，且CE=DE，那么又能得到什么结论？（学生自己画图，小组讨论）

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

问题5：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径强调的作用是什么？

学生：如果这条弦是直径，平分但不一定垂直。

（3）解决赵州桥的问题

如右图用AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB交于C，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高，AB=37.4m，CD=7.2m，AD=■AB=■×37.4=18.7m，OD=OC-CD=R-7.2

在RtOAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2

即：R2=18.722+（R-7.2）2 解得：R≈27.9（m）

因此赵州桥主桥拱半径约为27.9m。

3. 变式训练，熟练技能

练习：判断：（1）圆是轴对称图形，直径是它的对称轴。（2）平分弦的直径垂直于弦。

4. 迁移应用，深化提高

你能利用上面的结论，帮助小明利用尺规作图的方法，确定右图残缺圆盘的圆心吗？

5. 总结

（1）本节课你认为自己解决最不好的问题是什么？（2）本节课你的收获。（3）通过这节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？

6. 作业：练习1-2题

四、设计感悟

1. 在情景设置中体现生活化。创设情境，求赵州桥主桥拱的半径，引起学生思考，激活了学生思维，引起学生兴趣，要解决这个问题，需要用到本节课知识，从而自然引入新课，并引起了学生的求知欲。数学起源于生活，又作用于生活。数学教学应着力体现“小课堂、大社会”的理会，让学生根据生活情境发现数学问题，运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生综合运用知识以及做出决策的能力。在新讲导入中，创设教学情景，使课堂教学更接近于现实生活。

如教学八年级《变量与函数》时，由许多学生熟悉的问题引入，先让学生对就量有一定的认识。在此基础上再通过学生熟悉的问题引出函数概念。引入的问题如人体的体温随着时音质变化在每个县体的时刻温度不是完全相同的。出租车车费业是随着行驶路程的远近而不同等等。虽然函数的定议较为抽象，但在教学中配以大量的事例进行讲解，学生还中可以接受的。又如在《抽对称》教学中，老师给学生准备了一些生活中的图案请同学们欣赏，可以用实物投影仪体显示。图片可以是枫叶、蝴蝶、剪纸、故宫建筑图片等，另个还有学生自己收集的银行商标、汽车商标、一些工艺品、剪纸等。通过列举尽可能的轴对称图形，使学生通过丰富的生活实例，欣赏并体会轴对称图形，发展学生的审美能力、鉴赏能力。所以，这种“生活化”的情景创设，可以大大激发学生的学习兴趣，激发学生学习主动性。

2. 让学生在数学活动中感受生活化

《数学课程》中强调在特意的数学活动中获得一些初步的生活体验，因此教师要想方设法改变教学方式，再联系生活实际，让学生在数学活动中获得生活体验。学生通过自己动手操作，发现问题归纳出圆是轴对称的图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，总结出垂径定理及推论，加深了学生对结论的记忆与掌握。

3. 数学方法数学手段贴近生活化

从数学方法看，要坚持启发式，创设问题情景，激发学生积极思维，引导它们自己发现和掌握有关规律。教师要并于提出问题引导学生思考。所提出的问题不论是实际问题还是理论问题都应紧密结合数学内容，并编抓成科学的探究程序，使学生能形成一条清晰的思路。本节课根据所学的知识，先把实际问题转化成数学问题，画出图形进行解答，这样很好地做到了前后呼应，充分体现了学以致用，尝试让学生自己解决，然后师生共同订正的步骤，加以规范，使学生凌乱的思维得到梳理。通过五个问题对新知识的教学，学生互相讨论，使学生的思维始终处于活跃、积极的思考状态，使思维得到不断的发展。

4. 回归生活，引导学生把生活中实际问题化归为数学问题

我们知道，化归思想是重要的数学思想，前苏联著名数学家柯瓦列夫斯卡娅有一句名言：数学解题的过程就是不断的化归过程。仔细体会我们平时的每一个数学问题的求解，都是遵循这一原则而展开的，其实质就是经化归后所得出的问题，应当是已经解决的，或者是较为熟知的、较为容易的、较为简单的。数学实际问题的解答自然也不例外。通常我们可以将其思路表示如下：

这样，可以把解答生活化问题思路破译分解为四个步骤：阅读理解、建立模型、模型求解、回归实际。

阅读理解：认真阅读题目，理解题意，收集、分析、处理数据，联想相关的数学知识，为解决数学问题做好准备。

建立模型：针对题意，联想已有的数学知识，通过抽象、概括，归纳把实际问题化归为纯粹的数学问题，即数学模型。

模型求解：运用具备的数学知识，技能和方法，完成对所建数学模型的解答。

回归实际：由于数学模型的解答并不一定完全符合问题的实际意义，所以要针对应用问题的实际，对模型的解答进行分析、反思，得出实际问题的正确解答。

参考文献：

[1] 王 静.初中几何教学生活化研究[D].山东师范大学.2010（4）.

[2] 汤 会，侯海文.浅谈数学教学生活化[J].中国校外教育.2008（5）.

[3] 田玉梅.数学教学“生活化”初探[J].教学研究.2007（5）.

垂直于弦的直径性质第 2 篇

一、知识点回顾：

1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。

2．如右图，____________是直径，___________是弦，

____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。

3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。

4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。

5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。

二、新知学习：

（一）．学习目标：

1-知识目标：掌握垂径定理

2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题

（二）．自学要求：P80—P81

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.

符号语言：∵ 是⊙ 的直径 又∵

∴

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧

符号语言：∵ 是⊙ 的直径 又∵

∴

三、典型拓展例题：

1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

2．如图，在⊙ 中，弦 的长为8 ，圆心 到 的距离为3 .求⊙ 的半径。

3．如图，在⊙ 中， 、 为互相垂直且相等的两条弦， 于 ， 于 .

求证：四边形 为正方形。

4．如图所示，两个同心圆 ，大圆的弦 交小圆于 、 。求证：

5．如图所示，在⊙ 中， 、 是弦 上的两点，且 . 求证：

四、检测与反馈：

1．如图，在⊙ 中， 是弦， 于 .

⑴若 ， ，求 的长； ⑵若 ， ，求 的长；

⑶若 ， ，求⊙ 的半径； ⑷若 ， OA =10，求 的长。

2．如图所示，在⊙ 中， 、 是弦 延长线的两点，且 .求证：

3．如图，在⊙ 中， 是弦， 为 的中点，若 ， 到 的距离为1.求⊙ 的半径.

4．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度 为10米，拱高 为1米.求桥拱的半径.

5．⊙ 的半径为5 ，弦 ，弦 ，且 .求两弦之间的距离。

五、畅所欲言

对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________

垂直于弦的直径性质第 3 篇

垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四章第二节的教学内容，简称为垂径定理，它是在学生学习了轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的. 垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性质，利用垂径定理可以简化线段的计算、线段相等的证明以及弧相等的证明，等等.

垂径定理的内容是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，其中主要涉及三个量，分别为：直径、弦和弦心距. 根据这个定理，我们可以得到两个推论，推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧；推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.

有关垂径定理的应用，主要有以下几个方面：

一、利用定理求解圆的半径

例1 如图1所示，在圆O中，圆心到弦AB的距离OD为4 cm，且弦AB = 10 cm，求圆O的半径.

解 如图所示：在圆O中连接OA，所以，AOD为直角三角形. 又因为弦AB = 10，所以，根据垂径定理可得：AD = BD = 5 cm .

即在RtAOD中，由勾股定理可得：

OA2 = OD2 + AD2 = 42 + 52 = 41，

可得OA = ■（cm）.

即求得圆O的半径r = ■（cm）.

评注：在利用垂径定理解题时，主要有三种类型的题目：

① 已知弦长和弦心距，求圆的半径，正如例1所示.

② 已知弦长和圆的半径，求弦心距的长度.

③ 已知圆的半径和弦心距，求圆的弦长.

在这三种情况下，无论出现哪种题型，我们主要是首先利用垂径定理，得到平分弦，然后再利用在直角三角形中地勾股定理，即可求解问题. 在某些情况下，有的问题是这三种情况的综合，所以，在求解这类题目的时候，一定要严格细心地观察题目，最后利用所学知识进行求解.

二、利用定理求解面积

例2 如图2所示，在圆O和圆Q中，其中圆Q中长为16 cm的弦AB平行于直径CD且与圆O相切，求圆Q的面积减去圆O的面积.

解 观察题目可知，连接QB = R，分别从点O和点Q向弦AB作垂线，垂足分别为点P和点M，又因为AB∥CD，所以，r = OP = QM.

根据垂径定理可知，AM = BM = ■AB = 8 cm，在RtQBM中，根据勾股定理可得MB2 = QB2 - QM2 = QB2 - OP2.

又因为所求的面积S为：

S = π（R2 - r2） = π（QB2 - OP2） = π（QB2 - QM2）

=πMB2 = 82π = 64π，

故所求的面积S为64π.

评注：本题主要是借助切线与半径的垂直关系以及垂径与弦的垂直关系，把两个圆的半径转化到同一个直角三角形中，然后简洁地求出所要求得面积. 以此题为例，讲了一种利用垂径定理求解其他关于面积、周长等问题，解决这类问题的前提是熟练地掌握垂径定理以及和本题有关的知识，然后综合两者清晰分析出解决此问题的方法，最后进行求解.

三、利用垂径定理进行探究性研究

例3 如图3所示，AB是圆O的弦，其中OC，OD为它的弦，并且它们分别交弦AB于E，F两点，有AE = BF. 现在请你找出线段OE与OF 的数量关系，并给出证明.

解 OE和OF的关系为：OE = OF，

具体证明过程如下：

过圆心O向弦AB作垂线，垂足为点M，则由垂径定理可知AM = MB，又因为题目中所给条件AE = BF，所以有

EM = AM - AE = MB - BF = MF （1）

成立.

又因为EMO和FMO都为直角三角形，所以，根据勾股定理可知，在RtEMO中，OE2 = OM2 + EM2.

同理可得OF2 = OM2 + FM2.

根据（1）式可得OE = OF. 故结论得证.

评注：在本例中，题目中所给的条件是线段间的等量关系，以及相关的图形信息，最终要求我们去探究线段之间的数量关系. 在求解这样的问题时，我们往往需要作辅助线，然后构造出垂径定理的相关条件及结果，最后利用勾股定理等等理论探究出OF和OE之间的数量关系. 这种类型的题目充分地展现了垂径定理在解决探究性问题中的作用，这应该引起我们重视及关注.

四、利用垂径定理确定圆心

例4 如图4所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A，B，C.

（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）设ABC为等腰三角形，底边BC = 10 cm，腰AB = 6 cm，求圆片的半径R；（结果保留根号）

（3）若在（2）题中的R满足n < R < m（m，n为正整数），试估算m和n的值.

解 （1）作法：作AB，AC的垂直平分线，标出圆心O.

如图（5）所示.

（2）（3）略.

综上可知，垂径定理在初中阶段的用处是十分广泛的，其地位也是十分重要的，它的重要性不仅仅表现在圆的领域中求解半径、弦心距和弦的长，更重要的是在于和其他知识相结合，以及和现实生活相结合，这样更能够体现出“学以致用”的教学理念.

垂直于弦的直径性质第 4 篇

一、教学目标

【知识与技能】利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理及其推论。运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法。

【情感、态度与价值观】

通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。

二、教学重难点

【教学重点】

垂径定理及其应用。

【教学难点】

垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用。

三、教学过程

(一)引入新课

提出问题：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，组织学生发现问题，引出本节课题。

(二)探索新知

学生活动：探究发现，圆是轴对称图形，圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

教师作出证明：

《垂直于弦的直径》教案

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

进一步得到推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

想一想：如果弦是直径，以上结论还成立吗?

教师采用画图举反例的方法让学生明白“弦是直径时此结论不一定成立”。

(三)课堂练习

《垂直于弦的直径》教案