复数的概念备课

这是复数的概念备课，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的概念备课第 1 篇

教学目标

(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;

(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.

教学建议

(一)教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.

2、重点、难点分析

(1)正确复数的实部与虚部

对于复数，实部是，虚部是.注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则为实数

②为虚数

③且。

④为纯虚数且

(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.

②复数用复平面内的点Z()表示.复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.

③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写.要学生注意.

(5)关于共轭复数的概念

设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).

教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

(6)复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么.两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a

(ii)如果a

(iii)如果a

(iv)如果a0，那么ac

(二)教法建议

1.要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系.

2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.

3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.

复数的有关概念

教学目标

1.了解复数的实部，虚部;

2.掌握复数相等的意义;

3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.

教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件.

教学难点

用复平面内的点表示复数M.

教学用具：直尺

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习提问：

1.复数的定义。

2.虚数单位。

二、讲授新课

1.复数的实部和虚部：

复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

2.复数相等

如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

即：的充要条件是且。

例如：的充要条件是且。

例1：已知其中，求x与y.

解：根据复数相等的意义，得方程组：

例2：m是什么实数时，复数,

(1)是实数，(2)是虚数，(3)是纯虚数.

解：

(1)时，z是实数,

,或.

(2)时，z是虚数,

，且

(3)且时，

z是纯虚数.

3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数

复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面.

复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上.

4.复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.

5.共轭复数

(1)当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)

(2)复数z的共轭复数用表示.若，则：;

(3)实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数.

(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.

三、练习1,2,3,4.

四、小结：

1.在理解复数的有关概念时应注意：

(1)明确什么是复数的实部与虚部;

(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;

(3)弄清复平面与复数的几何意义;

(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。

2.复

数集与复平面上的点注意事项：

(1)复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

(2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

(3)表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业1,2,3,4,

六、板书设计：

§8,2复数的有关概念

1定义：例13定义:4几何意义:

2定义：例25共轭复数:

复数的概念备课第 2 篇

　　引入：

　　大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？

　　问题1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通过 可是

　　方案四：

　　你是怎么处理的，结论是什么？

　　第二个问为什么没解出来？为什么存在着使 的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？

　　正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

　　应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。

　　请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

　　问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，

　　（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

　　（2）说明数集N,Z,Q,R的关系

　　（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。

　　同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。

　　数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。

　　问题3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，

　　(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

　　(2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。

　　通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

　　问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？

　　同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

　　如果引入虚数，负数可以开方了，那么 就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把 表示成 的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。

　　负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？

　　现在我们规定：（1） ；（2） 。

　　使用 来表示 这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用 表示虚数单位了，而是 了。那么 ，这种表示方法既简洁又有特点。

　　问题5：不仅仅 是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么通过运算，虚数可以用 表示成什么形式呢？（讨论）

　　一．复数的定义

　　虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作 。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。

　　该怎样用描述法表示集合 呢？

　　形如 的数，我们把它们叫做复数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即

　　问题6：实数与虚数组成了复数，那么 这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？

　　二．例题

　　例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

　　例题2．当 取何实数时，复数 是：

　　（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

　　结论：

　　三．虚数引入的必要性

　　通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：“将10分成两部分，使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的存在性。

　　数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R. Bombelli，1526-1573）发现，方程 有三个实数根4， 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解时，却发现实数4竟然是用 来表示的。

　　这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。

　　四．复数的实际应用

　　在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

　　不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。

　　一些碎形就是基于复数理论基础上的。

　　这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。

　　复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。

　　复数还广泛的应用于物理学的各个分支， 比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

　　五．师生小结

　　那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

　　今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。

　　板书：

　　§3.1.1数系的扩充与复数的概念

　　一． 虚数

　　1． 虚数单位

　　2． 虚数的表示形式

　　二． 复数

　　1． 概念：形如 的数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　2． 性质：

复数的概念备课第 3 篇

　　教学准备

　　教学目标

　　知识与技能

　　1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要

　　2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件

　　过程与方法

　　1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律

　　2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式

　　情感态度与价值观

　　1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用

　　2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法

　　教学重难点

　　重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件

　　难点：虚数单位i的引进和复数的概念

　　教学过程

　　(一)问题引入

　　事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》

　　(二)回顾数系的扩充历程

　　师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。

　　(三)类比，引入新数，将实数集扩充

　　1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法

　　生：引入新数，使得平方为负数

　　师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?

　　2、历史重现：

　　3、探究复数的一般形式：

　　(四)新的数集——复数集

　　1.复数的定义(略)

　　2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。

　　(五)复数的分类

　　(六)复数相等的充要条件

　　复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。

　　课后小结

　　1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题

　　2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。

　　课后习题

　　1、习题3.1 A组第1、2题

　　2、课后探究复数能不能比较大小，为什么?(可查资料)

复数的概念备课第 4 篇

　　目标：

　　（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

　　（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

　　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　　重点：集合的基本概念

　　教学过程：

　　1．引入

　　（1）章头导言

　　（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）

　　2．讲授新课

　　阅读教材，并思考下列问题：

　　（1）有那些概念？

　　（2）有那些符号？

　　（3）集合中元素的特性是什么？

　　（4）如何给集合分类?

　　（一）有关概念:

　　1、集合的概念

　　（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.

　　（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.

　　（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

　　集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

　　2、元素与集合的关系

　　（1）属于： 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

　　要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.

　　3、集合中元素的特性

　　（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.

　　（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.

　　（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

　　4、集合分类

　　根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

　　（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

　　（2）含有有限个元素的集合叫做有限集

　　（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

　　注：应区分符号的`含义

　　5、常用数集及其表示方法

　　（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记 作N

　　（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N* 或N+

　　（3）整数集：全体整数的集合.记作Z

　　（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q

　　（5）实数集：全体实数的集合.记作R

　　注：（1）自然数集包括数0.

　　（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

　　课堂练习：教材第5页练习A、B

　　小结：本节课 我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质

　　课后作业：第十页习题1-1B第3题